高中数学选修44学案

第一篇：高中数学选修44学案

高中数学选修4-5：42数学归纳法证明不等式 学案

4.2数学归纳法证明不等式

【学习目标】

1. 会用数学归纳法证明贝努利不等式1x1nxx1,x0,nN，了解当n n

为实数时贝努利不等式也成立

2. 培养使用数学归纳法证明不等式的基本技能

【自主学习】

1. 使用数学归纳法独立完成贝努利不等式1x1nxx1,x0,nN的证n

明

2. 自我感悟什么样的不等式易于用数学归纳法证明?

3. 用数学归纳法证明不等式时要使用归纳假设进行放缩，如何放缩才能奏效，要积累经验，特别是出现二次式时要注意留心总结.4.对于两个数的大小的探究要提高警惕，一般探究要比较的丰富，才利于做出正确的猜测.

【自主检测】

1. 用数学归纳法证明1

12131*nnN,n1时，由n=k(k>1)时不等2n1

式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是()

A.2k1B. 2k1C. 2kD. 2k1

2. 用数学归纳法证明11n1n2111nN*时，由n=k到n=k+1时，不nn2

4等式左边应添加的项是____

3.当n=1，2，3，4，5，6

时，比较2n与n2后，你提出的猜想是____

【典型例题】

111例1. 用数学归纳法证明：nN,n1 111352n1

例2. 设数列an满足an1an2nan1nN*

1.a12时，求a2,a3,a4并由此猜想an的一个通项公式

2a13时，证明对所有n1有1ann2

2例3. 已知函数gxx22xx1,fxabaxbx，

其中a、bR,a1,b1,ab,ab4对于任意的正整数n，指出fn与g2n的大小关系，并证明之

x11 +1a11a211 1an

2【课堂检测】

1.设n为正整数，fn1nN ，计算知11231n

357f2,f42,f8,f163,f32，据此可以猜测得出一般性结论为 ()222

2n1n2n2 A. f2nB. fn2C. f2nD. 以上都不对 222

n0为验证的第一个值，2.欲用数学归纳法证明对于足够大的正整数n，总有2nn3，

则() A. n01B. n0为大于1小于10的某个整数C. n010D. n02

3.用数学归纳法证明111241127，n的起始值至少应取为n126

44.等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的正整数n，点n,Sn均在函数

ybxr(b0,b1，b、r均为常数)的图像上.

(1)求r的值

(2)当b=2时，记bn2log2an1

nN*，证明对所有正整数n，不等式 b11b21b1b2bn1 bn

【总结提升】

1.数学归纳法依然是证明与正整数有关的不等式行之有效的方法.但在证明递推的依据是成立的时候常常需要放缩，故千万要注意不等式的基本性质和函数的单调性的作用.

2. 数学归纳法证明不等式时有时不能直接进行，常需加强命题，为此难度就比较大，且加强又不易完成.如证明1

为111223211222315nN*,n1，就可以加强2n3152nN*,n1再用数学归纳法. 2n32n1

3.不过关于n的不等式的证明不一定要用数学归纳法，有时使用函数的单调性就可以;放缩也是不可忽视的方法.

第二篇：高中数学选修2-2第二章推理与证明学案1,2

第二章推理与证明

2.1合情推理与演绎推理

2.1.1合情推理

学案编制张永国

目标定位：

了解合情推理的含义(易混点)

理解归纳推理和类比推理的含义，并能运用它进行简单的推理(重点、难点)

了解合情推理在数学发展中的作用(难点)

一、自主学习：

归纳推理:

1.归纳推理:由某类事物的_______对象具有某些特征,推出该类事物的________对象________这些特征的推理,或者由_________概括出_______的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由________到_______、由_______到_______的推理.2.归纳推理的一般步骤:

第一步,通过观察个别情况发现____________;

第二步,从已知的相同性质中推出一个能_______________.

思考探究:

1.归纳推理的结论一定正确吗?

2.统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,是否属归纳推理?

类比推理

1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中___________对象的某些已知特征,推出另一类对象_________这些特征的推理.简言之,类比推理是由_________到________的推理.

2.类比推理的一般步骤:

第一步:找出两类事物之间的________________;

第二步:用一类事物的性质去推理另一类事物的性质,得出__________________.

思考探究:

1.类比推理的结论能作为定理应用吗?

2.(1)圆有切线,切线与圆只交于一点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体?

(2)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论?

合情推理

1.定义:归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.简言之,合情推理就是合乎情理的推理.

2.推理的过程:

→

→

思考探究:

1.归纳推理与类比推理有何区别与联系?

2.(1)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°,得出所有三角形内角和都是180°;

(2)某次考试张军成绩是100分,得出全班同学成绩都是100分.以上是否属于合情推理?

二、典例剖析：

例1.根据下列条件,写出数列的前4项,并归纳猜想它的通项公式.(1)a1= 0, an1=an+(2n-1) (n∈N*);

(2) a1= 1, an1=1 a(n∈N*). 2n

自主解答:

方法技巧:

例2.已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率kPM、kPN都存在时,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定

x2y

2值,试写出双曲线221具有类似的性质,并加以证明. ab

自主解答:

方法技巧:

三、学后总结反思

2 . 1 . 2演绎推理

学案编制张永国

目标定位：

理解演绎推理的含义(重点)

掌握演绎推理的模式，会利用三段论进行简单推理(重点、难点)

合情推理与演绎推理之间的区别与联系

一、自主学习：

演绎推理的含义:

1.演绎推理是从一般性的原理出发,推出_________的结论.演绎推理又叫_______推理.2.演绎推理的特点是_____________的推理.

思考探究:

演绎推理的结论一定正确吗?

演绎推理的模式

1.演绎推理的模式采用“三段论”:

(1)大前提——已知的___________(M是P);

(2)小前提——所研究的__________(S是M);

(3)结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断(S是P).

2.从集合的角度看演绎推理:

(1)大前提:x∈M且x具有性质P;

(2)小前提：y∈S且SM

(3)结论__________.

思考探究:

1.把“函数y=x+2x-3的图象是一条抛物线”作为结论,用三段论表示为:大前提:_________,小前提:______,结论___________.

2.指出下面推理的大前提小前提及结论并判断是否有错误.无限小数是无理数,

22=0.6666666…是无限小数,

32是无理数. 3

演绎推理与合情推理

合情推理与演绎推理的关系:

(1)从推理形式上看,归纳是由________到_______个别到一般的推理,类比是由_________到______的推理;演绎推理是由________到________的推理.

(2)从推理所得的结论来看,合情推理的结论_____________,有待进一步证明;演绎推理在_______和___________都正确的前提下,得到的结论一定正确.

思考探究:

1.合情推理与演绎推理有什么联系.

2.指出下列推理的形式是什么?

(1)《论语》云:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民不无所措手足;所以名不正,则民无所措手足.”

(2)金、银、铜、铁都能导电,金、银、铜、铁都是金属,所以金属都能导电.

二、典例剖析：

例1.把下列演绎推理写成三段论的形式.①所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热;

②平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分; ③一次函数是单调函数,函数y=3x-2是一次函数,所以函数y=3x-2是单调函数.

自主解答:

方法技巧:

例2.如图所示,D、E、F分别是BC、CA、AB边上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:DE=AF. 自主解答:

方法技巧:

例3.求证:函数ƒ(x)=- x+2x在(-∞,1)上为增函数.自主解答:

方法技巧:

三、学后总结反思：

第三篇：高中数学《2.2.1综合法和分析法》导学案 新人教A版选修1-2

§2.2.1综合法和分析法(二)

.2. 根据问题的特点，结合分析法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 4850

复习1：综合法是由导;

复习2：基本不等式:

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：分析法

问题：

ab如何证明基本不等式(a0,b0)

2新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止.反思：框图表示

要点：逆推证法;执果索因

※ 典型例题

例

1变式：求证

小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.

例2 在四面体SABC中,SA面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AFSC.

变式：设a,b,c为一个三角形的三边,

s1

2(abc),且s22ab,试证s2a.

小结：用题设不易切入,要注意用分析法来解决问题.

※ 动手试试

练1. 求证:当一个圆和一个正方形的周长相等时,圆的面积比正方形的面积大.

练2. 设a, b, c是的△ABC三边，S

是三角形的面积，求证：c2a2b24ab

三、总结提升

※ 学习小结

分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立.

※ 知识拓展

证明过程中分析法和综合法的区别:

在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的.

分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为().

A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差

※ 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：

1.

,其中最合理的是

A.综合法B.分析法C.反证法D. 归纳法

ba2.不等式①x233x;②2,其中恒成立的是 ab

A.①B.②C.①②D.都不正确

3.已知yx0,且xy1,那么

xyxyA.xy2xyB.2xyxy 22

xyxyC.x2xyyD.x2xyy 22

2224.若a,b,cR,则abcabbcac.

5.将a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(ba0),则其浓度为;若再加入m千克的白糖(m0),糖水更甜了,根据这一生活常识提炼出一个常见的不等式:.

1. 已知ab0,

(ab)2ab(ab)2

求证

:. 8a28b

2. 设a,bR,且ab,求证:a3b3a2bab2

第四篇：《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第一章二项式定理

§1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理

一、基础过关

1.(x+2)6的展开式中x3的系数是A.20B.40

2x-6的展开式的常数项是2. 2xA.20A.33

() A.-5

() A.840

二、能力提升

6.设S=(x-1)3+3(x-1)2+3(x-1)+1，则S等于A.(x-1)3C.x

3B.(x-2)3 D.(x+1)3

()

B.-840

C.210

D.-210

B.

5C.-10

D.10

5.(x2y)10的展开式中x6y4项的系数是

B.-20B.29

()

C.80

D.160

()

C.40C.23

D.-40

()

D.19

3.若(1+2)4=a+b2 (a、b为有理数)，则a+b等于4.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中，含x3的项的系数是

7.(1+2x)3(1-x)5的展开式中x的系数是

() A.-

4B.-2

C.2D.4

3x2-n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为8.在2xA.4

B.

5C.6

D.7

()

9.若(1-2x)5的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x的取值范围是()

11111

A.x<-B.-

10104104

10.(1+x+x2)(x6的展开式中的常数项为________.

x

x+2n11. 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x的一次项系数.

x

12.设a>0，若(1+n的展开式中含x2项的系数等于含x项的系数的9倍，且展开式中第

2

3项等于135x，求a的值.

三、探究与拓展

13.已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n (m，n∈N*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含

x2项的系数最小值.

答案

1.D 2.B 3.B 4.D 5.A 6.C 7.C8.B 9.B 10.-5

911.解 C8n=Cn，

17-rrr∴n=17，Tr+1=Crx2·x- 1723

17-rr∴1，∴r=9， 23

9∴T10=C17·x4·29·x3=C929·x， 17·-

9其一次项系数为C9172.

12.解 通项公式为

1rrrrTr+1=Cr(ax=Cax. nn·22

若含x2项，则r=4，此时的系数为C4a4; n·

若含x项，则r=2，此时的系数为C2a2. n·

422根据题意，有C4na=9Cna，

22即C4na=9Cn.①

2又T3=135x，即有C2na=135.② 2C49C由①②两式相除，得Cn135

5结合组合数公式，整理可得3n2-23n+30=0，解得n=6，或n=(舍去). 3

将n=6代入②中，得15a2=135，

∴a2=9.∵a>0，∴a=3.

1113.解 (1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x的项为Cm·2x+C14x=(2C1n·m+4Cn)x，

1∴2C1m+4Cn=36，即m+2n=18，

(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x2项的系数为

22222t=C2m2+Cn4=2m-2m+8n-8n，

∵m+2n=18，∴m=18-2n，

∴t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n

=16n2-148n+612

37153n2-+， =1644

37∴当nt取最小值，但n∈N*， 8

∴n=5时，t即x2项的系数最小，最小值为272.

第五篇：高中数学选修教材目录

1-1

第一章

常用逻辑语 1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词 小结

第二章 圆锥曲线与方程

2.1 椭圆

探究与发现 为什么截口曲线是椭圆

信息技术应用 用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆

2.2 双曲线

探究与发现

的渐近线 2.3 抛物线

阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用

小结

第三章 导数及其应用

3.1 变化率与导数 3.2 导数的计算

探究与发现牛顿法-用导数方法求方程的近似解

3.3 导数在研究函数中的应用

信息技术应用图形技术与函数性质

3.4 生活中的优化问题举例 实习作业走进微积分

小结

1-2

第一章

统计案例

1.1 回归分析的基本思想及其初步应用 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

第二章

实习作业 小结 推理与证明

2.1 合情推理与演绎推理

阅读与思考 科学发现中的推理

2.2 直接证明与间接证明

第三章

小结

数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算

第四章

小结 框图 4.1 流程图 4.2 结构图

信息技术应用 用word2002绘制流程图 小结

2-1

第一章

常用逻辑语 1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词 小结

第二章 圆锥曲线与方程

2.1 椭圆

探究与发现 为什么截口曲线是椭圆

信息技术应用 用<几何画板>探究点的轨迹:椭圆

2.2 双曲线

探究与发现 为什么

2.3 抛物线

yax2bxc(a0)

探究与发现为什么二次函数的图像是抛物线

2.4 直线与圆锥曲线的位置关系

阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用 2.5 曲线与方程

探究与发现圆锥曲线的离心率与统一方程 小结

第三章

空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算

阅读与思考向量概念的推广与应用 3.2 立体几何中的向量方法 小结

2-2

第一章

导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.2 导数的计算

探究与发现牛顿法-用导数方法求方程的近似解 1.3 导数在研究函数中的应用

信息技术应用图形技术与函数性质 1.4 生活中的优化问题举例 1.5 定积分的概念

信息技术应用 曲边梯形的面积 1.6 微积分基本定理 1.7 定积分的简单应用 实习作业走进微积分

第二章

推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理

阅读与思考平面与空间中的余弦定理

2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 小结

第三章 数系的扩充与复数的引入

3.1 数系的扩充与复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算 阅读与思考代数基本定理

小结

2-3

第一章

计数原理 1.1 分类加法计数原理与分部乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少

1.2 排列与组合

探究与发现 组合数的两个性质

1.3 二项式定理 小结

第二章 随机变量及其分布

2.1 离散型随机变量及其分布列 2.2 二项分布及其应用

阅读与思考这样的买彩票方式可行吗?

探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大

2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.4 正态分布

信息技术应用µ,б对正态分布的影响

小结

第三章 统计案例

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 实习作业

小结

4-1几何证明选讲

第一讲 一 二 三

相似三角形的判定及有关性质 平行线等分线段定理 平行线分线段成比例定理 相似三角形的判定及性质 1 相似三角形的判定 2 相似三角形的性质 直角三角形的射影定理 直线与圆的关系 圆周角定理

圆内接四边形的性质与判定定理 圆的切线的性质及判定定理 弦切角的性质

与圆有关的比例线段 圆锥曲线性质的探讨 平行射影

平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线

四 第二讲 一 二 三 四 五 第三讲 一 二 三

4-4坐标系与参数方程

第一讲 一 二 三 四 第二讲 一 二 三 四

坐标系

平面直角坐标系 极坐标系

简单曲线的极坐标方程 柱坐标系与球坐标系 参数方程

曲线的参数方程 圆锥曲线的参数方程 直线的参数方程 渐开线与摆线

4-5不等式选讲

第一讲 一

不等式和绝对值不等式 不等式 1 不等式的基本性质

2 基本不等式 3 三个正数的算术-几何平均不等式二

绝对值不等式 1 绝对值三角不等式 2 绝对值不等式的解法 第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法

二 综合法与分析法 三 反证法与放缩法

第三讲 柯西不等式与排序不等式 一

二维形式的柯西不等式

阅读与思考法国科学家柯西二 一般形式的柯西不等式 三 排序不等式

第四讲 数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法

二

用数学归纳法证明不等式