函数与方程公开课教案

作为一位优秀的人民教师，总归要编写教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。那么问题来了，教案应该怎么写？以下是小编帮大家整理的《函数与方程公开课教案》，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助！

第一篇：函数与方程公开课教案

函数与方程教案

第四章：函数应用

§1：函数与方程

教学分析:课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应二次函数的图像与x轴交点的横坐标之间的关系作为本节的入口。其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系。 教学目标：

1、让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图像性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点。

2、通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认识规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界。 重点难点：根据二次函数图像与x轴的交点个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念。 复习引入：

同学们好，今天我们来进行第四章函数应用的学习，这一节课我们先来学习第一节函数与方程。在讲新课之前，我们已经学习过一元一次方程、一元二次方程，并会对它们进行求解。现在来看几个方程：①ax+b=0(a0) 这是一个一元一次方程，我们能很容易求出方程的解是x=-.②ax2+bx+c=0(a0) 这是一个一元二次方程，在对一ab元二次方程求解时我们会先用判别式△=b2-4ac来判断方程是否有实解。当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，x1≠x2;当△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，x1=x2;当△<0时，一元二次方程没有实数根。当方程有实数根时，我们可以通过求根公式求出一元二次方程的根：x=

bb4ac2a2。③x5+4x3+3x2+2x+1=0

- 1函数的零点。

说明：①零点是所在函数图像与x轴交点的横坐标。

②零点是一个实数，并不是一个点。 ③函数的零点就是相应方程的根。

④函数零点的个数与相应方程的根的个数相等。

学习过零点概念及以上4点说明，我们已经学会判断零点：要求函数的零点就要看函数图像与x轴是否有交点，也即相应方程是否有实根。因此得到判断零点的方法。

2. 判断零点的方法：方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点。可得出：方程f(x)=0的实根与函数y=f(x)的零点是一一对应的。

那如果所给的函数的图像不易画出，又不能求出其对应方程的根时，我们怎样判断函数有没有零点呢?

观察例1中第一个方程的对应图像：f(x) = x2-2x-3 从图像上看，我们知道函数f(x) = x2-2x-3有两个零点：-1,3.而能找到区间[-2,0]使零点-1在[-2,0]内，区间[2,4]使零点3在[2,4]内。且有f(-2)=5>0,f(0)=-3<0, f(-2)×f(0)<0; f(2)=-3<0, f(4)=5>0, f(2)×f(4)<0.可以发现f(-2)×f(0)<0，函数f(x) = x2-2x-3在区间(-2,0)内有零点-1是方程x2-2x-3=0的一个根;同样地，f(2)×f(4)<0，函数f(x) = x2-2x-3在区间(2,4)内有零点3是方程x2-2x-3=0的另一个根。因此可以得到以下结论：

3.零点存在性定理： 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]的图像是连续曲

- 35，一个小于2。

分析：转化判断函数f(x) =(x-2)(x-5)-1在区间(-∞，2)和(5, +∞) 内各有一个零点。

解：考虑函数f(x) =(x-2)(x-5)-1，有f(2) =(2-2)(2-5)-1=-1<0，f(5) =(5-2)(5-5)-1=-1<0，又因为f(x)的图像是开口向上的抛物线，在(-∞，2)内存在一点a，使f(a)>0;在(5, +∞)内存在一点b，使f(b)>0，所以抛物线与横轴在(a，2)内有一个交点，在(5, b)内也有一个交点，而该交点即是方程的解。所以方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2。

四、 零点存在性定理说：“若f(a)×f(b)<0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解”，它只指出了方程f(x)=0实数解的存在，并不能判断具体有多少个实数解。那改为f(a)×f(b)>0时，

问题：如果函数y=f(x) 在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且f(a)×f(b)>0，那么函数y=f(x) 在区间(a,b)内是否有零点?可能有几个零点?

解：零点个数可以是任意自然数。可讨论在区间[-3,3]上函数零点个数，来画图进行观察。

第二篇：方程的根与函数零点的教案设计

用几何图形巧解向量问题

北京市垂杨柳中学 刘占峰

一、教材分析

本节是在复习完必修4第2章平面向量的概念、运算、坐标及应用整章知识后的一堂专题研讨课.教材一直坚持从数和形两个方面建构和研究向量.如向量的几何表示，三角形，平行四边行法则让向量具备形的特征，而向量的坐标表示，和坐标运算又让向量具备数的特征.所以我们在研究向量问题或用向量解决问题时，应具备数形结合思想.本节课让学生感受到数形结合在解题中的魅力，体会向量的工具性，因此本节课既是对前面所学的向量知识的巩固也为以后学生运用向量来解决数学问题奠定了基础，起到了承上启下的作用.

二、教学目标

根据上面对教材的分析，依据教学大纲的要求和新课程的教学理念并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标：

知识目标：能根据向量的线性运算及相关条件构造恰当的几何图形，解决向量有关问题.

情感目标：感受到数形结合在解题中的魅力，体会向量的工具性.

能力目标：提高运用数形结合思想、转化思想解决问题的能力.

三、教学重点和难点

根据本节课的作用制定了教学重点是：通过平面几何图形性质与向量运算法则的有机结合，构造恰当的几何图形解决向量问题;渗透数形结合思想，转化思想;提高学生的构造能力和对所学知识的整合能力.

根据学生的实际情况制定了教学难点是：如何构造恰当的几何图形.

四、教学手段和主要教学方法及学法

教学方法：采用引导对比法、启发式探索讨论相结合的教学方法.

教学手段：运用学案、借助几何画板和实物投影来辅助教学.

通过探究、启发、引导学生对于用数的方法和形的方法来解向量问题形成对比，体会到用形的好处，培养用图的意识;采用启发式讲解、互动式讨论及操作的授课方式，培养学生的分析与解决问题的能力;借助几何画板、实物投影的辅助教学，达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围.

学情分析：我任教的两个文科班学生的学习愿望强烈、学习习惯较好，但是理解能力，空间想象能力，思维能力等方面良莠不齐.

解决措施： 根据学生的不足和本节课的难点，设置了用几何图形对向量六个基本关系的描述，更通过试一试来搭台阶及能力提高的环节使学生学会对所学的基本知识的迁移和整合.

五、教学过程

1.探究引入

探究：(05年北京)若

，

，

且

，求与

的夹角.

设计意图：这道北京高考题既可以用数的方法求解，也可用形的方法求解.通过比较两种解法的优劣让学生感受数形结合的简捷美.更通过此题引出本节课的课题《用几何图形巧解向量问题》

已知：平面内任意两个非零的不共线向量、 (1) (4); (5)

; (6)

. ; (2)

;

(3)

;

，用几何图形描述下列运算关系.

设计意图：学生用数形结合解决向量问题，最大的困难在于如何根据提议挖掘隐含条件构建恰当的几何图形，因此设计了这六个基本运算关系的向量表示，帮助学生在此基础上提高构图的能力，从而达到突破教学难点的目的.另外这六个题让学生从具体实例中发现结论.符合学生认知规律，并在结论的发现过程中培养学生的思维能力.

2.讲练结合

试一试：

(1)已知非零向量、，的夹角为________.

(2)若非零向量、

A .

B.

C . D .

满足

，则( )

，则

_________，

与

(3)已知向量与

(4)设、

的夹角为，，

，

则__________.

、满足,,,，则____________.

设计意图：这四个题是对前面所介绍的六个图形的迁移与整合，培养学生的构图意识，提高学生的构图能力;处理方式采用学生相互协作在学案上完成构图，并用实物投影演示，教师点评，培养学生动手操作能力和合作，探究意识.也为下面的能力提高作铺垫.

能力提高

(1)若、

(2)已知向量

变式：若_____________.

(3)(2005浙江)已知向量( ).

A. B.

C.

D.

，

，对任意

，恒有

，则

，

，则

的最大值为

，

，则求

的最大值. 都是单位向量，则

的取值范围是______________.

设计意图：此组题既能从数的角度解之，也能从形的角度解之.从数的角度能达到复习向量基础知识、基本方法的目的，但运算量较大，从形的角度达到复习向量几何运算和培养学生构图能力的目的，让学生感受数形结合方法的简捷，激发学生的学习热情.更通过试一试和能力提高达到了突出重点的目的.

3.巩固检测

(1)已知向量

(2)求与向量

和

，求

的值

夹角相等，且模为的向量的坐标.

设计意图：通过几分钟的检测再现本节课的重难点，以此来反馈学生对本节课的掌握情况.

4 .小结

通过数形结合研究向量问题：

(1)要关注向量的大小(模)

(2)要关注向量的方向(夹角).

(3)要关注自由向量的可平移性.

(4)构造几何图形解决问题是手段.

启发、引导学生归纳总结，一方面了解学生对本堂课的接受情况，另一方面培养学生的归纳总结能力.使知识系统化，条理化.

5.作业

◆ 必做题：

(1)已知

(2)设向量_________.

、

，向量与的夹角为，则___________.

、满足，且，，则

(3)已知是平面内的单位向量，若向量

(4)设非零向量、、满足

◆ 选做题：

，

满足，则的取值范围.

，则与的夹角为__________.

(5)是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足

，则点

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

◆ 思考题：

(6)你能用向量形式给出点O是

的轨迹一定通过的( ).

的四心(即垂心，重心，内心，外心)的条件吗?

设计意图：通过作业中的分层变式训练，巩固所学概念，发现和弥补教与学中的遗漏和不足，强化基础技能训练，提高分析问题、解决问题能力，通过分层满足不同层次学生需要，符合因材施教原则.从而达到培养学生养成“题后思考”的习惯和提高数学能力的效果.

六、板书设计

第三篇：直线点斜式方程公开课教案

直线的点斜式方程

备课人：曾文龙

一、教学目标 知识与技能：(1)理解直线方程的点斜式的形式特点和适用范围;

(2)能正确利用直线的点斜式公式求直线方程。

过程与方法：(1)在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程; (2)学生通过探究直线点斜式方程形成过程，锻炼严谨的数学思维。

情感态度价值观：进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

二、教学重难点

重点：理解并掌握直线的点斜式方程形式特点和适用范围。 难点：能正确利用直线的点斜式方程求直线方程

三、教学过程 Ⅰ 问题提出

1.

已知直线上两点P能否求出直线的斜率?特别的什么样的直线 1(x1,y1)，P2(x2,y2)，没有斜率?

ky2y

1 (x1x2)

x2x1直线垂直于x轴(即倾斜角为90°)时斜率不存在

2.

在平面直角坐标系中，已知直线的斜率能否确定其位置? 3.

如果不能,再附加一个什么条件，直线的位置就确定了?

已知直线上的一点和直线的倾斜角(斜率)可以唯一确定一条直线。

4.

既然直线上一点P0(x0,y0)和其斜率k可以唯一确定一条直线，那么能否用它们来 表示这条直线的方程? Ⅱ新知探究

直线的点斜式方程

引例

已知直线l过点P0(3,2)且斜率为3，点P(x,y)是l上不同于P0的一点，则x、y 满足怎样的关系式?

y23 x3归纳

已知直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为k，设点P(x,y)是直线l上不同于P0的任 意一点，那么x、y应该满足什么关系式?

yy0yyk(xx) k00xx0OyPP0x问题1

直线l上点P(x,y)满足kyy0，即yy0k(xx0)，那么直线l上每一

xx0个点的坐标都满足这个方程吗?

问题2

满足方程yy0k(xx0)的点是否都在直线l上?为什么?

知识生成：我们把方程yy0k(xx0)为叫做直线的点斜式方程，它表示经过点

P0(x0,y0)，斜率为k的一条直线。

点斜式

yy0k(xx0) 公式特点：同类坐标之差，k与横坐标相乘 几何特点：点P0和斜率k确定直线

适用范围：已知点和斜率，求直线方程，斜率不存在时不能用。 练一练：①求经过点P(1,2)，斜率为3的直线点斜式方程。

解

将点P(1,2)，斜率k3代入点斜式方程得

y23(x1) 所以直线方程为：y23x3

②求过点P(2,4)，且倾斜角为45的直线点斜式方程。

解 斜率ktan451，将点P(2,4)代入点斜式方程得

y4x2

③已知直线方程为y33(x4)，则这条直线经过的已知点及倾斜角分别是

A (4,3);60° B (-3,-4);30° C (4,3);30° D (-4,-3);60°

④ 方程yk(x2)表示一条什么样的直线?

经过点(2,0)且不垂直x轴的直线

想一想：经过点P0(3,2)，且与x轴平行的直线方程是什么?

分析：此时直线倾斜角为0，ktan00，所以直线方程为y20，即y2，

归纳

当直线l与y轴垂直时，直线的方程是什么?

y

yy00或yy0 问题3

x轴所在的直线方程是什么?

y0

想一想：经过点P0(3,2)，且与y轴平行的直线方程是什么?

OP0x

分析：此时直线倾斜角为90， 直线斜率不存在，方程不能用点斜式来表示，直线方程

y 为 x3

归纳

当直线l与x轴垂直时，直线的方程是什么?

P 0

xx00或xx0 问题4

y轴所在的直线方程是什么?

x0

问题5 所有直线是否都可以用点斜式表示?哪些直线不行?

当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示

Ⅲ 例题讲解

例1 直线l经过点P1(2,3)，P2(1,6)，求直线方程?

例2 求下列直线的方程

(1) 经过点A(2,5)，且与直线y2x7平行的直线方程 (2) 经过点B(1,1)，且与x轴平行的直线方程 (3) 经过点C(1,1)，且与x轴垂直的直线方程

练习：教材P95页 1,2 作业：教材P100页习题3.2 A组

1 (1)、(2)、(4)， 5, 10 Ⅳ小结

1. 本节课我们学习了哪些知识点?

2. 直线点斜式、斜截式的形式特点和适用范围是什么?

点斜式：

O x yy0k(xx0)

xx00或xx0 当斜率不存在时：直线方程为：

第四篇：3.2 方程的根与函数的零点 教学设计 教案

教学准备

1. 教学目标

1.知识与技能

①理解函数(结合二次函数)零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件.

②培养学生的观察能力. ③培养学生的抽象概括能力. 2.过程与方法

①通过观察二次函数图象，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法.

②让学生归纳整理本节所学知识. 3.情感、态度与价值观

在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.

2. 教学重点/难点

重点 零点的概念及存在性的判定. 难点 零点的确定.

3. 教学用具

多媒体

4. 标签

方程的根与函数的零点

教学过程 (一)创设情景，揭示课题

1、提出问题：一元二次方程的图象有什么关系?

(a≠0)的根与二次函数2.先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象： (用投影仪给出) ①方程②方程 ③方程

与函数与函数与函数

1.师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和关系，引出零点的概念.

轴交点坐标的生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流. 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样?

(二) 互动交流

研讨新知 函数零点的概念： 对于函数

，把使的零点.

成立的实数

叫做函数函数零点的意义：

函数的零点就是方程轴交点的横坐标. 即：方程有实数根有零点. 函数零点的求法： 求函数的零点：

的实数根;

的图象联

函数

的实数根，亦即函数

的图象与

的图象与轴有交点函数①(代数法)求方程②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数系起来，并利用函数的性质找出零点. 1.师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法. 生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法： ①代数法;

②几何法.

2.根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论.

二次函数的零点：二次函数

轴有(1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与两个交点，二次函数有两个零点.

(2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)△<0，方程二次函数无零点. 3.零点存在性的探索： (Ⅰ)观察二次函数① 在区间上有零点______;

_______，·② 在区间·

_______,

图象：

无实根，二次函数的图象与

轴无交点，_____0(<或>=). 上有零点______; ____0(<或>=).

的图象 (Ⅱ)观察下面函数

① 在区间上______(有/无)零点; ·② 在区间·③ 在区间·_____0(<或>=).

上______(有/无)零点; _____0(<或>=).

上______(有/无)零点; _____0(<或>=).

由以上两步探索，你可以得出什么样的结论?

怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点? 4.生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考.

师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系.

生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析.

师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用.

(三)、巩固深化，发展思维 1.学生在教师指导下完成下列例题

例

1、求函数f(x)=㏑x+2x -6的零点个数。 问题：

(1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数?

(2)判断函数的单调性，由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性? 例2.求函数

，并画出它的大致图象.

师：引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象对函数有一个零点形成直观的认识.

生：借助计算机或计算器画出函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数. 2.P88页练习第二题的(1)、(2)小题

课堂小结

1. 请学生回顾本节课所学知识内容有哪些，所涉及到的主要数学思想又有哪些;

2. 在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出.

课后习题

板书

第五篇：列方程解决实际问题例5公开课教案设计

课题：列方程解决实际问题

授课班级：五(1)班

课型：新课

总课时：2(本课时为第1课时)

授课时间：2014-12-10第3节

授课教师：韦绍隆 教学过程： 学习目标：

1、会解形如ax+bx=c或ax-bx=c方程的解法；（重点）

2、能正确找出题中的数量关系，列出方程，并正确解答。（难点） 学习指导：

1、由线段图可以找出的数量关系式是？

2、理解“相距、相向而行、相遇、何时相遇” 含义

3、题目中给出的数据是250m、200m，而线段图中却是0.25km/分、0.2km/分，为什么？

4、根据数量关系式，设什么量为 x ? 先学环节：（自主学习课本第78页）

1、弄清学习指导的思考题

2、质疑，兵教兵

检测环节：独立完成检测题（课本第78页第13题）。 后教环节：板演、改错，兵帮兵 练习环节：必做题：

1、看图列方程解答

2、课本第78页第12题

选做题：课本第78页第

14、15题