高中数学导数教案

作为一名教学工作者，总不可避免地需要编写教案，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。那么写教案需要注意哪些问题呢？以下是小编精心整理的《高中数学导数教案1》，供大家参考，更多范文可通过本站顶部搜索您需要的内容。

第一篇：高中数学导数教案1

高中数学 1.3.3 函数的最值与导数 文档教案 新人教版选修2-2

宁夏银川贺兰县第四中学2013-2014学年高中数学 1.3.3 函数的最值与导数 文档教案 新人教版选修2-2

【学习目标】

【复习回顾】

1. 极大值、极小值的概念：

2.求函数极值的方法：

【知识点实例探究】 例1.求函数f(x)13x4x1在[0,3]上的最大值与最小值。 3

你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗?

变式：1 求下列函数的最值：

(1)已知f(x)612xx,x[,1]，则函数的最大值为______，最小值为______。 (2)已知f(x)6xx2,x[1,2]，则函数的最大值为______，最小值为______。 (3)已知f(x)x27x,x[3,3]，则函数的最大值为______，最小值为______。 (4)f(x)3xx,x[1,2]则函数的最大值为______，最小值为______。 变式：2 求下列函数的最值：

(1)f(x)6xx2 (2)f(x)612xx 23332313

例2.已知函数f(x)2x36x2a在[-2，2]上有最小值-37， (1)求实数a的值;(2)求f(x)在[-2，2]上的最大值。

姓名：_____________ 学号：______________

【作业】

1.下列说法中正确的是( )

A 函数若在定义域内有最值和极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值 B 闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值

C 若函数在其定义域上有最值，则一定有极值;反之，若有极值，则一定有最值

D 若函数在定区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值 2.函数y|x1|，下列结论中正确的是( )

A y有极小值0，且0也是最小值 B y有最小值0，但0不是极小值 C y有极小值0，但0不是最小值

D 因为y在x1处不可导，所以0即非最小值也非极值

3.函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是( ) A 0a1 B 0a1 C 1a1 D 0a4.函数f(x)xex,x[0,4]的最小值是( ) A 0 B

1 2142 C 4 D 2 eee5.给出下面四个命题：

(1)函数yx5x4,x[1,1]的最大值为10，最小值为29; 4(2)函数y2x24x1,x[2,4]的最大值为17，最小值为1; (3)函数yx312x,x[3,3]的最大值为16，最小值为-16; (4)函数yx312x,x[2,2]无最大值，无最小值。 其中正确的命题有

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 6.函数f(x)4x,x[2,2]的最大值是__________，最小值是_____________。 2x13,x[2,)的最小值为____________。 x327.函数yx8.已知f(x)2x6xm(m为常数)，在[-2，2]上有最大值3，求函数在区间 [-2，2]上的最小值。

9.(1)求函数f(x)x3x6x2,x[1,1]的最大值和最小值;

32

(2)求函数f(x)48xx3的极值。

自 助 餐

x2x1.设a0为常数，求函数yee在区间[0,a]上的最大值和最小值。

2. 设f(x)x312x2x5，(1)求函数f(x)的单调递增，递减区间; 2(2)当x[1,2]时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围。

x22xa,x[1,)， 3.已知函数f(x)x(1)当a

(2)若对于任意x[1,),f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围。 1，求函数f(x)的最小值; 2

4.已知函数f(x)x3ax23x，

(1)若函数f(x)在[1,]上是增函数，求实数a的取值范围;

(2)若x

(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)bx的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点，若存在 ，求出实数b的取值范围;取不存在，试说明理由。

1是f(x)的极值点，求f(x)在[1,a]上的最大值; 3

5.当x(1,2]时，函数f(x)值。

1.(1)若0aln2在区间[0,a]上，当xa时，有最大值eax恒大于正数a，试求函数ylg(a2a3)的最小2x1e2a;当x0时，有

1;当x0时，有4最小值0。(2)当aln2，在区间[0,a]上，当xln2时，有最大值最小值0。2.(1)递增区间为(,)和(1,)，递减区间为(3.(1)

232,1);(2)m7。 37(2)a3。4.(1)a0，(2)f(1)6，(3)b7且b3。 21115.当a时，yminlg。

24

第二篇：高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教学设计1 苏教版选修2-2

1.3导数在研究函数中的应用

教学目标：

1、知识与技能目标：通过实例，借助图形直观探索并了解导数与函数单调性的关系，理解并掌握利用导数研究函数的单调性以及求解函数单调区间;

2、过程与方法目标：会用导数研究函数单调性，并会用导数求解函数单调区间;

3、情感态度与价值观目标：探究导数与函数单调性关系的过程中培养学生数形结合思想和从特殊到一般的数学思想，以及发现问题、解决问题的能力。 教学重点：利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间; 教学难点：发现和揭示导数值的符号与函数单调性的关系; 教学方法与手段：探究式教学模式;利用多媒体现代设备教学 教学过程：

一、 复习回顾：

我们知道平均变化率可以刻画函数的变化趋势，大家还记得 问题1：函数yfx在区间x1,x2上平均变化率的数学表达式吗?

fx2fx1生1：(教师板书)，

x2x1师：那你能给出这个二次函数fxx4x3在x1,x2上的平均变化率吗?

2问题2：导数的概念和它的几何意义?

生2：x2x1时，fx2fx1fx1(教师板书)

x2x1师：这个导数又有什么几何意义?

生2：曲线yfx在点x1,fx1处切线的斜率

师：这个二次函数fxx4x3，它对应的fx1又是什么?

2生3：fx12x14

师：今天我们一起来学习导数在研究函数中的应用，导数作为函数变化率比较精确地刻画了函数的变化趋势，(板书“导数在研究函数 中的应用”)

二、建构数学 师：观察二次函数fxx24x3图象，请大家给出在对称轴左右两侧函数的变化趋势 生：对称轴x2左边下降趋势，对称轴x2右边上升趋势，

师：也就是在,2为减函数，在2,为增函数，这也是函数的单调性 师：你是怎样判断函数单调性的? 生：图象法(教师板书)

师：我们曾经还学习过判断函数单调性还有什么方法? 生：定义法(教师板书) 问题3：那函数单调性定义又是什么?

生：函数yfx的定义域为A，区间IA，任取x1,x2I，当x1x2时，fx1fx2，则yfx在区间I上是单调增函数; fx1fx2，则yfx在区间I上是单调减函数。

师：回答的非常好!请大家用定义法证明二次函数fxx4x3在2, 为增函数

2生： x1,x22,，不妨设x1x2，则fx2fx1x2x1x1x240，所以fx1fx2，所以函数在2,为增函数。

问题4：大家注意观察，从形式上你发现定义法和平均变化率对应的两式之间有关系吗?

f(x2)f(x1)x1x24，f(x2)f(x1)x2x1x1x24

x2x1生：有关系

师：说的很好!我们发现平均变化率与定义法之间存在某种密切的关系

问题5：当自变量的改变量无限趋近于0时平均变化率无限趋近于导数，而定义法可以判断函数的单调性，大家发现了什么?

生：导数与单调性之间可能也有关系

师：说的太好了!同学们发现了导数与函数单调性之间可能也有着某种密切的关系，这个问题的发现是很非常了不起的，那今天我们就来学习导数在研究函数的单调性中的应用。(教师补全课题)

问题6：导数与单调性之间究竟什么关系?

师：请大家结合切线斜率来观察这个二次函数fxx4x3在对称轴左右两侧导数值有

2什么不同特点?切线在对称轴左侧移动时，观察导数值特点并记录你所观察到的结果，切线在对称轴右侧移动时，同样也观察导数值特点并记录你的观察结果。

yfxx24x3x

生： 在区间,2上， fx0函数在该区间为减函数;

在区间2,上， fx0函数在该区间为增函数。(教师板书) 师：我们通过图形直观观察得出结论，请大家回到导数定义中来，

o2fx2fx1不妨假设x1x2，x2x1时，fx12x14

x2x1问题7：你能从“数”的角度解释为什么在2,上，fx0得到在该区间为增函数?

生：小组交流讨论 教师点评归纳：

不妨设x1x2，当x2x1时，

fx2fx1x1x24fx12x14，

x2x1fx2fx10，所以 fx2fx1，

x2x1若fx10，得到x12， x1x240，得到在2,为增函数。

师：对于这个二次函数我们体会到平均变化率、定义法、导数、单调性四者密切相关，通过这四者之间的关系，我们从图形直观观察得到结论，又结合导数定义从“数”的角度解释了结论，做到了数形的完美结合。更一般地，我们也可以用导数值的符号来判断函数的单调性，你能归纳出一个一般性的结论吗? 生：对于函数yfx，

在某个区间上fx0函数在该区间上为增函数; 在某个区间上fx0函数在该区间上为减函数

师：归纳的很好!这样大家便有了一种研究函数单调性新的方法——导数法。尤其对于那些很难作出图象，或者用定义法也很难判断单调性的函数，我们就可以选择导数法(板书)。

三、数学运用：

例1：用导数法确定函数fxx2x3在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数?

2解：fx2x2，

令fx0，解得x1，即在区间,1上为增函数

令fx0，解得x1，即在区间1,上为减函数(教师板书) 师：结合这道例题，你能归纳出利用导数求解函数单调区间的主要步骤吗? 生：回答 教师点评步骤：

(1)求导数fx;(2)解fx0和fx0;(3)写出单调区间。最后不忘函数定义域

四、课堂练习：

例2：用导数法确定函数fx2x6x7在哪些区间上是增函数?在哪个区间上是减函数?

32(请学生板演)

解：fx6x12x6x(x2) 2令fx0，解得x0或x2，令fx0，解得0x2， 因此函数在,0和2,上为增函数，在0,2上为减函数

教师追问：你能根据函数单调性在演练纸上作出反映三次函数fx2x36x27单调性变化趋势的简图吗?(实物投影学生演练纸)

生：解释怎样做出函数简图：(1)找导函数零点;(2)分区间;(3)由单调性作图

师：我们利用导数值的符号来研究了函数的单调性，体会到导数法可以作为研究函数单调性的一般方法，那对于这个结论请大家思考：

问题8：若函数fx在某个区间单调递增，那么在该区间上必有fx0吗?大家请结合函数fxx3来思考

生：fx3x2，发现 f00

师：由此看来若函数fx在某个区间单调递增，那么在该区间上不一定有fx0。 师：通过这节课的学习，你学习了哪些知识?体会了哪些数学思想?

五、回顾小结：

生1： 学习到利用导数值的符号来判断函数的单调性，及利用导数求解函数的单调区间; 生2：在探究导数与函数单调性之间的关系时，通过图形直观观察，体会到了数形结合的数学思想和特殊到一般的数学思想。

师总结归纳：平均变化率、定义法、导数、单调性四者密切相关，通过四者关系我们得到了一个结论，学习了判断函数单调性新的方法—导数法，在探究这个结论的过程中，以一个二次函数为例，先从图形直观观察得出结论，然后结合导数定义从“数”的角度解释结论，最后将结论一般化，渗透了两种思想：数形结合、研究问题从特殊到一般，利用导数求解函数单调区间时把握三个主要步骤“一求，二解，三写”最后不忘定义域，利用导数研究函数单调性是非常重要的，为后面用导数研究函数的极值、最值打下基础，对后续学习非常重要。

六、课外作业：

1、课本29页第1题(必做题)

2、课本29页第3题(选做题)

第三篇：11-12学年高中数学 1.3.2 函数的极值与导数同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2

1.3.2

函数的极值与导数

一、选择题

1.已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是(　　)

A.导数为零的点一定是极值点

B.如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值

C.如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值

D.如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值

[答案]　C

[解析]　导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)=x3，f′(x)=3x2，f′(0)=0，但x=0不是f(x)的极值点，故A错;由极值的定义可知C正确，故应选C.

2.函数y=1+3x-x3有(　　)

A.极小值-2，极大值2

B.极小值-2，极大值3

C.极小值-1，极大值1

D.极小值-1，极大值3

[答案]　D

[解析]　y′=3-3x2=3(1-x)(1+x)

令y′=0，解得x1=-1，x2=1

当x<-1时，y′<0，函数y=1+3x-x3是减函数，

当-10，函数y=1+3x-x3是增函数，

当x>1时，y′<0，函数y=1+3x-x3是减函数，

∴当x=-1时，函数有极小值，y极小=-1.

当x=1时，函数有极大值，y极大=3.

3.设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是(　　)

A.必有f′(x0)=0

B.f′(x0)不存在

C.f′(x0)=0或f′(x0)不存在

D.f′(x0)存在但可能不为0

[答案]　C

[解析]　如：y=|x|，在x=0时取得极小值，但f′(0)不存在.

4.对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件.

5.对于函数f(x)=x3-3x2，给出命题：

①f(x)是增函数，无极值;

②f(x)是减函数，无极值;

③f(x)的递增区间为(-∞，0)，(2，+∞)，递减区间为(0,2);

④f(0)=0是极大值，f(2)=-4是极小值.

其中正确的命题有(　　)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

[答案]　B

[解析]　f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0

6.函数f(x)=x+的极值情况是(　　)

A.当x=1时，极小值为2，但无极大值

B.当x=-1时，极大值为-2，但无极小值

C.当x=-1时，极小值为-2;当x=1时，极大值为2

D.当x=-1时，极大值为-2;当x=1时，极小值为2

[答案]　D

[解析]　f′(x)=1-，令f′(x)=0，得x=±1，

函数f(x)在区间(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递增，在(-1,0)和(0,1)上单调递减，

∴当x=-1时，取极大值-2，当x=1时，取极小值2.

7.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

[答案]　A

[解析]　由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点.

8.已知函数y=x-ln(1+x2)，则函数y的极值情况是(　　)

A.有极小值

B.有极大值

C.既有极大值又有极小值

D.无极值

[答案]　D

[解析]　∵y′=1-(x2+1)′

=1-=

令y′=0得x=1，当x>1时，y′>0，

当x<1时，y′>0，

∴函数无极值，故应选D.

9.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是(　　)

A.极大值为，极小值为0

B.极大值为0，极小值为

C.极大值为0，极小值为-

D.极大值为-，极小值为0

[答案]　A

[解析]　由题意得，f(1)=0，∴p+q=1①

f′(1)=0，∴2p+q=3②

由①②得p=2，q=-1.

∴f(x)=x3-2x2+x，f′(x)=3x2-4x+1

=(3x-1)(x-1)，

令f′(x)=0，得x=或x=1，极大值f=，极小值f(1)=0.

10.下列函数中，x=0是极值点的是(　　)

A.y=-x3

B.y=cos2x

C.y=tanx-x

D.y=

[答案]　B

[解析]　y=cos2x=，y′=-sin2x，

x=0是y′=0的根且在x=0附近，y′左正右负，

∴x=0是函数的极大值点.

二、填空题

11.函数y=的极大值为______，极小值为______.

[答案]　1

-1

[解析]　y′=，

令y′>0得-11或x<-1，

∴当x=-1时，取极小值-1，当x=1时，取极大值1.

12.函数y=x3-6x+a的极大值为____________，极小值为____________.

[答案]　a+4　a-4

[解析]　y′=3x2-6=3(x+)(x-)，

令y′>0，得x>或x<-，

令y′<0，得-

∴当x=-时取极大值a+4，

当x=时取极小值a-4.

13.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=-1处有极大值，在x=3处有极小值，则a=______，b=________.

[答案]　-3

-9

[解析]　y′=3x2+2ax+b，方程y′=0有根-1及3，由韦达定理应有

14.已知函数f(x)=x3-3x的图象与直线y=a有相异三个公共点，则a的取值范围是________.

[答案]　(-2,2)

[解析]　令f′(x)=3x2-3=0得x=±1，

可得极大值为f(-1)=2，极小值为f(1)=-2，

y=f(x)的大致图象如图

观察图象得-2

三、解答题

15.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+11.

(1)写出函数f(x)的递减区间;

(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值.

[解析]　f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，

令f′(x)=0，得x1=-1，x2=3.

x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：

x

(-∞，-1)

-1

(-1,3)

3

(3，+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

增

极大值

f(-1)

减

极小值

f(3)

增

(1)由表可得函数的递减区间为(-1,3);

(2)由表可得，当x=-1时，函数有极大值为f(-1)=16;当x=3时，函数有极小值为f(3)=-16.

16.设函数f(x)=ax3+bx2+cx，在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1，求a、b、c的值，并求出相应的极值.

[解析]　f′(x)=3ax2+2bx+c.

∵x=±1是函数的极值点，∴-1、1是方程f′(x)=0的根，即有

又f(1)=-1，则有a+b+c=-1，

此时函数的表达式为f(x)=x3-x.

∴f′(x)=x2-.

令f′(x)=0，得x=±1.

当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：

x

(-∞，-1)

-1

(-1,1)

1

(1，+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)



极大

值1



极小

值-1



由上表可以看出，当x=-1时，函数有极大值1;当x=1时，函数有极小值-1.

17.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.

(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;

(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.

[解析]　(1)f′(x)=3ax2+2bx-3，依题意，

f′(1)=f′(-1)=0，即

解得a=1，b=0.

∴f(x)=x3-3x，

f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).

令f′(x)=0，得x1=-1，x2=1.

若x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，则f′(x)>0，故

f(x)在(-∞，-1)上是增函数，

f(x)在(1，+∞)上是增函数.

若x∈(-1,1)，则f′(x)<0，故

f(x)在(-1,1)上是减函数.

∴f(-1)=2是极大值;f(1)=-2是极小值.

(2)曲线方程为y=x3-3x.点A(0,16)不在曲线上.

设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0=x-3x0.

∵f′(x0)=3(x-1)，故切线的方程为

y-y0=3(x-1)(x-x0).

注意到点A(0,16)在切线上，有

16-(x-3x0)=3(x-1)(0-x0).

化简得x=-8，解得x0=-2.

∴切点为M(-2，-2)，

切线方程为9x-y+16=0.

18.(2010·北京文，18)设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a>0)，且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.

(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式;

(2)若f(x)在(-∞，+∞)内无极值点，求a的取值范围.

[解析]　本题考查了函数与导函数的综合应用.

由f(x)=x3+bx2+cx+d得f′(x)=ax2+2bx+c

∵f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两根为1,4.

(1)当a=3时，由(*)式得，

解得b=-3，c=12.

又∵曲线y=f(x)过原点，∴d=0.

故f(x)=x3-3x2+12x.

(2)由于a>0，所以“f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞，+∞)内无极值点”等价于“f

′(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞，+∞)内恒成立”

由(*)式得2b=9-5a，c=4a.

又∵Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)

解得a∈[1,9]，

即a的取值范围[1,9].

第四篇：11-12学年高中数学 1.3.3 函数的最值与导数同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2

1.3.3

函数的最值与导数

一、选择题

1.函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f′(x)(　　)

A.等于0

B.大于0

C.小于0

D.以上都有可能

[答案]　A

[解析]　∵M=m，∴y=f(x)是常数函数

∴f′(x)=0，故应选A.

2.设f(x)=x4+x3+x2在[-1,1]上的最小值为(　　)

A.0

B.-2

C.-1

D.

[答案]　A

[解析]　y′=x3+x2+x=x(x2+x+1)

令y′=0，解得x=0.

∴f(-1)=，f(0)=0，f(1)=

∴f(x)在[-1,1]上最小值为0.故应选A.

3.函数y=x3+x2-x+1在区间[-2,1]上的最小值为(　　)

A.

B.2

C.-1

D.-4

[答案]　C

[解析]　y′=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1)

令y′=0解得x=或x=-1

当x=-2时，y=-1;当x=-1时，y=2;

当x=时，y=;当x=1时，y=2.

所以函数的最小值为-1，故应选C.

4.函数f(x)=x2-x+1在区间[-3,0]上的最值为(　　)

A.最大值为13，最小值为

B.最大值为1，最小值为4

C.最大值为13，最小值为1

D.最大值为-1，最小值为-7

[答案]　A

[解析]　∵y=x2-x+1，∴y′=2x-1，

令y′=0，∴x=，f(-3)=13，f=，f(0)=1.

5.函数y=+在(0,1)上的最大值为(　　)

A.

B.1

C.0

D.不存在

[答案]　A

[解析]　y′=-=·

由y′=0得x=，在上y′>0，在上

y′<0.∴x=时y极大=，

又x∈(0,1)，∴ymax=.

6.函数f(x)=x4-4x

(|x|<1)(　　)

A.有最大值，无最小值

B.有最大值，也有最小值

C.无最大值，有最小值

D.既无最大值，也无最小值

[答案]　D

[解析]　f′(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1).

令f′(x)=0，得x=1.又x∈(-1,1)

∴该方程无解，

故函数f(x)在(-1,1)上既无极值也无最值.故选D.

7.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　　)

A.5，-15

B.5,4

C.-4，-15

D.5，-16

[答案]　A

[解析]　y′=6x2-6x-12=6(x-2)(x+1)，

令y′=0，得x=2或x=-1(舍).

∵f(0)=5，f(2)=-15，f(3)=-4，

∴ymax=5，ymin=-15，故选A.

8.已知函数y=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为，则a等于(　　)

A.-

B.

C.-

D.或-

[答案]　C

[解析]　y′=-2x-2，令y′=0得x=-1.

当a≤-1时，最大值为f(-1)=4，不合题意.

当-1

最大值为f(a)=-a2-2a+3=，

解得a=-或a=-(舍去).

9.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1，k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是

(　　)

A.k≤-3或-1≤k≤1或k≥3

B.-3

C.-2

D.不存在这样的实数

[答案]　B

[解析]　因为y′=3x2-12，由y′>0得函数的增区间是(-∞，-2)和(2，+∞)，由y′<0，得函数的减区间是(-2,2)，由于函数在(k-1，k+1)上不是单调函数，所以有k-1<-2

10.函数f(x)=x3+ax-2在区间[1，+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A.[3，+∞)

B.[-3，+∞)

C.(-3，+∞)

D.(-∞，-3)

[答案]　B

[解析]　∵f(x)=x3+ax-2在[1，+∞)上是增函数，∴f′(x)=3x2+a≥0在[1，+∞)上恒成立

即a≥-3x2在[1，+∞)上恒成立

又∵在[1，+∞)上(-3x2)max=-3

∴a≥-3，故应选B.

二、填空题

11.函数y=x+(1-x)，0≤x≤1的最小值为______.

[答案]

由y′>0得x>，由y′<0得x<.

此函数在上为减函数，在上为增函数，∴最小值在x=时取得，ymin=.

12.函数f(x)=5-36x+3x2+4x3在区间[-2，+∞)上的最大值________，最小值为________.

[答案]　不存在;-28

[解析]　f′(x)=-36+6x+12x2，

令f′(x)=0得x1=-2，x2=;当x>时，函数为增函数，当-2≤x≤时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(-2)=57，f=-28，所以最小值为-28.

13.若函数f(x)=(a>0)在[1，+∞)上的最大值为，则a的值为________.

[答案]　-1

[解析]　f′(x)==

令f′(x)=0，解得x=或x=-(舍去)

当x>时，f′(x)<0;当00;

当x=时，f(x)==，=<1，不合题意.

∴f(x)max=f(1)==，解得a=-1.

14.f(x)=x3-12x+8在[-3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M-m=________.

[答案]　32

[解析]　f′(x)=3x2-12

由f′(x)>0得x>2或x<-2，

由f′(x)<0得-2

∴f(x)在[-3，-2]上单调递增，在[-2,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增.

又f(-3)=17，f(-2)=24，f(2)=-8，

f(3)=-1，

∴最大值M=24，最小值m=-8，

∴M-m=32.

三、解答题

15.求下列函数的最值：

(1)f(x)=sin2x-x;

(2)f(x)=x+.

[解析]　(1)f′(x)=2cos2x-1.

令f′(x)=0，得cos2x=.

又x∈，∴2x∈[-π，π]，

∴2x=±，∴x=±.

∴函数f(x)在上的两个极值分别为

f=-，f=-+.

又f(x)在区间端点的取值为

f=-，f=.

比较以上函数值可得f(x)max=，f(x)min=-.

(2)∵函数f(x)有意义，

∴必须满足1-x2≥0，即-1≤x≤1，

∴函数f(x)的定义域为[-1,1].

f′(x)=1+(1-x2)-·(1-x2)′=1-

.

令f′(x)=0，得x=

.

∴f(x)在[-1,1]上的极值为

f=+=.

又f(x)在区间端点的函数值为f(1)=1，f(-1)=-1，比较以上函数值可得f(x)max=，f(x)min=-1.

16.设函数f(x)=ln(2x+3)+x2.求f(x)在区间上的最大值和最小值.

[解析]　f(x)的定义域为.

f′(x)=2x+=

=.

当-0;

当-1

当x>-时，f′(x)>0，

所以f(x)在上的最小值为

f=ln2+.

又f-f=ln+-ln-=ln+=<0，

所以f(x)在区间上的最大值为

f=ln+.

17.(2010·安徽理，17)设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a，x∈R.

(1)求f(x)的单调区间及极值;

(2)求证：当a>ln2-1且x>0时，ex>x2-2ax+1.

[分析]　本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.

解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值.(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明.

[解析]　(1)解：由f(x)=ex-2x+2a，x∈R知f′(x)=ex-2，x∈R.

令f′(x)=0，得x=ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(-∞，ln2)

ln2

(ln2，+∞)

f′(x)

-

0

+

f(x)

单调递减

2(1-ln2+a)

单调递增

故f(x)的单调递减区间是(-∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，+∞)，

f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).

(2)证明：设g(x)=ex-x2+2ax-1，x∈R，于是g′(x)=ex-2x+2a，x∈R.

由(1)知当a>ln2-1时，g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.

于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增.

于是当a>ln2-1时，对任意x∈(0，+∞)，都有g(x)>g(0).

而g(0)=0，从而对任意x∈(0，+∞)，g(x)>0.

即ex-x2+2ax-1>0，故ex>x2-2ax+1.

18.已知函数f(x)=，x∈[0,1].

(1)求f(x)的单调区间和值域;

(2)设a≥1，函数g(x)=x3-3a2x-2a，x∈[0,1].若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1]，使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围.

[解析]　(1)对函数f(x)求导，得

f′(x)==-

令f′(x)=0解得x=或x=.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

0

(0，)

(，1)

1

f′(x)

-

0

+

f(x)

-



-4



-3

所以，当x∈(0，)时，f(x)是减函数;

当x∈时，f(x)是增函数.

当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[-4，-3].

(2)g′(x)=3(x2-a2).

因为a≥1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0.

因此当x∈(0,1)时，g(x)为减函数，从而当x∈[0,1]时有g(x)∈[g(1)，g(0)].

又g(1)=1-2a-3a2，g(0)=-2a，即x∈[0,1]时有g(x)∈[1-2a-3a2，-2a].

任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[-4，-3]，存在x0∈[0,1]使得g(x0)=f(x1)成立，

则[1-2a-3a2，-2a]⊇[-4，-3].

即

解①式得a≥1或a≤-;解②式得a≤.

又a≥1，故a的取值范围为1≤a≤.

第五篇：高中数学新课标函数讲座高二数学讲座之复数导数推理与证明student

高中数学新课标讲座之复数、推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

高中数学新课标讲座之复数与推理与证明

【基础回归】

1、(2009广东)下列n的取值中，使i=1(i是虚数单位)的是()

A.n=

22、(2009全国)已知

B.n=

3C.n=

4D.n=

5n

z

=2+i，则复数z=()1+i

B.1-3iC.3+iD.3-i

17i

3、(2009安徽)i是虚数单位，若abi(a,bR)，则乘积ab的值是()

2iA.-1

5B.-

3C.3

D.15

A.-1+3i

4、设i为虚数单位，则复数z

A.第一象限率为()

2i

所对应的点位于 1i

C.第三象限

()

D.第四象限

B.第二象限

5、(2009湖北)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m+ni)·(n-mi)为实数的概A.1/3B.1/

432i32i

6、(2009宁夏)复数()

23i23i

A.0

C.1/6D.1/1

2B.2C.-2i

7、(2009天津)已知z是纯虚数,z2是实数,那么z等于()

1-i

A.2iB.iC.-i

8、(2009重庆)已知复数z的实部为1，虚部为2，则

A.2iA.

12D.

2D.-2i

B.2iB.2

5i

=() z

C.2i

C.1或2

D.2i D.-1 D.(1

9、(2008福建)若复数(a-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为()

10、(2008广东)已知0a2，复数

z的实部为a，则z

) A.(1，5)

【典例剖析】

B.(1，3)

C.(

1〖例1〗用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器底面的一边比另一边长回

0.5m，则高为多少时容积最大?并求出它的最大容积。

〖例2〗若zC且|z|1，则|z22i|的最小值是()

A.221

B.22+1

C.2-1



D.2

2〖例3〗设复数z满足z1，且(34i)z是纯虚数，求z。

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高中数学新课标讲座之复数、推理与证明石嘴山市光明中学 潘学功

(1i)2(34i)

2〖例4〗已知复数z满足: z13iz,求的值。 2z

〖例5〗设函数f(x)13xx2(m21)x(xR)，其中m0。

3(Ⅰ)函数f(x)在区间(-1，1)上不单调，求m的取值范围;(Ⅱ)求函数的单调区间与极值。

【能力培养】

1、(2008浙江)已知a是实数，A.

12、(2008辽宁)复数11的虚部是() 2i12i

A.iai是纯虚数，则a=() 1iB.-1C.2D.-2

15B.15C.i 1

5D.1

53、(2008宁夏)已知复数z1i，则z

2() z

1A. 2B.-2C.2iD.-2i

4、由数列1，10，100，1000，„„，猜测该数列的第n项可能是()

A.10nB.10n

1nC.10n1D.11 n

5、设数列{an}的前n项和为Sn，令TnS1S2Sn，称T为数列a，a，„„，a的“理想数”， n12n

已知数列a1，a2，„„，a500的“理想数”为2004，那么数列2， a1，a2，„„，a500的“理想数”为()

A.2008B.2004C.2002D.2000 1,x0(ab)(ab)f(ab)(ab)的值为()

6、设f(x)，则21,x0

A.aB.bC.a, b中较小的数D.a, b中较大的数

*

7、已知数列{an}为等差数列，若a1a,anb(n2,,nN)，则an1nba。类比等差数列的上述 n1

*结论，对于等比数列{bn}(b0,nN*)，若b1c,bnd(n3,nN)，则可以得到bn1a3i8.若为实数，则实数a29i

9.如图所示，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f5

310.若直线ya与函数f(x)x3x的图象有三个不同的交点，则a宁夏回族自治区石嘴山市高中数学复习