考研高数第八章总结

2022-08-18

总结是一种事后记录方式,针对于工作结束情况、项目完成情况等,将整个过程中的经验、问题进行记录,并在切实与认真分析后,整理成一份详细的报告。如何采用正确的总结格式,写出客观的总结呢?以下是小编整理的关于《考研高数第八章总结》,仅供参考,希望能够帮助到大家。

第一篇:考研高数第八章总结

南通大学2012大一高数第一学年期末考试考点简括

三角函数基本公式(如积化和差,和差化积,二倍角公式等等)

反三角函数的值域与其对应三角函数的关系

数列的极限——注意数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件

函数极限的部分性质(唯一性,局部保号性,局部有界性)

无穷小与无穷大(后者是重点)

极限运算法则(不会直接考察,但题目中一定会用到,所以说是重点)

夹逼准则,几个重要不等式,两个重要极限(都是重点)

理解高阶无穷小,低阶无穷小,同阶无穷小,等阶无穷小的联系及区别

函数的间断点(第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点,其他的统称为第二类间断点)

导数的求导法则(重中之重!)

反函数,复合函数的导数的求法,及隐函数的求法(必考,重点)

微分与积分的联系与区别(微分=积分dx)

罗尔定理,拉格朗日中值定理的应用(必考)

洛必达法则的使用条件及如何使用

函数的极值与最值,驻点与拐点的区别

不定积分,定积分之间的联系(重点是其中的公式,要熟记)

第二篇:考研高数知识总结1

考研数学讲座(17)论证不能凭感觉

一元微分学概念众多,非常讲究条件。讨论问题时,要努力从概念出发,积极运用规范的算法与烂熟的基本素材。绝不能凭感觉凭想象就下结论。

1. x趋于∞时,求极限 lim xsin(2x∕(x平方+1) ,你敢不敢作等价无穷小替换?

分析 只凭感觉,多半不敢。依据定义与规则,能换就换。

x 趋于∞时,α = 2x∕(x平方+1)是无穷小,sinα 是无穷小, sinα(x) ~ α(x)且 sinα 处于“因式”地位。可以换。

等价无穷小替换后,有理分式求极限,是“化零项法”处理的标准∞∕∞型,答案为 2

2.设f(x)可导,若f(x)是奇(偶)函数(周期函数,单调函数,有界函数),它的导函数fˊ(x)有什么样的奇偶性(周期性,单调性,有界性) ?

分析 有定义数学式的概念,一定要先写出其定义式。简单一点也行。比如 奇函数 f(-x)= -f(x) 周期为T的函数 f(x+T)= f(x) 等式两端分别求导,得 fˊ(-x) = fˊ(x) fˊ(x+T)= fˊ(x) (实际上,由复合函数求导法则, (f(-x))ˊ= fˊ(-x) (-x)ˊ= -fˊ(-x))

所以,奇函数的导数是偶函数;偶函数的导数是奇函数。(如果高阶可导,还可以逐阶说下去。)周期函数的导数也是周期函数。很有趣的是,因为 (x)ˊ= 1 ,有的非周期函数,比如y = x + sinx ,的导数却是周期函数。

(潜台词:周期函数的原函数不一定是周期函数。)

单调函数定义中没有等式的概念,可以先在基本初等函数中举例观察。

如y = x单增,yˊ = 1不是单调函数。y = sinx在(0,π/2)单增,yˊ = conx 单减,没有确定的结论。

有界性讨论相对较为困难。如果注意到导数的几何意义是函数图形的切线斜率。即切线倾角的正切。就可以想到,在x趋于x0时,要是导数值无限增大,相应的图形切线就趋向于与x轴垂直。显然,圆周上就有具竖直切线的点。

取 y =√(1-x的平方),它在[0,1]有界,但是 x 趋于 1 时,其导数的绝对值趋于正无穷。 这个反例说明有界函数的导数不一定有界。

(画外音:写出来很吓人啊。 x → 1 时 ,lim f (x) = 0 ,而 lim fˊ(x)= -∞ )

3. 连续函数的复合函数一定连续。有间断点的函数的复合函数就一定间断吗?

分析 连续函数的复合,花样更多。原因在于复合函数f(g(x))的定义域,是f(x)的定义域与g(x)值域的交。有“病”的点可能恰好不在“交”内。因而,有间断点的函数的复合函数不一定间断。比如:

取分段函数 g(x)为,x > 0 时 g =1 , x ≤ 0 时 g = -1,0是其间断点。 取 f(u)=√u ,则 f(g(x))= 1 在 x > 0 时有定义且连续。 还有一些原因让“病态点”消失。

如果只图简单,你可以取 f(u)为常函数。以不变应万变。

取 f(u)= u的平方 ,则 f(g(x))= 1 ,显然是个连续函数。

4.设 f (x)可导,若x趋于 +∞ 时 ,lim f (x) = +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞ 分析 稍为一想,就知为否。 例如 y = x 更复杂但颇为有趣的是 y = ln x ,x 趋于 +∞ 时 ,它是无穷大。但是 yˊ = 1∕x 趋于0 ,这就是对数函数异常缓慢增长的原因。 5.设f(x)可导,若 x 趋于+∞时,lim fˊ(x) = +∞ , 是否必有 lim f(x) = +∞ 分析 用导数研究函数,这是微积分的正道。首先要体念极限(见指导(3)。): 因为 lim fˊ(x) = +∞,所以当 x 充分大时,不仿设 x > x0 时,总有 fˊ(x)>1 用拉格朗日公式给函数一个新的表达式

f (x)= f (x0)+ fˊ(ξ)(x-x0) , x0 <ξ< x (潜台词: ξ=ξ(x) 。你有这种描述意识吗?) 进而就有, x >x0 时, f (x) >f (x0) + 1(x-x0) (画外音:这一步是高级动作。) 因为 f (x0)是个常数,x0是我们选择的定点,所以上式表明,必有 lim f (x) = +∞ 6 。 设 f (x)可导,若 x 趋于 -∞ 时,lim fˊ(x)=-∞ , 是否必有 lim f (x)= -∞ 分析 否。你如果与上述问题5对比,认为情形相仿,结论必有。那就太想当然了。 请你还是老老实实地象5中那样写出推理吧。结论是

若 x 趋于 -∞ 时,lim fˊ(x)= -∞ , 则必有 lim f (x) = +∞

7.设 f (x)可导,若x 趋于+∞时,lim f (x) = c(常数,)是否必有lim f ˊ(x) = 0 分析 否。lim fˊ(x) 有可能不存在。

这是最容易凭感觉想当然的一个题目。我读本科时,最初的想法就是,“lim f(x) = c 表示函数图形有水平渐近线,函数又可导,当然在 x 趋于+∞时,切线就趋于水平了。”

想当然的原因之一是我们见识太少,脑子里的函数都较简单,图形很光滑漂亮。之二则是对于渐近线的初等理解有惯性。

由极限定义的水平渐近线,并不在乎曲线中途是否与其相交。比如, 曲线可以以渐近线为轴震荡,最终造成 lim fˊ(x) 不存在的后果。 对比条件强化 —— 如果 lim fˊ(x) 存在,则必有 lim fˊ(x) = 0 用反证法证明。且不仿设 x 趋于 +∞ 时 lim fˊ(x) = A >0 与前述5中同样,可以选定充分大的正数 x0,使 x>x0 时,总有 fˊ(x)>A/2 ,然后用拉格朗日公式给函数一个新的表达式,导数条件管住ξ,从而有

f (x) >f (x0) + A(x-x0) /2 —→+∞ 矛盾。

8.函数在一点可导,且导数大于0 ,能说函数在这一点单增吗?

分析 不能。函数的单调性是宏观特征,背景是区间。函数在一点可导,且导数大于0,其间所蕴含的信息只能通过可导的定义去挖掘。即先把条件还原成定义算式,即 x 趋于x0 时,lim ( f (x)-f(x0))/ (x-x0)> 0 如果没有别的条件,下一步就试试体念符号。即在x0邻近,分子分母同号。进而在其右侧邻近,分子分母皆为正,f (x) > f(x0) 。但是,我们不知道函数值相互间的大小。

*9 设f (x)可导,若fˊ(a)·fˊ(b) < 0 ,则(a,b)内必有点c ,fˊ(c) = 0

分析 对。尽管可导函数的导函数不一定连续。但是,导函数天然地满足介值定理。这个结论在微积分中叫“达布定理”。

在本篇问题8中,我们讲了“一点导数大于0”的逻辑推理。现在不仿设 fˊ(a) > 0 而 fˊ(b) < 0 分别在a , b两点处写出导数定义式,体念极限符号,(本篇问题8。)可以综合得到结论:

函数的端值 f (a),f (b) 都不是 f (x)在[a,b] 上的最大值。 最大值只能在(a,b)内一点实现,该点处导数为0 好啊,多少意外有趣事,尽在身边素材中。要的是脚踏实地,切忌空想。 考研数学讲座(18)泰勒公式级数连

中值定理是应用函数的导数研究函数变化特点的桥梁。中值定理运用函数在选定的中心点x0的函数值、导数值以及可能的高阶导数值,把函数表示为一个多项式加尾项的形式。再利用已知导函数的性质来处理尾项,对函数做进一步讨论。

中值定理的公式(可微分条件,有限增量公式,泰勒公式)都是描述型的数学公式。 描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述,你记住公式,完整地写出来不就行了。公式中的“点ξ”理解为客观存在的点。

在选定的中心点x0,函数的已知信息越丰富,相应的泰勒多项式与函数越贴近。 1.“微分是个新起点” —— 若函数 f(x)在点x0可微,

Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx) ;其中,ο(Δx)表示“比Δx高阶的无穷小。” 则函数实际上就有了一个新的(微局部的)表达式:

f(x)= f (x0) + f ′(x0)(x-x0) + ο(Δx) ( ο(Δx) 尾项,比Δx高阶的无穷小)

(潜台词:只有|Δx |充分小,“高阶无穷小”才有意义。)

历史上,这个表达式称为,“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。

2. 拉格郎日公式 —— 若 函数f (x)在闭区间 [a,b] 上连续,在(a,b)内可导,则(a,b)内至少有一点ξ,使得 f (b)-f (a) = f ′(ξ)(b-a)

定理说的是区间,应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点,实际上也组成一个(子)区间。比如,在区间内任意选定一点x0,对于区间内任意一点x,(任给一点,相对不变。)也可以有 f (x)-f (x0) = f ′(ξ)(x-x0),ξ 在 x 与 x0之间,

(潜台词:任意一点x,对应着一个客观存在的“点ξ”, ξ=ξ(x) ) 即 f(x)= f(x0)+ f ′(ξ)(x-x0) ,ξ 在 x 与 x0之间, 3. 泰勒公式 —— 如果函数在点x0 邻近有二阶导数

f(x)= f(x0)+ f ′(x0)(x-x0)+ (f ″(ξ) /2)(x-x0)² ,ξ 在x与x0之间 式中的尾项叫拉格郎日尾项。有时也把 ξ 表示为 x0 +θ(x-x0) ,0<θ<1 一般情况下,我们无法知道

ξ=ξ(x)的结构、连续性等,只能依靠已知导函数的性质来限定尾项,实现应用目的。

如果函数仅在点x0二阶可导,我们可以用高阶无穷小尾项(皮阿诺余项)

f(x)= f(x0)+ f ′(x0)(x-x0)+ (f ″(x0) /2)(x-x0)²+ ο(|Δx| ²) 泰勒系数 —— 如果在点x0 邻近f(x)n+1 阶可导,则有泰勒系数 f(x0) ,f ′(x0) , f ″(x0) / 2! ,f ′ ″(x0) / 3! ,„„

可以写出, f(x)= n 次泰勒多项式 + 拉格朗日尾项

4. 泰勒级数 —— 如果在点x0邻近f(x)无穷阶可导,不妨取x0 = 0,则利用泰勒系数可以写出一个幂级数

f(x)= f(0)+ f ′(0) x +(f ″(0) /2)x²+(f ′ ″(0 ) / 3!)x³ + „„ 这个幂级数的和函数是否就是f(x)呢?不一定!

(画外音:太诡异了,f(x)产生了泰勒系数列,由此泰勒系数列生成一个幂级数 ,它的和函数却不一定是 f(x)。就象鸡下的蛋,蛋孵出的却不一定是鸡。)

关键在余项。当且仅当 n → ∞ 时,泰勒公式尾项的极限为 0 ,f(x)一定是它的泰勒系数列生成的幂级数的和函数。称为 f(x)的泰勒展开式。 验证这个条件是否成立,往往十分困难。故通常利用五个常用函数的泰勒展开式,依靠唯一性定理,用间接法求某些别的函数的泰勒展开式。

美国的学生特别轻松,他们的大学数学教材很有创意,早在极限部分就要求他们,当成定义记住指数函数与正弦函数的泰勒展开式。

exp(x)= 1 + x + x²/2!+ x³/3!+ „„ -∞

(逐项求导, cos x = 1- x²/2!+ „„

-∞

泰勒公式基本应用(1)—— 等价无穷小相减产生高阶无穷小。 关键在于低阶项相互抵消。应用泰勒公式直接有 ,x → 0 时, exp(x)- 1 ~ x , exp(x)-1-x ~ x² / 2

sin x ~ x , sin x - x ~ - x³ / 3! , cos x -1 ~ - x²/2 ln(1+x)~ x , ln (1+x)-x ~ -x²/2 (1+x)的μ次方- 1 ~ μ x 例87 已知x→ 1时,lim(√(x³+3) -A-B(x -1)-(x -1) ² )/(x -1) ² = 0 ,试确定常数,A,B,C 分析

已知表明 x → 1 时,分子是较分母高阶的无穷小。

题面已暗示,应将函数y =√(x³+3)在点 x = 1 表示为带皮阿诺余项的泰勒公式,且必有

常数项 = A 一次项系数 = B 二次项系数 = C 这些低阶项相互抵消,分子才能成为高于二次方级的无穷小。

于是 A = y(1) = 2 ,B = y ′(1) = 3/4 , C = y″(1) / 2 = 39/64 (画外音:有的人一遇上这类题就想用洛必达法则,这在逻辑上是错的。不懂得无穷小的变化机理。 如果只有两个参数,可看讲座(9)。)

泰勒公式基本应用(2)—— 带皮阿诺余项的泰勒公式用于求极限

例88 若 x→ 0 时 ,极限 lim ( sin6 x+ f(x))/ x³ = 0 ,则

x→ 0 时,极限 l im ( 6 + f(x))/ x² = ? 分析

分子有两项。决不能把 sin6 x 换为 6x , (潜台词:sin6 x不是分子的因式,是分子的一项。)

这时正好用“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”, sin 6x = 6 x - ( 6x)³/3!+ ο(|Δx| ³) 代入已知极限,移项得 lim ( 6 + f(x))/ x² = 36

例89 设函数 f (x) 在 x = 0 的某邻域内有连续的二阶导数,且 f (0)≠0 ,f ′(0)≠0, 记 F(h) = λ1 f (h) + λ2 f (2h) + λ

f (3h) 一 f (0),

试证,存在唯一的实数组 λ1,λ2,λ3 ,使 h → 0 时,F(h) 是比 h ² 高阶的无穷小。

3 分析 讨论极限问题,有高阶导数信息,先写带皮亚诺余项的泰勒公式 f(x)= f(0)+ f ′(0)x + (f ″(0) /2)x²+ ο(|x| ²)

这是函数 f(x)的一个新的(微局部的)表达式,当然可以表示 f (h) , f (2h), f (3h) f (h) = f(0)+ f ′(0) h + (f ″(0) /2)h ²+ ο(| h | ²)

f (2h) = f(0)+ f ′(0)2 h + (f ″(0) /2)(2h)²+ ο(| h | ²) f (3h) = f(0)+ f ′(0)3 h + (f ″(0) /2)(3h)²+ ο(| h | ²) (潜台词:常数因子不影响尾项。) 将各式代入F(h),整理得

F(h) = ( λ1+λ2+λ3一1) f(0)+ ( λ1+2λ2 + 3λ3) f ′(0) h + ( λ1+ 4λ2 + 9λ3) f ″(0) h ²/2 + ο(| h | ²)

要让 h → 0 时,F(h) 是比 h ²高阶的无穷小。,只需令上式中的常数项及 h 和 h ²项的系数全为 0 ,这就得到未知量

λ1,λ2,λ3 的一个齐次线性方程组,它的系数行列式是三阶的范德蒙行列式,其值不为 0 ,故可以相应算得唯一的一组 λ1,λ2,和 λ3 泰勒公式基本应用(3)——带拉格郎日尾项的泰勒公式用于一般讨论 例90 —— 凸函数不等式

如果函数 f (x) 二阶可导且二阶导数定号,(称为凸函数),则应用泰勒公式可以得到不等式

f (x)≥ f(x0)+ f ′(x0)(x-x0) (或≤)

实际上 f(x)= f(x0 )+ f ′(x0)(x-x0)+ (f ″(ξ) /2 ) (x-x0)² ,ξ 在 x 与 x0之间

设 f ″(x)> 0 ,自然有(f ″(ξ) /2 ) (x-x0)² > 0 ,舍掉此项就得到不等式。

*例91 函数 f (x) 在 [-1,1] 上有连续的三阶导数,且 f (-1) = 0 ,f (1) =1,f ′(0) = 0,试证明在区间 内至少有一点 ξ ,使得 f ″′(ξ) = 3 分析 选中心点 x0 = 0,在区间内讨论,写出带拉格郎日尾项的泰勒公式

f(x)= f(0)+(f ″(0) /2)x²+(f ′ ″(η ) / 3!)x³ , η在0与x之间 既然这是 f (x) 的又一个表达式,当然可以代入x = -1 , 1 ,它们分别相应有 ξ 1,ξ 2 0 = f(-1)= f(0)+(f ″(0) /2)(-1)²+(f ′ ″(ξ 1 ) / 3!)(-1)³ , -1<ξ 1<0 1 = f(1)= f(0)+(f ″(0) /2)1² +(f ′ ″(ξ 2) / 3!)1³ , 0 <ξ 2 < 1 到了这一步,仔细观察发现,两式相减,能得到只剩下有关三阶导数值的表达式。 f ′″(ξ 2) + f ′″(ξ 1 ) = 6 或着两个三阶导数值都等于3 ,本题得证。或者它们一大于3 ,一小于3 ,而函数 f ″′(x) 连续,可以应用介值定理完成本题证明。

第三篇:八年地理下册第八章总结范文

第八章(第一节,第二节总结) 姓名:

8101黄土高原位于我国四大地理区域的北方地区,长城一线位于黄土高原的北侧。

8102世界上最大的黄土堆积区是黄土高原,黄土高原生态环境比较脆弱,其形成的直接原因是气候较为干旱。 8103世界上水土流失最严重的地区之一是黄土高原,关于黄土高原的形成,已形成了广泛支持的说法是风成说。 8104黄土高原上黄土的厚度一般超过100米,黄土高原地区最主要的自然灾害旱涝灾害。

8105地表“干沟万壑,支离破碎”的地形区是黄土高原。黄土高原位于我国地势的第二阶梯。

8106引起黄土高原水土流失的人为原因是毁林开荒,加强黄土高原水土保持的最根本措施是植树种草。

8107黄土高原的黄土物质是哪个地方吹来的中亚、蒙古等地。我国“吃小米,住窑洞,唱信天游”的地区是黄土高原 8108黄土高原的地形特征是形成黄土高原地表千沟万壑的主要原因是水土流失。黄土高原上种植的主要粮食作物小米。 8109黄土高原的居民,利用黄土直立的性质,发明了特有的居民建筑是窑洞,位于黄土高原东部边缘的山脉是太行山。 8110黄土高原所跨的省级行政区有山西、陕西、宁夏、甘肃“五岳”中位于黄土高原的是华山。

8111黄土高原所属的温度带主要是暖温带,黄土高原农作物的熟制主要是一年两熟或两年三熟。

8112黄土高原的年降水量主要界于400mm~800mm,黄土高原主要位于黄河的中游。

8113全国十大旅游景点中位于黄土高原地区的是秦始皇陵兵马俑,黄土高原上我国最大的煤炭能源基地是山西。

8114黄土高原水土流失的自然原因①地表光秃裸露,缺少植被②黄土结构疏松,许多物质易溶于水③降水集中,多暴雨。 8115治理黄河的关键是加强黄土高原的水土保持。黄河上中游水能丰富的原因是流经我国地势阶梯的交界处。

8116泾河和渭河同是黄河的支流,但两者的水质截然不同(泾渭分明)的原因泾河流经黄土高原,渭河流经渭河谷地8201长江沿江地带东起上海,西到四川省的攀枝花市。

8202长江沿江地带地形以平原和低山丘陵为主。地势总的看来比较低平。

8203长江沿江地带气候属亚热带季风气候,夏季炎热,冬季温和,年降水量在1000毫米以上。

8204长江沿江地带中,位于长江上游的最大工业城市是重庆市,位于长江中游的最大城市是武汉市。

8205目前,国家在长江沿江地带的上海市大力进行浦东新区建设,该区的经济以外向型经济为主要发展目标。8206长江沿江地带湖泊众多,位于长江中游的最主要湖泊是洞庭湖和鄱阳湖

8207下列铁路线中和长江航线相交于南京的是京九线。长江流域洪涝灾害最集中、最严重的地区是长江中下游地区。 8208治理长江沿岸地带洪涝灾害的重要工程是三峡水利工程以及长江中上游水土保持林

8209长江沿江地带是我国重要的农业区,下列农产品中主要分布在长江流域的是水稻、冬小麦、棉花、油菜 8210长江沿江地带的气候特征是夏季高温多雨,冬季低温少雨,四季分明。长江三峡位于重庆和湖北交界处。 8211我国最大的综合性工业基地是以沪宁杭为中心的工业基地(也称长三角工业基地)。

8212长江沿江地带的“汽车工业走廊”的主要城市自东向西:上海、南京、武汉(汽车工业基地)、重庆(摩托车基地)。 8213长江上游地区最主要的生态问题是水土流失严重,中游最主要的环境问题是酸雨污染严重,我们能采取的主要措施有多植树造林退耕还林还草。综合治理长江的首要任务是:防洪。

8214由于长江上游水土流失严重,使中下游的湖泊萎缩,洪涝(灾害性天气)也更严重了。

901我国必须走可持续发展这主要是因为人口众多、资源相对不足和面临严重的环境危机。

902在国际社会中我国是联合国安理会常任理事国。

9032001年我国正式加入世界贸易组织,标志着中国经济正在加速融入全球经济一体化

904我国的基本国情是:山川秀丽,领土广阔,自然环境复杂多样;我国有56个民族,55个少数民族。

(1)长江沿江工业地带西起四川的______市,东到_____市,

与贯穿南北的沿海经济带及广大的西部地区大致构成

“___________”形经济格局。

(2)长江沿江地带众多工业城市构成一条“汽车工业走廊”

的主要城市自东向西。

(3)图中A处是我国最大的综合性工业基地___________地区,试从工业基础、科技、交通、劳动力素质、市场等方面中任选三方面分析该地区发展工业的有利条件:市场广阔、交通便利、工业基础雄厚等

(4)沿江地带从东到西将上海、_________、___________、_________等商业中心联接起来,成为沟通东西商贸的纽带。

(5)长江上游地区最主要的生态问题是__________;中游最主要的环境问题是___________。针对上游地区存在的生态问题,我们能采取的措施有____________________________________________________________________________。

(6)由于长江上游水土流失严重,使中下游的湖泊萎缩,(灾害性天气)也更严重了。

(7)长江沿江地带依托长江便利的和丰富的资源及相应产业形成了四大城市密集区。由图可知长江流域(河段)的城市分布密集。

(8)长江沿岸地区在迅速发展经济的同时出现了一些环境问题如图中阴影部分所示的污染,它可腐蚀建筑物等。

第四篇:九年级化学第八章知识点总结

第八单元金属和金属材料

第一节金属材料

 金属材料:金属材料包括纯金属以及它们的合金。

 金属的物理性质

 在常温下一般为固态(汞为液态),有金属光泽(大多数金属呈银白色,铜呈紫红色,金呈黄色);

 导电性、导热性、熔点较高、有延展性、能够弯曲、硬度较大、密度较大。  金属之最

 人体中含量最多的金属元素——钙

 熔点最高的金属——钨

 熔点最低的金属——汞

 硬度最大的金属——铬

 密度最大的金属——锇

 密度最小的金属——锂

 金属的分类

黑色金属:通常指铁、锰、铬及它们的合金。

重金属:如铜、锌、铅等

轻金属:如钠、镁、铝等

 金属的应用

物质的性质在很大程度上决定了物质的用途,但这不是唯一的决定因素。在考虑物质的用途时,还需要考虑价格、资源、是否美观、使用是否便利,以及废料是否易于回收和对环境的影响等多种因素。

 铜、铝——电线——导电性好、价格低廉

  铬——电镀——硬度大

 铁——菜刀、镰刀、锤子等

 银——保温瓶内胆

 铝——“银粉”、锡箔纸

 合金:由两种或两种以上的金属或金属与非金属经一定方法所合成的具有金属特性的物

质。

合金是混合物。金属氧化物不是合金。

 目前已制得的纯金属只有90多种,而合金已达几千种。

 合金的硬度一般比组成它的纯金属的硬度大,抗腐蚀性强。

 合金的熔点一般比组成它的纯金属的熔点低。

 可用来造人造骨。

钛和钛合金的优点:① 熔点高、密度小; ② 可塑性好、易于加工、机械性能好; ③ 抗腐蚀性能好。

 生铁和钢性能不同的原因:含碳量不同。

第二节金属的化学性质

 金属与氧气的反应

 镁、铝:

 在常温下能与空气中的氧气反应:2Mg+O22MgO4Al+3O2=2Al2O

3 化铝薄膜,从而阻止铝进一步氧化。

 铁、铜

 在常温下、干燥的环境中,几乎不与氧气反应,但在潮湿的空气中会生锈。  铁、铜在高温时能与氧气反应:3Fe+2O2Fe3O42Cu+O22CuO

 金即使在高温时也不与氧气反应。

 金属与酸的反应:活泼金属+酸 → 盐+H2↑

 描述现象时,需要注意:① 如果有铁、铜元素参加反应,一定要注意溶液颜色的

变化; ② 反应放热,但是只有镁和酸反应时放热现象明显。

 置换反应:由一种单质和一种化合物反应,生成另一种单质和另一种化合物的反应是置

换反应。

当铁单质参加置换反应时,生成物中的铁元素呈+2价。

 常见金属在溶液中的活动性顺序:

KCaNaMgAlZnFeSnPb(H)CuHgAgPtAu

金属活动性由强逐渐减弱

 在金属活动性顺序里,金属的位置越靠前,它的活动性就越强。

 在金属活动性顺序里,位于氢前面的金属能置换出盐酸、稀硫酸(不可以用浓硫酸

和硝酸)中的氢。

 在金属活动性顺序里,位于前面的金属能把位于后面的金属从它们化合物的溶液里

置换出来。

 钾、钙、钠不符合这一条。它们会先和水反应生成碱和氢气,然后碱和盐反应。  金属与盐溶液的反应:金属+盐→另一金属+另一盐(条件:“前换后,盐可溶”)

在活动性顺序中,金属的距离大的,反应先发生。一个置换反应结束后,另一个置换反应才会发生。如在硫酸亚铁和硫酸铜的混合溶液中加入锌粒,锌会先和硫酸铜反应,反

应完毕后锌才和硫酸亚铁反应。

 “湿法冶金”的反应原理:Fe+CuSO4=Cu+FeSO

4 Fe2+的盐溶液是浅绿色的,Fe3+的盐溶液是黄色的,Cu2+的盐溶液是蓝色的。  比较Cu、Fe、Ag三种金属的活动性顺序

 使用铁、银和溶液,一次性得出结果:

操作及现象:把铁、银分别放入硫酸铜溶液中,铁表面没有现象;而银表面会附着一层红色物质,并且溶液会由蓝色逐渐变为无色。

 使用铜、硫酸亚铁溶液和硝酸银溶液,一次性得出结果:

操作及现象:把铜分别放入硫酸亚铁溶液和硝酸银溶液中,硫酸亚铁溶液没有现象;而在硝酸银溶液中,铜表面会附着一层白色物质,溶液由无色逐渐变为蓝色。  选用试剂时,要根据金属活动性顺序表将三种金属排序,然后将排在中间的金属变

成盐溶液,或者将排在两边的金属变成盐溶液,这样才能一次性得出结果。

第三节金属资源的利用和保护

 矿石:工业上把能用来提炼金属的矿物叫做矿石。 Fe3O4)、黄铁矿(FeS2)、菱铁矿(FeCO3)、铝土矿(Al2O3)、黄铜矿(CuFeS2)、辉铜矿(Cu2S)等。

 铁的冶炼

 实验室——一氧化碳还原氧化铁

 工业——高炉炼铁

 设备:高炉(图见书17页)。

 原料:铁矿石(赤铁矿或磁铁矿)、焦炭、石灰石、(空气)。

 反应原理:C+O2CO

2、CO2+C2CO、3CO+Fe2O32Fe+3CO2。  石灰石的主要作用是将矿石中的二氧化硅(SiO2)转变为炉渣(CaSiO3)。  产品:生铁(实验室中“炼”出的铁不含碳,而工业生产中炼出的铁含碳)。  含杂质的反应物或生成物的有关计算

当参加反应的物质含杂质时,先要把含杂质的物质的质量换算成纯物质的质量,再进行计算。

一般利用该公式及其变形:纯度纯物质的质量100%。 不纯物质的总质量

【例题】1000t含氧化铁80%的赤铁矿石,理论上可以炼出含铁96%的生铁的质量是多少?

【解法1】 1000t赤铁矿石中含氧化铁的质量为:1000t80%800t

设生成的铁的质量为x。

高温3COFe2O32Fe3CO

2160112

800tx

160800t112x

112800tx560t160

折合为含铁96%的生铁的质量为560t96%583t

答:800t氧化铁理论上可以炼出生铁的质量为583t。

【解法2】 设理论上可以炼出含铁96%的生铁的质量为x。(x不是纯物质的质量,不能直接代入计算)

1000t赤铁矿石中含氧化铁的质量为:1000t80%800t

高温Fe2O33CO2Fe3CO2

160112

1000t80%x96%

160800t112x96%

112800tx583t16096%

答:800t氧化铁理论上可以炼出生铁的质量为583t。 铁生锈的实验(见右图) 【实验器材】大试管、试管夹(带铁夹的铁架台)、胶塞、经煮沸迅速冷却的蒸馏水、植物油、洁净无锈的铁钉、棉花和干燥剂氯化钙等。 【实验过程】取三根洁净无锈的铁钉,一根放在盛有蒸馏水的试管中,并使铁钉外露一半;一根放在用植物油密封的蒸馏水中;一根放在干燥的空气中,注意每天观察铁钉锈蚀的现象,连续观察约一周。 【实验现象】第一个试管中的铁钉生锈,而第

二、三个试管中没有明显现象。【实验结论】铁生锈实际上是铁与空气中的氧气、水蒸气共同作用的结果。 干燥剂【注意事项】 第二个试管内没有现象,证明了铁钉生锈需要氧气; 植物油 第三个试管内没有现象,证明了铁钉生锈需要水蒸气。 铁锈很疏松,铁制品可以全部被锈蚀。 除去铁锈的方法  物理方法:刀刮、砂纸打磨。  化学方法:少量、多次地滴加稀盐酸或稀硫酸。 防止铁制品生锈的方法  擦干后涂一层保护膜(作用:隔绝空气、防水)。具体方法如下:  物理方法——刷漆(油漆或银粉)、涂油  化学方法——电镀其它金属(铬或锌)、烤蓝  制成不锈钢。 金属资源的保护措施:

① 防止金属的腐蚀;

② 回收利用废旧金属;

③ 有计划、合理地开采矿物;

④ 寻找金属的代用品。(例如用塑料来代替钢和其他合金制造管道、齿轮和汽车外壳等) 意义:节约金属资源和能源,降低金属的生产成本,减少对环境的污染。

第五篇:考研数学:高数重要公式总结(基本积分表)

凯程考研

历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员!

考研数学:高数重要公式总结(基本积

分表)

考研数学中公式的理解、记忆是最基础的,其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式,希望能帮助考研生更好的复习。

其实,考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用,难题异题并不多,只要大家都细心、耐心,都能取得不错的成绩。考研生加油哦! 凯程考研,考研机构,10年高质量辅导,值得信赖! 以学员的前途为已任,为学员提供高效、专业的服务,团队合作,为学员服务,为学员引路。

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凯程考研:

凯程考研成立于2005年,具有悠久的考研辅导历史,国内首家全日制集训机构考研,一直从事高端全日制辅导,由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成,为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨:让学习成为一种习惯; 凯程考研的价值观:凯旋归来,前程万里; 信念:让每个学员都有好最好的归宿;

使命:完善全新的教育模式,做中国最专业的考研辅导机构; 激情:永不言弃,乐观向上;

敬业:以专业的态度做非凡的事业;

服务:以学员的前途为已任,为学员提供高效、专业的服务,团队合作,为学员服务,为学员引路。

特别说明:凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布,同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导,真真实实的案例,凯程考研的价值观:凯旋归来,前程万里。

如何选择考研辅导班:

在考研准备的过程中,会遇到不少困难,尤其对于跨专业考生的专业课来说,通过报辅导班来弥补自己复习的不足,可以大大提高复习效率,节省复习时间,大家可以通过以下几个方面来考察辅导班,或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量:师资力量是考察辅导班的首要因素,考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经

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验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价,询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力,因为任何一门课程,都不是由

一、两个教师包到底的,是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集,李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课,对知识点把握和命题方向,欠缺火候。

对该专业有辅导历史:必须对该专业深刻理解,才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中,从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下2015五道口金融学院状元,考取五道口15人,清华经管金融硕士10人,人大金融硕士15个,中财和贸大金融硕士合计20人,北师大教育学7人,会计硕士保录班考取30人,翻译硕士接近20人,中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程,法学方面,凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元,更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜,成功学员经验谈视频特别多,都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩,凯程集训营班主任邢老师说,凯程如此优异的成绩,是与我们凯程严格的管理,全方位的辅导是分不开的,很多学生本科都不是名校,某些学生来自二本三本甚至不知名的院校,还有很多是工作了多年才回来考的,大多数是跨专业考研,他们的难度大,竞争激烈,没有严格的训练和同学们的刻苦学习,是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

凯程考研历年战绩辉煌,成就显著!

在考研辅导班中,从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人,占五道口金融学院录取总人数的约50%,五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如,2014年状元武玄宇,2013年状元李少华,2012年状元马佳伟,2011年状元陈玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连,总计达到150人以上,此外,还有考入北大清华人大法硕的张博等10人,北大法学考研王少棠,北大法学经济法状元王yuheng等5人成功考入北大法学院,另外有数10人考入人大贸大政法公安大学等名校法学院。北师大教育学和全日制教育硕士辅导班学员考入15人,创造了历年最高成绩。会计硕士保录班考取30多人,中传郑家威勇夺中传新闻传播硕士状元,王园璐勇夺中传全日制艺术硕士状元,(他们的经验谈视频在凯程官方网站有公布,随时可以查看播放。)对于如此优异的成绩,凯程辅导班班主任邢老师说,凯程如此优异的成绩,是与我们凯程严格的管理,全方位的辅导是分不开的,很多学生本科都不是名校,某些学生来自二本三本甚至不知名的院校,还有很多是工作了多年才回来考的,大多数是跨专业考研,他们的难度大,竞争激烈,没有严格的训练和同学们的刻苦学习,是很难达到优异的成绩。

考研路上,拼搏和坚持,是我们成功的必备要素。

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王少棠

本科学校:南开大学法学

录取学校:北大法学国际经济法方向第一名 总分:380+ 在来到凯程辅导之前,王少棠已经决定了要拼搏北大法学院,他有自己的理想,对法学的痴迷的追求,决定到最高学府北大进行深造,他的北大的梦想一直激励着他前进,在凯程辅导班的每一刻,他都认真听课、与老师沟通,每一个重点知识点都不放过,对于少棠来说,无疑是无比高兴的是,圆梦北大法学院。在复试之后,王少棠与凯程老师进行了深入沟通,讲解了自己的考研经验,与广大考北大法学,人大法学、贸大法学等同学们进行了交流,录制为经验谈,在凯程官方网站能够看到。

王少棠参加的是凯程考研辅导班,回忆自己的辅导班的经历,他说:“这是我一辈子也许学习最投入、最踏实的地方,我有明确的复习目标,有老师制定的学习计划、有生活老师、班主任、授课老师的管理,每天6点半就起床了,然后是吃早餐,进教室里早读,8点开始单词与长难句测试,9点开始上课,中午半小时吃饭,然后又回到教室里学习了,夏天比较困了就在桌子上睡一会,下午接着上课,晚上自习、测试、答疑之类,晚上11点30熄灯睡觉。”

这样的生活,贯穿了我在辅导班的整个过程,王少棠对他的北大梦想是如此的坚持,无疑,让他忘记了在考研路上的辛苦,只有坚持的信念,只有对梦想的勇敢追求。

龚辉堂

本科西北工业大学物理

考入:五道口金融学院金融硕士(原中国人民银行研究生部) 作为跨地区跨校跨专业的三凯程生,在凯程辅导班里经常遇到的,五道口金融学院本身公平的的传统,让他对五道口充满了向往,所以他来到了凯程辅导班,在这里严格的训练,近乎严苛的要求,使他一个跨专业的学生,成功考入金融界的黄埔军校,成为五道口金融学院一名优秀的学生,实现了人生的重大转折。

在凯程考研辅导班,虽然学习很辛苦,但是每天他都能感觉到自己在进步,改变了自己以往在大学期间散漫的学习状态,进入了高强度学习状态。在这里很多课程让他收获巨大,例如公司理财老师,推理演算,非常纯熟到位,也是每个学生学习的榜样,公司理财老师带过很多学生,考的非常好。在学习过程中,拿下了这块知识,去食堂午餐时候加一块鸡翅,经常用小小的奖励激励自己,寻找学习的乐趣。在辅导班里,学习成绩显著上升。

在暑期,辅导班的课程排得非常满,公共课、专业课、晚自习、答疑、测试,一天至少12个小时及以上。但是他们仍然特别认真,在这个没有任何干扰的考研氛围里,充实地学习。

在经过暑期严格的训练之后,龚对自己考入五道口更有信心了。在与老师沟通之后,最终确定了五道口金融学院作为自己最后的抉择,决定之后,让他更加发奋努力。

五道口成绩公布,龚辉堂成功了。这个封闭的考研集训,优秀的学习氛围,让他感觉有

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凯程考研

历史悠久,专注考研,科学应试,严格管理,成就学员!

质的飞跃,成功的喜悦四处飞扬。

另外,在去年,石继华,本科安徽大学,成功考入五道口金融学院,也就是说,我们只要努力,方向正确,就能取得优异的成绩。师弟师妹们加油,五道口、人大、中财、贸大这些名校等着你来。

黄同学(女生) 本科院校:中国青年政治学院 报考院校:中国人民大学金融硕士 总分:跨专业380+ 初试成绩非常理想,离不开老师的辛勤辅导,离不开班主任的鼓励,离不开她的努力,离不开所有关心她的人,圆梦人大金融硕士,实现了跨专业跨校的金融梦。

黄同学是一个非常腼腆的女孩子,英语基础算是中等,专业课是0基础开始复习,刚刚开始有点吃力,但是随着课程的展开,完全能够跟上了节奏。

初试成绩公布下来,虽然考的不错,班主任老师没有放松对复试的辅导,确保万无一失,拿到录取通知书才是最终的尘埃落地,开始了紧张的复试指导,反复的模拟训练,常见问题、礼仪训练,专业知识训练,每一个细节都训练好之后,班主任终于放心地让她去复试,果然,她以高分顺利通过复试,拿到了录取通知书。这是所有凯程辅导班班主任、授课老师、生活老师的成功。

张博,从山东理工大学考入北京大学法律硕士,我复习的比较晚,很庆幸选择了凯程,法硕老师讲的很到位,我复习起来减轻了不少负担。愿大家在考研中马到成功,也祝愿凯程越办越好。

张亚婷,海南师范大学小学数学专业,考入了北京师范大学教育学部课程与教学论方向,成功实现了自己的北师大梦想。特别感谢凯程的徐影老师全方面的指导。

孙川川,西南大学考入中国传媒大学艺术硕士,播音主持专业。在考研辅导班,进步飞快,不受其他打扰,能够全心全意投入到学习中。凯程老师也很负责,真的很感谢他们。

在凯程考研辅导班,他们在一起创造了一个又一个奇迹。从河南理工大学考入人大会计硕士的李梦说:考取人大,是我的梦想,我一直努力,肯定能够成功的,只要我们不放弃,不抛弃,并且一直在努力前进创造成功的条件,每个人都能够成功。正确的方法+不懈的努力+良好的环境+严格的管理=成功。我相信,每个人都能够成功。

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