初中数学竞赛教案

2022-06-25

教案中对每个课题或每个课时的教学内容,教学步骤的安排,教学方法的选择,板书设计,教具或现代化教学手段的应用,各个教学步骤教学环节的时间分配等等下面是小编整理的关于《初中数学竞赛教案》仅供参考,希望能够帮助到大家。

第一篇:初中数学竞赛教案

全国初中数学竞赛辅导 第三十四讲《梯形》教案2 北师大版

第三十四讲 梯形

与平行四边形一样,梯形也是一种特殊的四边形,其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位,本讲就来研究它们的有关性质的应用.

例1 如图2-43所示.在直角三角形ABC中,E是斜边AB上的中点,D是AC的中点,DF∥EC交BC延长线于F.求证:四边形EBFD是等腰梯形.

分析 因为E,D是三角形ABC边AB,AC的中点,所以ED∥BF.此外,还要证明(1)EB=DF;(2)EB不平行于DF.

证 因为E,D是△ABC的边AB,AC的中点,所以

ED∥BF.

又已知DF∥EC,所以ECFD是平行四边形,所以

EC=DF. ①

又E是Rt△ABC斜边AB上的中点,所以

EC=EB. ②

由①,②

EB=DF.

下面证明EB与DF不平行.

若EB∥DF,由于EC∥DF,所以有EC∥EB,这与EC与EB交于E矛盾,所以EBDF.

根据定义,EBFD是等腰梯形.

例2 如图2-44所示.ABCD是梯形, AD∥BC, AD

分析 由于△BCD是等腰三角形,若能确定顶点∠CBD的度数,则底角∠BCD可求.由等腰Rt△ABC可求知斜边BC(即BD)的长.又梯形的高,即Rt△ABC斜边上的中线也可求出.通过添辅助线可构造直角三角形,求出∠BCD的度数.

解 过D作DE⊥EC于E,则DE的长度即为等腰Rt△ABC斜边上的高AF.设AB=a,由于△ABF也是等腰直角三角形,由勾股定理知

AF+BF=AB,

2

2

2

BC=AB+AC=2AB=2a,

由于BC=DB,所以,在Rt△BED中,

22222

从而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的对边等于斜边一半定理的逆定理).在△CBD中,

2

例3 如图2-45所示.直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠ADC=135°,CD的垂直平分线交BC于N,交AB延长线于F,垂足为M.求证:AD=BF.

分析 MF是DC的垂直平分线,所以ND=NC.由AD∥BC及∠ADC=135°知,∠C=45°,从而∠NDC=45°,∠DNC=90°,所以ABND是矩形,进而推知△BFN是等腰直角三角形,从而AD=BN=BF.

证 连接DN.因为N是线段DC的垂直平分线MF上的一点,所以ND=NC.由已知,AD∥BC及∠ADC=135°知

∠C=45°,

从而

∠NDC=45°.

在△NDC中,

∠DNC=90°(=∠DNB),

所以ABND是矩形,所以

AF∥ND,∠F=∠DNM=45°.

△BNF是一个含有锐角45°的直角三角形,所以BN=BF.又

AD=BN,

所以 AD=BF.

例4 如图2-46所示.直角梯形ABCD中,∠C=90°,AD∥BC,AD+BC=AB,E是CD的中点.若AD=2,BC=8,求△ABE的面积.

分析 由于AB=AD+BC,即一腰AB的长等于两底长之和,它启发我们利用梯形的中位线性质(这个性质在教材中是梯形的重要性质,我们将在下一讲中深入研究它,这里只引用它的结论).取腰AB的中点F,(或BC).过A引AG⊥BC于G,交EF于H,则AH,GH分别是△AEF与△BEF的高,所以

AG=AB-BG=(8+2)-(8-2)=100-36=64,

所以AG=8.这样S△ABE(=S△AEF+S△BEF)可求.

解 取AB中点F,连接EF.由梯形中位线性质知

EF∥AD(或BC),

2

2

2

2

2

过A作AG⊥BC于G,交EF于H.由平行线等分线段定理知,AH=GH且AH,GH均垂直于EF.在Rt△ABG中,由勾股定理知

AG=AB-BG

=(AD+BC)-(BC-AD)

=10-6=8,

所以 AG=8,

从而 AH=GH=4,

所以

S△ABE=S△AEF+S△BEF 2222

2222 4

例5 如图2-47所示.四边形ABCF中,AB∥DF,∠1=∠2,AC=DF,FC

(1)求证:ADCF是等腰梯形;

(2)若△ADC的周长为16厘米(cm),AF=3厘米,AC-FC=3厘米,求四边形ADCF的周长.

分析 欲证ADCF是等腰梯形.归结为证明AD∥CF,AF=DC,不要忘了还需证明AF不平行于DC.利用已知相等的要素,应从全等三角形下手.计算等腰梯形的周长,显然要注意利用AC-FC=3厘米的条件,才能将△ADC的周长过渡到梯形的周长.

解 (1)因为AB∥DF,所以∠1=∠3.结合已知∠1=∠2,所以∠2=∠3,所以

EA=ED.

又 AC=DF,

所以 EC=EF.

所以△EAD及△ECF均是等腰三角形,且顶角为对顶角,由三角形内角和定理知∠3=∠4,从而AD∥CF.不难证明

△ACD≌△DFA(SAS),

所以 AF=DC.

若AF∥DC,则ADCF是平行四边形,则AD=CF与FC

综上所述,ADCF是等腰梯形.

(2)四边形ADCF的周长=AD+DC+CF+AF. ①

由于

△ADC的周长=AD+DC+AC=16(厘米), ②

AF=3(厘米), ③

FC=AC-3, ④

将②,③,④代入①

四边形ADCF的周长=AD+DC+(AC-3)+AF

=(AD+DC+AC)-3+3

=16(厘米).

例6 如图2-48所示.等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD所成的角∠AOB=60°,P,Q,R分别是OA,BC,OD的中点.求证:△PQR是等边三角形.

分析 首先从P,R分别是OA,OD中点知,欲证等边三角形PQR的边长应等于等腰梯形腰长之半,为此,只需证明QR,QP等于腰长之半即可.注意到△OAB与△OCD均是等边三角形,P,R分别是它们边上的中点,因此,BP⊥OA,CR⊥OD.在Rt△BPC与Rt△CRB中,PQ,RQ分别是它们斜边BC(即等腰梯形的腰)的中线,因此,PQ=RQ=腰BC之半.问题获解.

证 因为四边形ABCD是等腰梯形,由等腰梯形的性质知,它的同一底上的两个角及对角线均相等.进而推知,∠OAB=∠OBA及∠OCD=∠ODC.又已知,AC与BD成60°角,所以,△ODC与△OAB均为正三角形.连接BP,CR,则BP⊥OA,CR⊥OD.在Rt△BPC与Rt△CRB中,PQ,RQ分别是它们的斜边BC上的中线,所以

又RP是△OAD的中位线,所以

因为 AD=BC, ③

由①,②,③得

PQ=QR=RP,

即△PQR是正三角形.

说明 本题证明引人注目之处有二:

(1)充分利用特殊图形中特殊点所带来的性质,如正三角形OAB边OA上的中点P,可带来BP⊥OA的性质,进而又引出直角三角形斜边中线PQ等于斜边BC之半的性质.

(2)等腰梯形的“等腰”就如一座桥梁“接通”了“两岸”的髀

使△PQR的三边相等.

练习十三

1.如图2-49所示.梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,BD⊥CD.求∠A的度数.

2.如图2-50所示.梯形ABCD中,AD∥BC,AE∥DC交BC于E,△ABE的周长=13厘米,AD=4厘米.求梯形的周长.

3.如图2-51所示.梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,AB=p,CD=q,E,F分别为AB,CD的中点.求EF.

4.如图2-52所示.梯形ABCD中,AD∥BC,M是腰DC的中点,MN⊥AB于N,且MN=b,AB=a.求梯形ABCD的面积.

5.已知:梯形ABCD中,DC∥AB,∠A=36°,∠B=54°,M,N分别是DC,AB的中点.求证:

第二篇:全国初中数学竞赛辅导 第五十讲《生活中的数学(三)——镜子中的世界》教案1 北师大版

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第五十讲 生活中的数学(三)——镜子中的世界

在日常生活中,人们为了观察自己的服装仪表是否整洁漂亮,常常要照镜子.如果镜面是很平的,那么在镜子中,人或物体与其像是完全一样的.而且我们都有这样的经验:当人走近镜面,人在镜中的像也走进镜面;当人远离镜面,人在镜中的像也远离镜面.如果你留心的话,就可以发现:人和像与镜面的距离保持相等(图2-155),这种现象叫作面对称.如果我们只取一个侧面,那么镜面就可用一条直线来表示,人和人在镜中的像可用一个平面图形来表示,这样,人、像与镜就成了轴对称,也叫直线对称(图2-155).

如果实物是△ABC,那么它在镜中的像就成了图形△A′B′C′.直线l表示镜,这时称l为△ABC和△A′B′C′的对称轴(图2-156).图中,A与A′,B与B′,C与C′是对称点.以对称点为端点所连结的线段AA′,BB′,CC′被对称轴l垂直平分,因此,如果以直线l为折痕,把△ABC翻折过来,它必与△A′B′C′重合,所以成轴对称的两个图形必全等.

例1 设图形ABCDEF是半个蝴蝶形(图2-157(a)),试以直线l为对称轴,画出整个蝴蝶来.

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解 为了画出整个蝴蝶,只需要画出图形ABCDEF关于直线l的轴对称图形就可以了.因为A点、F点在直线l上,所以它们的对称点分别和A,F是同一点,这样,只要画出B,C,D,E关于l的对称点就行了.为此,先分别过B,C,D,E向l作垂线,设垂足分别为M,N,P,Q,然后在BM,CN,DP,EQ的延长线上取B′,C′,D′和E′点,使得B′M=MB,C′N=NC,D′P=PD,E′Q=QE,最后连结AB′,B′C′,C′D′,D′E′,E′F,于是就得到完整的蝴蝶形ABCDEFE′D′C′B′了(图 2-157(b)).

例2 设直线l1和直线l2平行,且l1和l2间的距离为a.如果线段AB在l1的右侧,并设AB关于l1的对称图形是A′B′,而A′B′关于l2的对称图形是A″B″(图2-158),那么,线段AB和A″B″有什么关系?

解 因为l1平行于l2,并且AA′A″垂直于l1,当然也垂直于l2,同理BB′B″也垂直于l1和l2.我们知道:“在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”,所以

AA′A″∥BB′B″. ①

另一方面,因为AP=PA′,A′P′=P′A″,所以

AA′A″=2PP′=2a,

同理BB′B″=2a,所以

AA′A″=BB′B″. ②

通过例2,我们可知,如果在平面上两条直线互相平行,有一个图形以这两条直线为对称轴,连续作了两次轴对称移动,那么相当于这个图形作了一次平行移动,平行移动的距离刚好是这两个对称轴间距离的2倍.

如果我们反复利用例2的原理,就可以做成带形的花边图案.例如,我们把一张等宽的长纸条像图2-159那样折叠起来,并在上面用小刀刻出一个三角形的洞,然后再展开这张纸条,就会得到如图2-160那样的带形图案.

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如果我们把图2-160中的m2,m1,m0,m-1,m-2,m-3看成镜子,A0看作实物,那么A1,A2和A-1,A-2就是A0在镜子中的像了.其实,图中的A1是A0以m0为对称轴作对称移动的对称图形,也可以把A1看作是A-1作一次平行移到所得到的图形.由此,怎样看待A1和A2的关系以及A2和A0的关系呢?请同学们自己作出回答.

有了上面的知识,同学们不仅可以自己设计一些带形花边图案,还可以了解某些广告上画的花边图案的原理了.下面的图2-161和图2-162是两个带形图案,你能看出它们是怎样设计的吗?

如果我们把前面图2-160中的m2,m1,m0,m-1,m-2等看作平行的镜子,A0看作一个人,如果这个人在镜子中m0和m-1之间反复映照,那么就会看到图2-163的情况.

可以想象,在镜子m0中的像A1,A2,A3,…,以及在镜子m1中的像A-1,A-2,A-3,…是无限多的.还可以知道:A0在镜m0中的像是A1,A1在镜m-1中的像是A-2,A-2在镜m0中的像是A3,…如此等等.因为A0和A1,A1和A2是轴对称移动,所以A0到A2是平行移动.

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例3 设直线l1和直线l2相交,交点为O,其夹角为α.如果线段AB关于l1的轴对称图形是A′B′,而A′B′关于l2的轴对称图形是A″B″.试问AB和A″B″间有什么关系?(见图2-164)

解 因为已知AB关于l1的对称图形是A′B′,A′B′关于l2的对称图形是A″B″,所以AB=A′B′,A′B′=A″B″,所以

AB=A″B″,①

由于∠AOP=∠A′OP,∠A′OP′=∠A″OP′,所以

∠AOA″=2∠POP′=2α.

同理∠BOB″=2∠POP′=2α,所以

∠AOA″=∠BOB″=2α. ②

由①,②可知:在平面上,如果两条直线相交,一个图形以这两条直线为对称轴,连续作两次对称移动,那么相当于这个图形以这两条直线的交点为旋转中心,以这两条直线的交角的2倍为旋转角,作了一个旋转移动,在旋转移动下,图形的大小不变.

例4 同学们小时候常常玩万花筒,它是由三块等宽、等长的玻璃片围成的.为什么在万花筒中会出现美丽奇特的图案呢?试用前边的知识揭开万花筒的秘密.

解 万花筒中所以能呈现千变万化、美丽而奇特的图案,主要是利用了图形的对称和旋转原理.为具体说明,给出的图2-165为万花筒中的一个图案,它是用一个小圆、一个平行四边形和一段短线在万花筒中连续反射而成的图形.

为了清楚地说明上图形成的原理,我们取出图形中的一部分(图2-166)加以分析.

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正△ABO以OB为对称轴作轴对称移动,就得到△CBO;△CBO以OC为对称轴作轴对称移动,就得到△CDO.经过这样两个轴对称移动,实际上相当于△ABO以O为中心,以120°为旋转角,作了一个旋转移动.这样:

点A→点C,边AO→边CO, 点B→点D,边AB→边CD, 点O→点O,边BO→边DO.

在这样旋转移动下,△ABO中的平行四边形、小圆和曲线也跟着旋转了120°.经多次反复,就形成了图2-165的绮丽景色.如果同学们有兴趣,可以自己在纸上再现万花筒中的世界!

练习二十九

1.设l1和l2是两面平行相对的镜子,如果把一个小球放在l1和l2之间(图2-167),试问:

(1)小球A在镜l1中的像A′在什么位置?

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(2)小球A在镜l1中的像A′在镜l2中的像A″又在什么位置?分别画在图上;

(3)小球A和像A″之间的距离与l1和l2之间的距离有什么关系?

2.图2-168是万花筒中的一个图案,其中菱形FJKG变成菱形FDAC,如果看成经过以F点为旋转中心、旋转角为x的旋转移动得到的,那么x等于多少度?请从下面的四个答案中选出一个正确的答案来.

(A)60°;

(B)120°;

(C)180°;

(D)以上答案都不对.

3.图2-169是游乐园中的大型旋转车的简图,游人坐在旋转车的车斗中,任凭旋转车不停地旋转,但总是头朝上,绝不会掉下来.试问车斗所作的移动是什么移动?请在下面答案中选一个正确的答案.

(A)旋转; (B)对称;

(C)平移; (D)以上答案都不对.

4.图2-170表示一张长方形球台,设P,Q为两个球,若击P球,使它碰CD边后,反弹正好击中Q球.试问P应碰撞CD边的哪一点?

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第三篇:初中数学竞赛方案

2013—2014关桥中学八年级数学竞赛方案

为增强我校学生的数学学习兴趣,培养学生竞争意识,也为了履行本学期初的教务工作计划,我数学教研组特定于11月21日在八年级学生中举行一次数学竞赛,具体竞赛方案如下:

一、竞赛组织教师:

出卷:李岩;监考:马慧,田丽霞;改卷:李岩。

由于九年级临近中考故不参加,九年级教师做好复习迎考工作。

二、 参赛人员:

由八年级各数学教师从班上抽选或组织学生自愿报名的形式每班抽取5名学生参加竞赛。

三、 奖项设置:

一等奖1名,二等奖2名,三等奖3名。

四、 竞赛时间:2013年11月21日(星期四)下午4:50—5:50

五、 考场安排:

考场设置在多媒体教室,实行单人单桌考试制度。

六、 监考教师务必从严监考,杜绝舞弊现象。改卷教师务必做到公

正、公平。

七、 5月25日下午7点前各评卷教师将竞赛试卷交于教务处,请

教务处的同志安排发奖事项。

关桥中学数学教研组2013年11月18日

第四篇:初中数学竞赛方案

2010年5月份

七、八年级数学竞赛方案

为增强我校学生的数学学习兴趣,培养学生竞争意识,也为了履行本学期初的教务工作计划,我数学教研组特定于5月25日下午第二节课在全校

七、八年级学生中举行一次数学竞赛,具体竞赛方案如下:

一、竞赛组织教师:

七年级组:×××、×××、×××(出卷:×××;监考:×××;改卷:×××)

八年级组:×××、×××、×××(出卷:×××;监考:×××;改卷:×××)

由于九年级临近中考故不参加,九年级教师做好复习迎考工作。

二、参赛人员:

七、八年级各数学教师或班主任以从班上抽选或组织学生自愿报名的形式每班至少抽取5名学生参加竞赛。

三、奖项设置:

每年级组设置一等奖1名,二等奖2名,三等奖3名,组织奖每班一名,分别奖励80元、60元、40元的奖金或等价值奖品。

四、竞赛时间:2010年5月25日(星期二)下午2:55—4:55

五、考场安排:

七年级组考场设置在教师会议室,实行单人单桌考试制度;八年级组考场设置在多媒体教室,实行单人单桌考试制度。

六、监考教师务必从严监考,杜绝舞弊现象。改卷教师务必做到公正、公平。

七、5月25日下午7点前各评卷教师将竞赛试卷交于教务处,请教务处的同志

安排发奖事项。

×××中学数学教研组2010年5月21日

第五篇:初中数学竞赛大纲

数学竞赛活动对于开发学生智力、开拓视野、促进教学改革、提高教学水平、发现和培养数学人才都有着积极的作用。这项活动也激励着广大青少年学习数学的兴趣,吸引他们去进行积极的探索,不断培养和提高他们的创造性思维能力。数学竞赛的教育功能显示出这项活动已成为中学数学教育的一个重要组成部分。为了使全国数学竞赛活动持久、健康地开展,中国数学会普及工作委员会于1994年制定了《初中数学竞赛大纲》,这份大纲的制定对全国初中数学竞赛活动的开展起到了很好的指导作用,使我国初中数学竞赛活动日趋规范化和正规化。

新的课程标准的实施在一定程度上改变了初中数学课程的体系、内容和要求。同时,随着国内外数学竞赛活动的发展,对竞赛活动所涉及的知识内容、思想和方法等方面也有了一些新的要求。为了使新的《初中数学竞赛大纲》能够更好地适应初中数学教育形势的发展和要求, 经过广泛征求意见和多次讨论, 中国数学会普及工作委员会组织了对《初中数学竞赛大纲》的修订。

本大纲是在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 》的精神和基础上制定的。在《全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 》中提到:“„„要激发学生的学习潜能,鼓励学生大胆创新与实践;„„要关注学生的个体差异,有效地实施有差异的教学,使每个学生都得到充分的发展;„„” 由于各种不同的因素,学生在数学知识、技能、能力方面和志趣上存在差异,教学中要承认这种差异,区别对待,因材施教,因势利导。应根据基本要求和通过选学内容,适应学生的各种不同需要;对学有余力的学生,要通过讲授选学内容和组织课外活动等多种形式,满足他们的学习愿望,发展他们的数学才能;鼓励学生积极参加形式多样的课外实践活动。

学生的数学学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程,不应只限于接受、记忆、模仿和练习,还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。教师要根据学生的不同基础、不同水平、不同兴趣和发展方向给予具体的指导,引导学生主动地从事数学活动,从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学的思想和方法,获得广泛的数学活动经验。《全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 》中所列出的内容,是教学的要求,也是竞赛的基本要求。在竞赛中对同样的知识内容,在理解程度、灵活运用能力以及方法与技巧掌握的熟练程度等方面有更高的要求。“课堂教学为主,课外活动为辅”也是应遵循的原则。因此,本大纲所列的课程标准外的内容充分考虑到学生的实际情况,分阶段、分层次让学生逐步地去掌握,重在培养学生的学习兴趣、学习习惯和学习方法,使不同程度的学生在数学上都得到相应的发展,并且要贯彻”少而精”的原则,处理好普及与提高的关系。

1. 数

整数及进位制表示法,整除性及其判定。

素数和合数,最大公约数与最小公倍数。

奇数和偶数,奇偶性分析。

带余除法和利用余数分类。

完全平方数。 因数分解的表示法,约数个数的计算。 有理数的概念及表示法,无理数,实数,有理数和实数四则运算的封闭性。 2. 代数式 综合除法、余式定理。 因式分解。 拆项、添项、配方、待定系数法。 对称式和轮换对称式。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 3. 方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法,一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法,一元二次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。 简单的多元方程组。 简单的不定方程(组)。 4. 函数 y=|ax+b|, 及 的图象和性质。 二次函数在给定区间上的最值,简单分式函数的最值。 含字母系数的二次函数。 5. 几何 三角形中的边角之间的不等关系。 面积及等积变换。 三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性质。 相似形的概念和性质。 圆,四点共圆,圆幂定理。 四种命题及其关系。 6. 逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用。 简单的组合问题。 简单的逻辑推理问题,反证法。 极端原理的简单应用。 枚举法及其简单应用。