模型检验常用方法

2022-07-10

第一篇:模型检验常用方法

中考化学装置气密性检验的常用方法

在化学实验中,对于气体的化学实验,特别是有毒、有污染的气体的化学实验,它们的实验装置在发生反应之前必须要经过气密性检验这一步。装置的气密性检验是气体的实验过程中至关重要的一个操作环节,它有时候往往影响着整个实验的成与败。在很多的实验题中,我们经常会碰到单独对有关实验装置的气密性检验的方法的考查,其实,在实验题中考查装置气密性的检验方法是对学生动手实验操作能力进行检验的重要考查形式。所以说,对于实验装置的气密性检验,我们应当引以足够的重视。同时,我们还应当重点掌握常见的几种重要的装置气密性检验的方法,以及这些检验方法的操作原理。

现将中学化学常见的几种检验装置的气密性的方法归纳如下。

1、微热法

这是中学化学检验装置气密性最常用的方法之一,也是最基本的装置气密性检验方法。这种检验方法的原理是利用气体受热膨胀之后从装置中逸出来,看到气泡冒出。具体的操作方法是这样的:将导气管b的末端插入水槽中,用手握住试管a或用酒精灯对其进行微热,这样试管a中的气体受热膨胀,在导气管末端会有气泡产生。在松开手或撤离酒精灯以后,导气管末端有一段水柱上升,则证明该装置的气密性良好,不漏气。

2、液差法

液差法是利用装置内外的压强差产生的“托力”将一段水柱托起,不再下降。对于不同的实验装置,利用液差法进行气密性检验的时候,所采取的实验操作方法是有所不同的。下面介绍两种常见的液差法检验装置气密性的操作方法。

(1)启普发生器的气密性检验:关闭导气管活塞,向球形漏斗中加水,使得漏斗中的液面高于容器的液面,静置片刻后液面不再改变的时候即可证明启普发生器的气密性良好。

(2)另一种气密性检验的方法。具体操作是这样的:连好仪器,向乙管中注入适量的水,,使得乙管的液面高于甲管的液面。静置片刻后,若液面保持不变则证明该装置的气密性良好。

3、液封法

该装置的气密性检验的方法是这样的:关闭活塞K,向其中加入水至浸没长颈漏斗下端管口,若漏斗颈出现一段稳定的水柱,证明该装置的气密性良好。

需要注意的是:若要检查整套装置的气密性,为了形成一定的气压差而产生明显的现象,可以使用酒精灯对装置中的某个可以加热的容器进行微热,再观察插入液体的导气管口是否有气泡冒出,从而判断整套装置的气密性是否良好。

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第二篇:木材检验常用术语

一、木材

指树干的木质部分。

1、圆材:圆形的木材,包括原条和原木。

原条:经过打枝、剥皮而没有进行加工造材的伐倒木。 原木:原条经过横截造材或其他原因而截成的圆形木段。

剖开材:原木沿材长纵轴方向剖开为两等或接近两等的半圆形材。

2、锯材:原木经过锯切加工得到的产品。

(1)整边锯材:相对宽材面相互平行,相邻材面互为垂直,材棱上钝棱不超过允许的限度(不同材种规定不同)。

平行整边锯材:两组相对材面相互平行的整边锯材(无钝棱,即四边着锯)。 梯形整边锯材:相对窄材面相互不平行的整边锯材。

(2)毛边锯材:宽材面相互平行,窄材面未着锯(一边或两边均可),或虽着锯而钝棱超过允许限度者。

(3)板方材

板材:宽度尺寸为厚度尺寸自2倍以上者。 方材:宽度尺寸小于厚度尺寸2倍者。

二、木材检验

在木材生产和经销过程中,对木材产品进行尺寸检量、材质评定、材种区分、木材识别、材积计算和号印标志等一系列工作,统称为木材检验,简称为检验、木检或检尺。

检算为检量与计算的简称。

三、尺寸

指木材的长短、大小和宽窄。

1、尺寸检量:对长度、直径和宽厚尺寸的测定。

2、实际尺寸:实际量得的尺寸。一般长度量至厘米数,直径、宽度、厚度至毫米数,不足上述尺寸的舍去。

(1)材长:木材长度的简称。

(2)直径:通过断面中心,量得断面相对周边之间的尺寸。

1 断面中心:断面积的中心(几何中心)。如为正圆形,从它的中心到周边任何一点的距离都是相等的(一般为髓心)。

梢端直径(梢径):原条梢端的直径或梢头断面的直径。 小头直径:原木小头断面的直径。 中央直径:材长1/2处的直径。

大头直径:原条或原木大头断面的直径。

原条直径(指商品材):离大头斧口或锯口2.5米处量得的直径。

短径(原木):通过断面中心量得的最短直径,量至毫米,记至厘米,毫米部分舍去。

长径:通过断面中心与短径相互垂直量得的直径。(不一定是最长直径) 最长径:通过断面中心量得的最长直径。 平均直径:长径和短径的平均值。

围径:用篾尺、卷尺或围尺围量出来的直径。

(3)锯材材面:凡经纵向锯割出来的任何一面,统称材面。 着锯面:在材面上露出的锯割部分(一般为宽面)。 未着锯面:在材面上露出的未着锯部分(一般为侧面)。 宽材面:板方材的较宽材面。 窄材面:板方材的较窄材面。

端面:锯材在长度方向两端的横切面。

锯材宽度(材宽):相对窄材面之间的垂直距离。 锯材厚度(材厚):相对宽材面之间的垂直距离。 内材面:距髓心较近的宽材面。

外材面:距髓心较远的宽材面。两个宽材面距髓心相等时,指其中任何一个材面。 径切板:沿木材半径方向锯割的板材,年轮纹切线与宽材面夹角自45度以上者。 弦切板:沿年轮切线方向锯割的板材,年轮纹切线与宽材面夹角不足45度者。 材棱:锯材相邻两材面的相交线(钝棱为有相交面)。

3、标准尺寸:产品规定的尺寸。(不同材种有不同标准)

长级:长度尺寸的系列。如原木2.0米,2.2米,2.4米,„„,原木7米,8米,„„ 径级:直径尺寸的系列。如12厘米,14厘米,16厘米,„„ 标准宽度:产品标准规定的宽度尺寸。

2 标准厚度:产品标准规定的厚度尺寸。

4、检尺尺寸:实际尺寸按有关标准规定,经进舍(进位、进级)为标准规定的系列尺寸(原木、原条),或特定尺寸(枕木或其它锯材)。

检尺长(所有木材):长度的实际尺寸(材长)按有关标准的规定,经进舍为标准规定的长级。

检尺径(原条、原木、竹):直径的实际尺寸按有关标准的规定,经进舍为标准规定的径级。

检尺宽(锯材):宽度的实际尺寸按有关标准的规定,经进舍为标准规定的标准宽度。

检尺厚(锯材):厚度的实际尺寸按有关标准的规定,经进舍为标准规定的标准厚度。

5、公差:检尺尺寸允许的变动数。(大多材种有正负之分,某些只能正公差)

6、偏差:某一尺寸减其标准尺寸的代数差。 正偏差:实际尺寸减其标准尺寸为正值。 负偏差:实际尺寸减其标准尺寸为负值。

7、检尺长范围内:实际长度按有关规定,经进舍后作为计算材积的长度内范围。

8、检尺长范围外:实际长度按有关规定,经进舍后作为计算材积的长度外的多余尺寸。

9、同方向原有直径:指未劈裂前的直径。(劈裂材)

10、让尺(扣尺):减少长度或直径的尺寸。

11、损耗材积(或价值)较小:让长度或让直径计算出来的材积(或价值)较接近让尺前的材积(价值)。

四、材质

木材质量的简称。

1、材质评定:对木材质量的评定。

2、等级:对木材质量好次而划分的级别。

3、木材缺限:指呈现在木材上能降低其质量,影响其使用价值的各种瘕疵。

4、限度:对各种缺限在木材产品中允许存在的程度,如(开裂、腐朽等)最大尺寸,或最多个数(虫眼、节子等)。

5、不许有:不允许有。

6、不计:不予计算(但是有)。

7、不限:不加限制(有无均无所谓)。

8、不足某尺寸:指小于某尺寸,不包括某尺寸本身(小于)。

9、自某尺寸以上:指足某尺寸,包括某尺寸本身在内(大于且等于)。

10、不超过某尺寸或某百分率:指自某尺寸或某百分率以下,包括某尺寸或某百分率(小于且等于)。

11、超过某尺寸或百分率:大于某尺寸或百分率,不包括该尺寸或该百分率(大于)。

12、最严重缺限:指对降等最低的缺限,或缺限尺寸比率最大,或个数最多。(计算材质等级以此为准)

五、材种

指木材根据商品学上的分类而分的种别,即木材产品种类,简称材种。 材种区别:区别木材产品种类。木材产品种类一般以产品外形、用途、加工方法命名,如杉原条、坑木、电杆、锯切用原木、旋切单板用原木等。

六、树种

指木材根据树木分类学的分类原理而分的种别,即树木种类简称树种。

1、树木分类:把树木分门别类,界是最高的单位,种是最基本单位。种是根据植物形态特征定出来的;属是相似的种归纳为一类;科是把相似的属归纳为一类;合科为目,合科为纲,如此类推组成门、界。科、属、种是常用单位。

2、针叶树材:木材来自针叶树种(树叶一般为针状或鳞片状)。

3、阔叶树材:木材来自阔叶树种(树叶叶面一般较宽,有多种形状)。

4、商品材:将木材作为一种商品来说。区别于自用材、民用材。

5、木材名称:根据木材构造特征或材质都很相近,在利用上没有细分的必要,把它们归纳为一种(类)而进行命名。所以商品木材可以是一种树种,也可以包括几个树种,或一个属的树种,甚至可以包括一个科的树种。(详见GB/T16734—1997《中国主要木材名称》)

6、木材识别:根据木材材身表面(材表)和端面的可见特征,鉴定木材种类(简称木种)。

七、材积

木材体积的简称。

1、实际材积(实积):用实际尺寸计算出来的材积。

2、检尺材积(检积):用检尺尺寸计算出来的材积(材积表材积)。

3、层积(堆积):指木材堆积起来的材积。

4、实积换算系数:由于层积木材与木材实积之间有一定的空隙,所以1个层积1立方米实际少于1个实积1立方米的木材,其较小的程度,一般用系数来表示,称为实积换算系数。(网点法、斜线法等,检查站常用)

5、单积:单根(1根)木材的材积。

6、材积表:将各种不同尺寸的木材体积数字,用表格的形式,有规律地编成一个表,称为木材体积表,简称材积表。

八、检量工具

指检量尺寸的尺杆、卡尺、卷尺、钢尺、勾尺、皮尺、篾尺等。

九、木材检验识别符号(号印标志)

为简化手续,以一次检验为原则,凡经检验过的木材,将有关尺寸(长级、径级、宽度、厚度)、等级、材种、商品木材树种以及责任人等的符号,标志在木材的端面或侧面上,作为供需双方在交接时抄尺复核的依据,这种工作称为木材检验号印标志。

1、各种号印所用工具和标志方法(送货制经常采用)

号印以钢印为原则。根据各地情况,也可使用色笔、毛刷、钢印或勾字(用笔画出符号?)等方法,标志在原条大头断面或离大头断面50cm的材身上,顺序为:等级、长级、径级;原木则标志在断面或靠近端头的材身上(定长可不标长级);锯材的等级号印标志在断面或靠近端头的材面上。

2、常见号印的代表符号P75

(1)径级号印代表符号:径级的尾数,0、

2、

4、

6、8。 (2)等级号印代表符号:(复印)。

(3)原木材种号印代表符号:汉语拼音的第1个字母。

(4)长级号印代表符号:原条、原木的长级符号可用色笔、毛刷或勾字方法以阿拉伯数字标志。

(5)检验责任人代表符号(一般不用):原条、原木才标志,以阿拉伯数字按01开始的顺序由各省(区)林业主管部门统一编号和制作。

(6)原木缺陷符号(《原木缺陷术语符号》——GB/T17662—1999)。

(7)主要商品木材树种代号(《主要商品木材树种代号》——GB/T17663—1999):

5 适用与主要商品原木和锯材。

具体操作方法。原木:根据要求,在每批或每火车皮原木的每种木材3—5根原木上用黑色毛笔划上木材树种代号;锯材:在每捆或每批木材显著位置系上或钉上包括木材树种代号的唛头(màtóu,或称mòtóu、màitóu等。“唛头”是一种运输标记,是为了便于识别货物,防止错发货,通常由型号、图形或收货单位简称、目的港、件数或批号等组成。)。

第三篇:用数学模型思想方法解决初中数学

浅谈数学建模思想的培养

三星初中

丁慧

随着新课改的进步落实,素质教育全方位、深层次推进,数学学科要求学生具有较高的数学素质、数学意识和较强的数学应用能力。而数学实际应用问题具有这种考查功能。它不仅具有题材贴近生活,题型功能丰富,涉及知识面广等特点,而且其应用性、创造性及开放性的特征明显。新课标把探索培养学生应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的能力已落实到各种版本的数学实验教材中去了。今天社会对数学教学提出更高要求,不仅要求培养出一批数学家,更要求培养出一大批善于应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的各类人才。初中阶段是探索和培养各类数学人才的黄金时段,而把实际问题转化为数学问题又是绝大多数初中学生的难题,如果在教学中我们有意识地运用数学模型思想帮助学生克服和解决这一难题,那么学生就会摆脱实际应用问题的思想束缚,释放出学习和解决实际应用问题的强大动力,激活创造新思维的火花。

把实际问题转化为一个数学问题,通常称为数学模型。数学模型不同于一般的模型,它是用数学语言模拟现实的一种模型,也就是把一个实际问题中某些事物的主要特征,主要关系抽象成数学语言,近似地反映客观事物的内在联系与变化过程。建立数学模型的过程称为数学建模。它主要有以下三个步骤:①实际问题→数学模型;②数学模型→数学的解;③数学的解→实际问题的解。对初中学生来说,最关键最困惑的是第一步。

一、初中学生解决实际应用问题的难点

1.1、缺乏解决实际问题的信心

与纯数学问题相比,数学实际问题的文字叙述更加语言化,更加贴近现实生活,题目也比较长,数量也比较多,数量关系显得分散隐蔽。因此,面对一大堆非形式化的材料,许多学生常感到很茫然,不知如何下手,产生惧怕数学应用题的心理。具体表现在:在信息的吸收过程中,受应用题中提供信息的次序,过多的干扰语句的影响,许多学生读不懂题意只好放弃;在信息加工过程中,受学生自身阅读分析能力以及数学基础知识掌握程度的影响,许多学生缺乏把握应用题的整体数学结构,并对全立体结构的信息作分层面的线性剖析的能力。即使能读懂题意,也无法解题;在信息提炼过程中,受学生数学语言转换能力的影响,许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来,缺乏把实际问题转换成数学问题的转译能力。

数学建模问题是用数学知识和数学分法解决实际生活中各种各样的问题,是一种创造性的劳动,涉及到各种心理活动,心理学研究表明,良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件,它主要包括以下要素:自觉的创新意识;强烈的好奇心和求知欲;积极稳定的情感;顽强的毅力和独立的个性;强烈而明确的价值观;有效的组织知识。许多学生由于不具备以上良好的心理品质因而对解决实际问题缺乏应有的信心。

1.2、对实际问题中一些名词术语感到生疏

由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语,而学生从小到大一直生长在学校,与外界接触较少,对这些名词术语感到很陌生,不知其意,从而就无法读懂题,更无法正确理解题意,比如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率、移动电话的收费标准等概念,这些概念的基本意思都没搞懂。如果涉及到这些概念的实际问题就谈不上如何去理解了,更谈不上解决问题。例如“五•一”假期,某火车客运站旅客流量不断增大,旅客往往需要长时间排队等候检票.经调查发现,在车站开始检票时,有640人排队检票.检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站.设旅客按固定的速度增加,检票口检票的速度也是固定的.检票时,每分钟候车室新增排队检票进站16人,每分钟每个检票口检票14人.已知检票的前a分钟只开放了两个检票口.某一天候车室排队等候检票的人数y(人)与检票时间x(分钟)的关系如图所示. (1)求a的值.

(2)求检票到第20分钟时,候车室排队等候检票的旅客人数. (3)若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站,以便后来到站的旅客随到随检,问检票一开始至少需要同时开放几个检票口?

本问题就涉及到学生不太熟悉的名词术语:等,若让学生自己到车站体验一下了解这些名词的意思完全弄明白后,教师再分析讲解,学生就易搞懂了。

1.3对数据处理缺乏适当的方法

许多实际问题中涉及到的数据多且杂乱,学生面对如此多而杂乱的数据感到无从下手,不知应把哪个数据作为思维起点,从而找不到解决问题的突破口。例如:某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元。

⑴求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天支付的总费用最少?⑵若提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于210吨时,其价格可享受9折优惠(即原价的90%),问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由。本问题涉及到的量有:每天需用面粉6吨,每吨面粉价格1800,购买面粉运费每次900元,保管每吨面粉每天3元,所求的问题⑴多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?⑵是否考虑9折优惠,条件是每次购进面粉不少于210吨?在这诸多量中,到底从哪个量入手建立怎样的数学模型来解决问题?许多学生是一片茫然。

1.4缺乏将实际问题数学化的经验

数学模式的呈现形式是多种多样的,有的以函数显示、有的以方程显示、有的以图形显示、有的以不等式显示、有的以概率显示,当然,还有其他各种形式的模型,具体到一个实际问题来讲,判断这个实际问题与哪类数学知识相关,用什么样的数学方法解决问题,是学生深感困难的一个环节。

例如:某乡为提高当地群众的生活水平,由政府投资兴建了甲、乙两个企业,1997年该乡从甲企业获得利润320万元,从乙企业获得利润720万元,以后每年上交的利润是:甲企业以1.5倍的速度递增,而乙企业则为上一年利润的2/3,根据测算,该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题,达到8000万元可以达到小康水平。

⑴若以1997年为第一年,则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年,该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题?⑵试估算2005年底该乡能否达到小康水平?为什么?

根据调查结果,学生阅读了以上题目,问其想到了什么数学知识,许多学生答不出来。我认为答不出的主要原因就是学生存在把主要语言换成数学语言的转换障碍。数学语言主要指数学文字语言,图形语言和符号语言,是数学区别于其他学科的显著特征,数学语言简练、抽象、严谨。甚至有些晦涩。如“函数,形式简练但十分抽象,许多学生由于过不了数学语言关,符号化意识弱,无法把普通语言转化成数学语言,从而无法将实际问题建立起数学模型。

二、用数学建模解决实际问题的要点及方法

2.1根据经验,解决一个实际问题重点要过好三关:事理关,读懂题意,知道讲的是什么问题;文理关:需要将“问题情景“的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达关系;数理关:在构建数学模型的过程中,要求学生对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题转化。总之,实际应用问题的难点是:“问题情景的数学化”。因此必须强化训练学生的“阅读理解语言的能力”“分析问题的能力”和“数学抽象化能力”这样才能剥去“实际应用问题”的神秘面纱,还学生数学之真面目。

2.2数学建模遵循如下程式(或流程)

①审题:审题是建模的起步,审题分为读懂和加深理解两个层次,把“问题情景译为数学语言,找出问题的主要关系。②建模:把实际问题主要关系近似化,形式化,抽象成数学问题;③解模:把数学问题化为常规问题,选择合适的数学方法求解。④检验:对求解的结果进行验证或评估,对错误加以调节,或将结果应用于现实,作出解释或预测。其程式如下:

三、克服数学建模困难的对策

针对学生解决实际应用问题的困难以及解实际应用问题的思路和方法,我认为在平时的应用题教学中应重视对学生进行数学应用意识的培养。如数学语言,数学阅读理解等要有计划,有针对性地训练和培养,具体地讲,应抓好以下几个方面的教学。

3.1着力培养学生的自信心

一个人的自信心是他能有效地进行学习的基础,更是他将来能适应经济时代必备的心理素质。基于这样一个事实,许多国家都把对学生自信心的培养作为数学教育的一个基本目标。因此,在平时教学中,应加强实际问题的教学,使学生从自身的生活背景中发现数学,创造数学,运用数学,并在此过程中获得足够的自信。例如:我曾经安排学生个人或小组到银行去调查储蓄存款利息计算方法:让学生学会选择储蓄存款的最佳期限:假设向银行存款1000元,试计算5年后可得的利息金额,存款方式为⑴5年定期,整存整取;⑵1年定期,每年到期后本息转存;⑶先存2年定期,到期后本息转存3年定期;⑷半年定期,每次到期后本息转存,以上存款方式哪种所得利息最多?试用数学原理说明所得结论,这次活动学生兴趣很高,在没有任何强制要求下,学生们个个都去银行调查并根据调查数据计算出了存款得息最多的方案。用数学原理解释说明也十分中肯。从这个例子看出,教师在教学中如果注意联系身边的事物,让学生体验数学,并尝到成功的乐趣,对激发学生的数学兴趣,培养学生的数学应用意识以及解决实际问题的自信心是非常重要的。

3.2培养学生阅读理解能力,使学生逐步学会数学地阅读材料了解材料

通过数学阅读,能促进学生语言水平的发展以及认知水平的发展,有助于学生探究能力和自学能力的培养;通过数学阅读,有助于学生更好地掌握数学。前苏联著名数学教育家斯托利亚尔指出“数学教学也就是数学语言的教学“,因此,从语言学习的角度讲,数学教学也必须重视数学阅读,作为数学教师,不仅要重视培养学生的阅读能力,还要注重教给学生科学有效的阅读方法,让学生认识到数学阅读的重要性使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处。从而在兴趣和利益的驱动下自觉主动地进行数学阅读。具体地讲,强化阅读能力的培养,教学时要注意以下几个方面:(1)让学生学会说题。所谓说题,就是让学生通过阅读题目后,进行分析思考,说出题目提供的信息条件,现象过程,解题思路及应采用的规律方法等等。教学中可让学生通览全题说题目的要素,也可让学生剖析字句,说题目的条件;还可让学生形成解题思路后说解题步骤;(2)组织适当的课堂探究交流,课堂探究交流常常需要教师给出一个中心议题或所要解决的问题,学生在独立思考的基础上,以小组或班级的形式围绕议题发表见解、互相讨论;实践证明,课堂探究交流为师生之间,同学之间的多向交流提供了一个很好的平台;探究交流对学生独立活动的自由度增大,可以运用数学语言进行提问、反驳、论证、收集材料,统计数据等多种活动并与别人的思想进行比较,以达到更深层次的理解和掌握。因此,课堂探究交流不仅适合培养学生的交流能力,还有助于激发学生的学习兴趣,增进对知识的理解;(3)创设写数学的机会,让学生“写数学”,就是要学生把他们学习的数学心得体会,反思和研究结果,用文字的形式表达出来,并进行交流。例如:可让学生写知识小结、解题反思、调查报告和小论文等,这样做不仅可以提高学生的数学写作,阅读能力和理解能力,而且可以进一步提高学生的数学的学习水平与探索研究能力。

3.3构建知识网络,强化从整体的角度选择思维起点的能力,数学实际问题最突出的特点就是数据多,变量符号(字母)多,数量关系隐蔽而且数据具有“生活实际”的本来面目,并非“纯数学化”的数据。学生对数据的感悟能力较差,对已知所求之间的数量关系比较模糊,如果从局部入手,则头绪纷繁,不易突破,但若能从客观上进行整体分析,抓住问题的框架结构与本质关系,常能出奇制胜,找到解决问题的方法。具体的讲可以运用结构数据表格的整合信息,理顺数量间的关系,从而建立相应的数学结构,凸显数学“建模”。

3.4加强数学语言能力的培养对学生数学语言能力的培养包括两个方面的内容:一是掌握数学语言,包括:①接受——看(听)得懂,能识别、理解解释弄清数学问题的语言表达,并能转化为具体的数学思想,能用自己的语言复述、表达;②表达——写(讲)得出,能将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程用恰当的语言标准流畅地表达出来,并且在表达中名词述语规范、准确、合乎逻辑。二是帮助学生掌握好非数学语言与数学语言之间,各种数字语言的互译、转化工作。加强对学生数学语言能力的培养,主要做好一下两方面的工作,首先,要加强语义、句法的教学。斯托利亚尔指出:“这两方面都很重要,如果只限于语义一中,那么数学将不会使用形式的数学工具,进而不会用它们解决问题。如果只限于句法一种,那么学生将不理解数学语言表达的意义,不能把非数学的问题转化为数学问题,他们的知识将是形式主义的、无益的。”在教学中可以利用以下方法加强学生对语义、句法的理解:(1)借助于语文知识中句子的扩写或缩写来帮助理解。如“对顶三角相等”扩写成:“如果两角是对顶角,那么这两个角相等”,再如:“连接两点的线段的长度叫这两点间的距离”,可先诱导学生找出句子的主、谓、宾语,再读缩句,即句子的主干,这样学生就加深了对“距离”的理解,“距离”是“长度”,是“正的数量”而不是“形”——线段(2)借助于“打比方”帮助理解。如数学中的“直线”可比喻为孙悟空的“金箍棒”,既不失科学性,又能使学生印象深刻,理解透彻。(3)运用比较法帮助理解,如学习“二次根式”的加减运算时,与已学过的“整式”的加减运算作比较,得知相同点就是“合并”不同点就是“同类二次根式”与“同类项”(4)多角度理解,如相反数时,从定义角度理解:分别求-

3、-

5、0的相反数,相反数是10的数是什么?从数轴的角度理解:数轴上什么样的两数互为相反数?从绝对值角度理解:符号、绝对值怎样的两数互为相反数?从运算角度理解:相加得0的两数互为相反数吗?通过这样的多角度直观,强化理解。其次,要加强数学语言的互译的训练。数学概念、定理、公式、法则等往往是通过一种语言表述的。而学生要真正理解和运用它们,则必须要能灵活运用三种语言(文字语言、图形语言、符号语言)进行表述。例如,平面几何中的定理都是用文字语言表述的,但是证明时的论证需借助符号语言来表达,其间图形语言作为文字语言和符号语言的必要补充,为数学思维提供直观模型。因此,在平面几何的教学中必须注重对三种语言的转化训练,对书上的每一定理都要求能够作出对应图形,并能用符号语言写出对应的几何译式。

3.5优化教学设计,教学策略。

传统教学中,教学过程基本上由教师控制,教学设计只关注对传授——接受过程的优化,而很少关注改变学生学习方式,学生接受的只是一些数学结论,对数学问题是怎样提出的,概念是如何在具体情景中形成的,结论怎样探索和猜测到的,证明的思路和计算的想法是怎样得到的,结论的作用和意义是什么?很少关注。因而无法实现学生的数学学习由被动接受“结果”向主动积极构建“过程”的转化。一碰上实际问题,就茫然不知所措。为改变这一高耗低效的课堂,教学设计应注重创造问题情景,开发教学媒体,提供学习资源,优化学习环境。在指导学生学习策略上:一是变学生“仓库式”学习为“蜂蜜式”学习,二是变学生由知识学习为体验学习、发现学习。因此教学设计不仅要关注“基础知识”传授,更要关注如何向学生提供真实情境,模拟情境向学生展现“春天的原野”,让学生体验尝试,发现探究。让学生博采广撷,自我“酿蜜”;优化教学设计离不开研究学生的数学学习心理,摸清学生的学情,否则,教师无法有针对性地提供给学生解决数学实际问题的思想和方法。

3.6开发教材潜能,创造性地用好教材

教材是教与学的依据,也是教学问题的题源。教材中的例题、习题是经过反复筛选精编而成,看似寻常,实则内涵丰富。有不寻常的价值和应用功能,教师要充分发挥、挖掘教材中例、习题的作用,在教与学中创造性地设置教学情景,并适时地“深挖洞”或“广积粮”形成以问题为中心展开教学,使学生真正理解掌握知识的产生、形成和发展过程。对例题,习题的教学中采取一题多解(多角度、多方位、多层次)的形式,容易的题精讲,旧题新讲,小题大讲(深入挖掘、一题多变、一题多解、一题多用)如果老师教学时在处理上述问题原形时,不引导学生进行横向扩展纵向延伸,学生在面对实际问题时是很难解决的。因此,教师要创造性地使用好教材中的例题、习题,在布置练习时要减少一些“死”的书面作业,增加一些“活”的实践性、开放性、探究性作业。对教材中的概念、公式、法则、定理不仅要求熟记,而且要弄清背景和来源,以及与其他知识的联系,注重教材中概念、公式、法则、定理的提出、知识的形成。发展过程、解题思路的探索过程,解题规律和方法的概括过程,为学生创建了解决实际问题的基石和搭建了登高望远的平台。

综上所述,培养学生解决实际问题的能力,关键是要培养学生建模能力,即把实际问题转化为纯数学问题的能力,而提高这一能力,需要教师平时对学生进行长时间的启发、引导、点拨;和不断地探究、反思、经过思维碰撞、纠错磨练。所谓:谋定而动,马到功成

第四篇:机器学习中关于模型评估方法总结

1 模型评估

我们在建立模型之后,接下来就要去评估模型,确定这个模型是否有用。 在实际情况中,我们会用不同的度量去评估我们的模型,而度量的选择取决于模型的类型和模型以后要做的事。

1.1 二分类评估

二分类模型的评估。

1.1.1 业界标准叫法

二分类评估;分类算法。

1.1.2 应用场景

信息检索、分类、识别、翻译体系中。

1.1.2.1 新闻质量分类评估 对于新闻APP,其通过各种来源获得的新闻,质量通常良莠不齐。为了提升用户体验,通常需要构建一个分类器模型分类低质新闻和优质新闻,进而进行分类器的评估。

1.1.2.

2垃圾短信分类评估 垃圾短信已经日益成为困扰运营商和手机用户的难题,严重影响人们的生活、侵害到运营商的社会公众形象。 构建二分类器模型对垃圾短信和正常短信进行分类,并进行二分类评估。

1.1.3 原理

1.1.3.

1混淆矩阵 混淆矩阵(Confusion Matrix)。来源于信息论,在机器学习、人工智能领域,混淆矩阵又称为可能性表格或错误矩阵,是一种矩阵呈现的可视化工具,用于有监督学习,在无监督学习中一般叫匹配矩阵。 混淆矩阵是一个N*N的矩阵,N为分类(目标值)的个数,假如我们面对的是一个二分类模型问题,即N=2,就得到一个2*2的矩阵,它就是一个二分类评估问题。 混淆矩阵的每一列代表预测类别,每一列的总数表示预测为该类别的数据的数目,每一行代表了数据的真实归属类别,每一行的数据总数表示该类别的实例的数目。

图1 2*2混淆矩阵图

阳性(P,Positive): 阴性(N,Negative):

真阳性(TP,True Positive):正确的肯定,又称“命中”(Hit);被模型预测为正类的正样本。

真阴性(TN,True Negative):正确的否定,又称“正确拒绝”(correct rejection),被模型预测为负类的负样本。

伪阳性(FP,false Positive):错误的肯定,又称“假警报”(false alarm);被模型预测为负类的正样本。

伪阴性(FN,false Negative):错误的否定,又称“未命中”(miss);被模型预测为正类的负样本。

灵敏度(Sensitivity)或真阳性率(TPR,Ture Negative Rate):又称“召回率”(recall)、命中率(Hit Rate)。在阳性值中实际被预测正确所占的比例。TPR=TP/P=TP/(TP+FN) 伪阳性率(FPR,false positive rate):又称“假正类率”、“错误命中率”、“假警报率”。FPR=FP/(FP+TN) 特异度(SPC,Specificity)或真阴性率:在阴性值中实际被预测正确所占的比例。SPC=TN/N=TN/(FP+TN)=1-FPR 假发现率(FDR,false discovery rate):FDR=FP/(FP+TP)=1-TPR 准确度(ACC):预测正确的数占样本数的比例。ACC=(TP+TN)/(P+N) 阳性预测值(PPV,positive predictive value)或精度(precision):阳性预测值被预测正确的比例。PPV=TP/(TP+FP) 阴性预测值(NPV,negative predictive value):阴性预测值被预测正确的比例。NPV=TN/(TN+FN)

图2 一个模型的2*2混淆矩阵图示例

我们可以看出,这个模型的准确度是88%,阳性预测值比较高而阴性预测值较低,对于灵敏度和特异度也是相同。这是因为我们选的阈值导致的,若我们降低阈值,这两对数值就会变得接近。 1.1.3.2 ROC曲线 ROC曲线(Receiver Operation Characteristic Curve),中文名叫“接受者操作特征曲线”,其实是从混淆矩阵衍生出来的图形,其横坐标是Specificity(特异度),纵坐标是Sensitivity(灵敏度)。

图3 ROC曲线图

随着阈值的减小,更多的值归于正类,敏感度和特异度也相应增加。而那条45度线是一条参照线,ROC曲线要与这条参照线比较。 如果我们不用模型,直接把客户分类,我们得到的曲线就是这条参照线,然而,我们使用了模型进行预测,就应该比随机的要好,所以,ROC曲线要尽量远离参照线,越远,我们的模型预测效果越好。 ROC曲线反映了错误命中率和灵敏度之前权衡的情况,即灵敏度随着错误命中率递增的情况下,谁增长的更快,快多少。灵敏度增长的越快,曲线越往上屈,反映了模型的分类性能越好。当正负样本不平衡时,这种模型评价方式比起一般的精确度评价方式好处尤为明显。

ROC曲线快速爬向左上,表示模型准确预测数据。 一般情况下,ROC曲线都应该处于参照线的上方。 1.1.3.

3AUC(ROC曲线下面积 Area Under ROC Curve)

图3 AUC曲线图

ROC曲线是根据与45度参照线比较判断模型的好坏,但这只是一种定性的分析,如果需要定量的计算判断,就用到了AUC,即:ROC曲线下面积。 参考线的面积是0.5,ROC曲线越往左上方靠拢,AUC就越大(这里的面积是0.869),模型评估的性能越好,完美分类的AUC值是1。 1.1.3.

4基尼系数 基尼系统经常用于分类问题,公式:Gini=2*AUC-1。基尼系数大于60%,就算好模型。 1.1.3.5

LIFT(提升)

图3 LIFT提升图

LIFT=(TP/(TP+FP))/((TP+FN)/(TP+FN+FP+TN)) LIFT越大,模型的预测效果越好。LIFT值应一直大于1,如果LIFT值等于1,模型就没有任何提升了。 横轴是预测为正例的比例,即:(TP+FN)/(TP+FN+FP+TN) 1.1.3.6

Gains(增益)

图3 Gains增益图

与LIFT类似,区别在于纵轴的刻度不同,横轴相同。Gains= TP/(TP+FP)=LIFT*((TP+FN)/(TP+FN+FP+TN))

1.1.3.7

K-S(Kolmogorov-Smirnov chart)图 K-S图是用来度量阳性和阴性分类区分程度的。若我们把总体严格按照阳性和阴性分成两组,则K-S值为100,如果我们是随机区分阳性和阴性,则K-S值为0。所以,分类模型的K-S值在0到100之间,值越大,模型表现越好。

1.2 多分类评估

多分类模型的评估。

1.2.1 业界标准叫法

多分类评估。

1.2.2 应用场景

1.2.2.

1商品图片分类 淘宝、京东等电商含有数以百万级的商品图片,“拍照购”等应用必须对用户提供的商品图片进行分类。

1.2.3 原理

同1.1.3节。

1.2.3.1 混淆矩阵 如果有150个样本数据,这些数据分成3类,每类50个。分类结束后得到的混淆矩阵如下:

每一行之和为50,表示50个样本。第一行说明类1的50个样本有43个分类正确,5个错分为类2,2个错分为类3。 第一行第一列中的43表示有43个实际归属第一类的实例被预测为第一类,同理,第二行第一列的2表示有2个实际归属为第二类的实例被错误预测为第一类。

1.2.4 不同应用场景使用的方法及参数

1.2.4.1 混淆矩阵

混淆矩阵一般只能用于分类输出模型中。

对于混淆矩阵,一般情况下,我们只关心其中一个定义度量。例如:在医药公司,一般会更加关心最小化误诊率,也就是高特异度。而在磨损模型中,我们更关心的是灵敏度。 1.2.4.

2ROC和AUC曲线 ROC曲线的一个应用场景是在人脸检测中,很多相关的研究或者企业评价他们的检测性能程度是通过ROC曲线来评定的。

ROC和AUC曲线常被用来评价一个二值分类器的优劣。

1.3 Spark模型预测

Apache Spark是专为大规模数据处理而设计的快速通用的计算引擎。是一种计算框架。

1.3.1 业界标准叫法

Spark。

1.3.2 应用

1.3.2.1 腾讯社交广告平台—广点通 广点通是最早使用Spark的应用之一。腾讯大数据精准推荐借助Spark快速迭代的优势,围绕“数据+算法+系统”这套技术方案,实现了在“数据实时采集、算法实时训练、系统实时预测”的全流程实时并行高维算法,最终成功应用于广点通pCTR投放系统上,支持每天上百亿的请求量。 基于日志数据的快速查询系统业务构建于Spark之上的Shark,利用其快速查询以及内存表等优势,承担了日志数据的即席查询工作。在性能方面,普遍比Hive高2-10倍,如果使用内存表的功能,性能将会比hive快百倍。

1.3.2.2 Yahoo—Audience Expansion(读者扩张) Yahoo将Spark用在Audience Expansion中的应用。Audience Expansion是广告中寻找目标用户的一种方法:首先广告者提供一些观看了广告并且购买产品的样本客户,据此进行学习,寻找更多可能转化的用户,对他们定向广告。Yahoo采用的算法是logistic regression。同时由于有些SQL负载需要更高的服务质量,又加入了专门跑Shark的大内存集群,用于取代商业BI/OLAP工具,承担报表/仪表盘和交互式/即席查询,同时与桌面BI工具对接。目前在Yahoo部署的Spark集群有112台节点,9.2TB内存。 1.3.2.3 淘宝—搜索和广告业务 阿里搜索和广告业务,最初使用Mahout或者自己写的MR来解决复杂的机器学习,导致效率低而且代码不易维护。淘宝技术团队使用了Spark来解决多次迭代的机器学习算法、高计算复杂度的算法等。将Spark运用于淘宝的推荐相关算法上,同时还利用Graphx解决了许多生产问题,包括以下计算场景:基于度分布的中枢节点发现、基于最大连通图的社区发现、基于三角形计数的关系衡量、基于随机游走的用户属性传播等。

1.3.2.4 优酷土豆—视频推荐和广告业务 优酷土豆在使用Hadoop集群的突出问题主要包括:第一是商业智能BI方面,分析师提交任务之后需要等待很久才得到结果;第二就是大数据量计算,比如进行一些模拟广告投放之时,计算量非常大的同时对效率要求也比较高,最后就是机器学习和图计算的迭代运算也是需要耗费大量资源且速度很慢。 最终发现这些应用场景并不适合在MapReduce里面去处理。通过对比,发现Spark性能比MapReduce提升很多。首先,交互查询响应快,性能比Hadoop提高若干倍;模拟广告投放计算效率高、延迟小(同hadoop比延迟至少降低一个数量级);机器学习、图计算等迭代计算,大大减少了网络传输、数据落地等,极大的提高的计算性能。目前Spark已经广泛使用在优酷土豆的视频推荐(图计算)、广告业务等。

1.3.3 原理

1.3.3.

1Spark生态圈 如下图所示为Spark的整个生态圈,最底层为资源管理器,采用Mesos、Yarn等资源管理集群或者Spark自带的Standalone模式,底层存储为文件系统或者其他格式的存储系统如Hbase。Spark作为计算框架,为上层多种应用提供服务。Graphx和MLBase提供数据挖掘服务,如图计算和挖掘迭代计算等。Shark提供SQL查询服务,兼容Hive语法,性能比Hive快3-50倍,BlinkDB是一个通过权衡数据精确度来提升查询晌应时间的交互SQL查询引擎,二者都可作为交互式查询使用。Spark Streaming将流式计算分解成一系列短小的批处理计算,并且提供高可靠和吞吐量服务。

图4 spark生态圈图

1.3.3.2 Spark运行框架

图5 spark运行框架图

Spark的运行框架首先有集群资源管理服务(Cluster Manager)和运行作业任务节点(Worker Node),然后就是每个应用的任务控制节点Driver和每个机器节点上有具体任务的执行进程。 与MR计算框架相比,Executor有二个优点:一个是多线程来执行具体的任务,而不是像MR那样采用进程模型,减少了任务的启动开稍。二个是Executor上会有一个BlockManager存储模块,类似于KV系统(内存和磁盘共同作为存储设备),当需要迭代多轮时,可以将中间过程的数据先放到这个存储系统上,下次需要时直接读该存储上数据,而不需要读写到hdfs等相关的文件系统里,或者在交互式查询场景下,事先将表Cache到该存储系统上,提高读写IO性能。另外Spark在做Shuffle时,在Groupby,Join等场景下去掉了不必要的Sort操作,相比于MapReduce只有Map和Reduce二种模式,Spark还提供了更加丰富全面的运算操作如filter,groupby,join等。 1.3.3.3 Spark与hadoop

 Hadoop有两个核心模块,分布式存储模块HDFS和分布式计算模块Mapreduce  spark本身并没有提供分布式文件系统,因此spark的分析大多依赖于Hadoop的分布式文件系统HDFS  Hadoop的Mapreduce与spark都可以进行数据计算,而相比于Mapreduce,spark的速度更快并且提供的功能更加丰富 1.3.3.4 Spark运行流程

图5 spark运行流程图

1. 构建Spark Application的运行环境,启动SparkContext。 2. SparkContext向资源管理器(可以是Standalone,Mesos,Yarn)申请运行Executor资源,并启动StandaloneExecutorbackend。 3. Executor向SparkContext申请Task。 4. SparkContext将应用程序分发给Executor。

5. SparkContext构建成DAG图,将DAG图分解成Stage、将Taskset发送给Task Scheduler,最后由Task Scheduler将Task发送给Executor运行。

6. Task在Executor上运行,运行完释放所有资源。 1.3.3.5 Spark运行特点

1. 每个Application获取专属的executor进程,该进程在Application期间一直驻留,并以多线程方式运行Task。这种Application隔离机制是有优势的,无论是从调度角度看(每个Driver调度他自己的任务),还是从运行角度看(来自不同Application的Task运行在不同JVM中),当然这样意味着Spark Application不能跨应用程序共享数据,除非将数据写入外部存储系统。 2. Spark与资源管理器无关,只要能够获取executor进程,并能保持相互通信就可以了。

3. 提交SparkContext的Client应该靠近Worker节点(运行Executor的节点),最好是在同一个Rack里,因为Spark Application运行过程中SparkContext和Executor之间有大量的信息交换。 4. Task采用了数据本地性和推测执行的优化机制。

1.4 回归评估

对回归模型的评估。

1.4.1 业界标准叫法

回归模型评估。

1.4.2 应用

1.4.3 原理及方法

1.4.3.1

均方根误差(Root Mean Squared Error,RMSE) RMSE是一个衡量回归模型误差率的常用公式。 然而,它仅能比较误差是相同单位的模型。

1.4.3.2

相对平方误差(Relative Squared Error,RSE) 与RMSE不同,RSE可以比较误差是不同单位的模型。

1.4.3.3

平均绝对误差(Mean Absolute Error,MAE) MAE与原始数据单位相同, 它仅能比较误差是相同单位的模型。量级近似与RMSE,但是误差值相对小一些。

1.4.3.4

相对绝对误差(Relative Absolute Error,RAE)

1.4.3.5

相对绝对误差(Coefficient of Determination)

决定系数 (R2)回归模型汇总了回归模型的解释度,由平方和术语计算而得。 R2描述了回归模型所解释的因变量方差在总方差中的比例。R2很大,即自变量和因变量之间存在线性关系,如果回归模型是“完美的”,SSE为零,则R2为1。R2小,则自变量和因变量之间存在线性关系的证据不令人信服。如果回归模型完全失败,SSE等于SST,没有方差可被回归解释,则R2为零。

1.4.3.6 标准化残差图(Standardized Residuals Plot) 标准化残差图是一个对在标准化尺度上显示残差分散图有帮助的可视化工具。标准化残差图与普通残差图之间没有实质不同,唯一区别是在Y轴的标准化可以更容易检测到潜在的异常值。

第五篇:数学模型方法在数学解题教学中的应用

摘 要:数学模型方法是一种重要的数学方法,阐述了灵活应用函数模型、不等式模型、几何模型等模型的解题方法,以及数学模型方法教学的基本原则。

关键词:数学模型;模型方法;解题;教学

一、数学模型的概念及分类

根据波利亚对数学模型的描述,中学数学中的一切公式、定理、法则、图象、函数以及相应的运算系统都可以作为数学模型。根据数学本身的特点,数学模型可以分为概念型模型、方法型模型和结构模型三大类,而根据中学数学教材的内容,中学数学模型应包括函数模型、不等式模型、复数模型、排列组合模型、概率统计模型以及平面几何中的平面,解析几何中的平面,立体图形模型,距离模型,线性模型等。

二、数学模型方法的含义及基本步骤

1.数学模型方法的含义

数学模型方法(Mathematical Modeling Method)是利用数学模型解决问题的一般数学方法,简称MM方法。它是处理各种数学理论问题、解决各种实际问题的不可或缺的方法,无疑,数学教师在日常教学中都应当注意让学生了解并掌握这种方法,最大可能地培养其构造数学模型的能力。这绝对不是一个轻松的过程。首先,学生必须先掌握一定的数学知识,让他们学“杂”一些,使得建立模型解题才有了可能性。其次,要让学生多接触题目,多动脑。

2.数学模型方法的基本步骤

在中学数学教学中,数学模型方法已成为一种非常重要的思想方法,它在解题中的基本步骤表示如下:

将所要解决的问题转化为比较简单的比较常见的问题,或已经解决了的问题,然后再通过后者的解来解决原来的问题,这便是人们在数学研究中经常采用的一种方法――关系影射反映方法。模型解答题,按照上图中的三个步骤来完成。在构造模型时,要仔细分析问题中的条件,找出可以用来构造模型的因素,挖掘各种因素、各个事物的联系,最后,利用恰当的数学工具达到最终目的。

三、应用模型解题

1.应用不等式模型解题

用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫做不等式。不等式是研究不等关系的数学工具,它与等式和方程是研究相等关系的数学工具的性质是一样的。问题的研究经常要分析其中的不等关系,列出不等式,并用不等式求出某些数量的取值范围。

历年高考试题几乎都会涉及最值问题,而这些问题的绝大多数都可以转化为不等式问题。这就要求学生应当熟悉几种常见的求最值问题的不等式模型,提高解题速度,从而更好地把握考试时间。

2.应用几何模型解题

有些实际应用问题,可以通过分析、联想,建立恰当的几何模型,将问题转化为空间图形的位置关系,数量关系或者转化为曲线问题来加以解决。

3.应用概率模型解题

概率是随机事件出现可能性的量度,在初中数学中加大概率的内容已成为共识。现实生活中的部分现象极好地体现了概率知识的广泛应用,这里主要探讨概率模型在一般数学题目中的应用。

四、数学模型方法教学的基本原则

建立数学模型解决原型的过程确实不易。教师在数学模型方法的教学中就必须遵循一些原则,概括起来有以下三点:

1.循序渐进教学原则

也称为分层次教学原则。该原则的出发点为学生认知水平的层次性。模型方法的教学应该重点体现在知识的应用期。引导他们掌握数学模型方法的基本步骤,要求他们会建立相应的数学模型。反过来,模型的建立、求解又进一步巩固所学知识。

2.引导启发教学原则

该原则就是要让学生自己领会模型方法,掌握不同的模型。在课堂上多创造一些生活的情境,多给学生动手实践的机会。教师将目标落实到具体的课堂教学中,与教学结构的各环节相匹配。

3.融会贯通教学原则

解数学题目时,要尝试用另外一种方法去检验结果。模型方法的教学更是如此。或许建立某种模型可以解决这个问题,但是应用其他模型却有可能使得问题的呈现更加明了。一题多模不但能够使题目获得最为简明的解答方式,而且能够让学生从多个角度观察事物,进而提高学生的思维活动能力,培养其创新精神。

参考文献:

[1]顾泠沅,朱成杰.数学思想方法[M].北京:中央广播电视大学出版社,2004.

[2]孙宏安.数学模型法的三个来源[J].大连教育学院学报,1997(1).

[3]高连成.解决最值问题的6个不等式模型[J].第二课堂:高中版,2007(4).

[4]刘美香.构造多种模型证明一道竞赛题[J].上海中学数学,2008(12).

|编辑 杨兆东