函数单调性与导数教案

教案环节内容/特点身体表演与空间互动+理论讲解将“空间尺度、限定与围合方式、光线、材料、建造、场地、结构”等知识点的认知与训练综合地介入教学。今天小编为大家精心挑选了关于《函数单调性与导数教案》，希望对大家有所帮助。

第一篇：函数单调性与导数教案

11-12学年高中数学 1.3.1 函数的单调性与导数同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2

1.3.1

函数的单调性与导数

一、选择题

1.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，则f(x)为R上增函数的充要条件是(　　)

A.b2-4ac>0

B.b>0，c>0

C.b=0，c>0

D.b2-3ac<0

[答案]　D

[解析]　∵a>0，f(x)为增函数，

∴f′(x)=3ax2+2bx+c>0恒成立，

∴Δ=(2b)2-4×3a×c=4b2-12ac<0，∴b2-3ac<0.

2.(2009·广东文，8)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(　　)

A.(-∞，2)

B.(0,3)

C.(1,4)

D.(2，+∞)

[答案]　D

[解析]　考查导数的简单应用.

f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex，

令f′(x)>0，解得x>2，故选D.

3.已知函数y=f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率k=(x0-2)(x0+1)2，则该函数的单调递减区间为(　　)

A.[-1，+∞)

B.(-∞，2]

C.(-∞，-1)和(1,2)

D.[2，+∞)

[答案]　B

[解析]　令k≤0得x0≤2，由导数的几何意义可知，函数的单调减区间为(-∞，2].

4.已知函数y=xf′(x)的图象如图(1)所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y=f(x)的图象大致是(　　)

[答案]　C

[解析]　当0

∴f′(x)<0，故y=f(x)在(0,1)上为减函数

当x>1时xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y=f(x)在(1，+∞)上为增函数，因此否定A、B、D故选C.

5.函数y=xsinx+cosx，x∈(-π，π)的单调增区间是(　　)

A.和

B.和

C.和

D.和

[答案]　A

[解析]　y′=xcosx，当-π

cosx<0，∴y′=xcosx>0，

当00，∴y′=xcosx>0.

6.下列命题成立的是(　　)

A.若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任何x∈(a，b)，都有f′(x)>0

B.若在(a，b)内对任何x都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数

C.若f(x)在(a，b)内是单调函数，则f′(x)必存在

D.若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数

[答案]　B

[解析]　若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错;f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错;f(x)=2在(a，b)上的导数为f′(x)=0存在，但f(x)无单调性，故D错.

7.(2007·福建理，11)已知对任意实数x，有f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时(　　)

A.f′(x)>0，g′(x)>0

B.f′(x)>0，g′(x)<0

C.f′(x)<0，g′(x)>0

D.f′(x)<0，g′(x)<0

[答案]　B

[解析]　f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.

8.f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)≤0，对任意正数a、b，若a

A.af(a)≤f(b)

B.bf(b)≤f(a)

C.af(b)≤bf(a)

D.bf(a)≤af(b)

[答案]　C

[解析]　∵xf′(x)+f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0，

∴f′(x)≤-，即f(x)在(0，+∞)上是减函数，

又0

9.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x-1)f′(x)≥0，则必有(　　)

A.f(0)+f(2)<2f(1)

B.f(0)+f(2)≤2f(1)

C.f(0)+f(2)≥2f(1)

D.f(0)+f(2)>2f(1)

[答案]　C

[解析]　由(x-1)f′(x)≥0得f(x)在[1，+∞)上单调递增，在(-∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，

故f(0)+f(2)≥2f(1).故应选C.

10.(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0)，则导函数y=S′(t)的图像大致为

(　　)

[答案]　A

[解析]　由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.

二、填空题

11.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数，则b的范围为________.

[答案]　b<-1或b>2

[解析]　若y′=x2+2bx+b+2≥0恒成立，则Δ=4b2-4(b+2)≤0，∴-1≤b≤2，

由题意b<-1或b>2.

12.已知函数f(x)=ax-lnx，若f(x)>1在区间(1，+∞)内恒成立，实数a的取值范围为________.

[答案]　a≥1

[解析]　由已知a>在区间(1，+∞)内恒成立.

设g(x)=，则g′(x)=-<0　(x>1)，

∴g(x)=在区间(1，+∞)内单调递减，

∴g(x)

∵g(1)=1，

∴<1在区间(1，+∞)内恒成立，

∴a≥1.

13.函数y=ln(x2-x-2)的单调递减区间为__________.

[答案]　(-∞，-1)

[解析]　函数y=ln(x2-x-2)的定义域为(2，+∞)∪(-∞，-1)，

令f(x)=x2-x-2，f′(x)=2x-1<0，得x<，

∴函数y=ln(x2-x-2)的单调减区间为(-∞，-1).

14.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________.

[答案]　[3，+∞)

[解析]　y′=3x2-2ax，由题意知3x2-2ax<0在区间(0,2)内恒成立，

即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.

三、解答题

15.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1，-11).

(1)求a、b的值;

(2)讨论函数f(x)的单调性.

[解析]　(1)求导得f′(x)=3x2-6ax+3b.

由于f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1，-11)，所以f(1)=-11，f′(1)=-12，

即，

解得a=1，b=-3.

(2)由a=1，b=-3得

f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)

=3(x+1)(x-3).

令f′(x)>0，解得x<-1或x>3;又令f′(x)<0，解得-1

所以当x∈(-∞，-1)时，f(x)是增函数;

当x∈(3，+∞)时，f(x)也是增函数;

当x∈(-1,3)时，f(x)是减函数.

16.求证：方程x-sinx=0只有一个根x=0.

[证明]　设f(x)=x-sinx，x∈(-∞，+∞)，

则f′(x)=1-cosx>0，

∴f(x)在(-∞，+∞)上是单调递增函数.

而当x=0时，f(x)=0，

∴方程x-sinx=0有唯一的根x=0.

17.已知函数y=ax与y=-在(0，+∞)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.

[分析]　可先由函数y=ax与y=-的单调性确定a、b的取值范围，再根据a、b的取值范围去确定y=ax3+bx2+5的单调区间.

[解析]　∵函数y=ax与y=-在(0，+∞)上都是减函数，∴a<0，b<0.

由y=ax3+bx2+5得y′=3ax2+2bx.

令y′>0，得3ax2+2bx>0，∴-

∴当x∈时，函数为增函数.

令y′<0，即3ax2+2bx<0，

∴x<-，或x>0.

∴在，(0，+∞)上时，函数为减函数.

18.(2010·新课标全国文，21)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.

(1)若a=，求f(x)的单调区间;

(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.

[解析]　(1)a=时，f(x)=x(ex-1)-x2，

f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).

当x∈(-∞，-1)时，f′(x)>0;当x∈(-1,0)时，f′(x)<0;当x∈(0，+∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(-∞，-1]，[0，+∞)上单调递增，在[-1,0]上单调递减.

(2)f(x)=x(ex-1-ax).

令g(x)=ex-1-ax，则g′(x)=ex-a.

若a≤1，则当x∈(0，+∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)=0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.

当a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)=0，从而当x∈(0，lna)时g(x)<0，即f(x)<0.

综合得a的取值范围为(-∞，1].

第二篇：1.1.9函数的单调性与最大(小)值教案

§1.1.9函数的单调性与最大(小)值(1)

第一课时 单调性

【教学目标】

1.知识与能力目标

(1)理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义。 (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质.。

(3)理解增区间、减区间等概念，掌握增(减)函数的证明和判别。 2. 过程与方法目标

(1)逐步借助图像、表格、自然语言和数学符号语言，建立增(减)函数的概念。 (2)学生利用定义证明单调性，进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养，借助函数图象的直观性得出函数的最值，

(3)培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力。 3. 情感态度与价值观目标

(1)通过本节课的教学，启发学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好习惯. (2)通过问题链的引入，激发学生学习数学的兴趣;学生通过积极参与教学活动，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习的信心。 【教学重点难点】

重点：函数的单调性和最值及其几何意义.

难点：增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性 【教学过程】 导入新课

如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

图1-3-1-8 随x的增大，y的值有什么变化? 引导学生回答，点拨提示，引出课题. 设计意图:创设情景，引起学生兴趣. 推进新课 新知探究 提出问题

问题①:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x2,y=化规律. 如图1-3-1-9所示:

1的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变x 1

图1-3-1-9 问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知. 问题③:如图1-3-1-10是函数y=x+和减函数吗?

2(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数x

图1-3-1-10 设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性. 问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x2在[0,+∞)上为增函数?

设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫. 问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗? 设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识. 活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化(单调性)是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质. 问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识. 学生的困难是难以确定分界点的确切位置. 问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究. 问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x

1、x2. 问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义. 归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D上是增(减)函数，那么在区间D上的图象是上升的(下降的). 2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数. 讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y随x的增大而增大;函数y=-x+2，在整个定义域内y随x的增大而减小.(2)函数y=x2，在[0,+∞)上y随x的增大而增大，在(-∞,0)上

2 y随x的增大而减小.(3)函数y=

1，在(0,+∞)上y随x的增大而减小，在(-∞,0)上y随x的增x大而减小. ②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数;如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数. ③不能. ④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x2在[0,+∞)上为增函数. (2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x2在[0,+∞)上为增函数. (3)任取x

1、x2∈[0,+∞),且x1

例1课本P29页例1. 思路分析：利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答. 点评：本题主要考查函数单调性的几何意义. 图象法求函数单调区间的步骤: ①画函数的图象;

②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间. 图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法. 答案：略. 变式训练

课本P32练习4. 例2课本P32页例2. 思路分析：按题意，只要证明函数p=

k在区间(0，+∞)上是减函数即可，用定义证明. V点评：本题主要考查函数的单调性. 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：(定义法) ①任取x

1、x2∈D，且x1

③变形(通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);

⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). 易错分析：错取两个特殊值x

1、x2来证明. 答案：略. 变式训练

判断下列说法是否正确： ①已知f(x)=1,因为f(-1)

3 11在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数，所以f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是xx活动：教师强调以下三点后,让学生判断. 1.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. 2.有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数). 3.函数在定义域内的两个区间A、B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A∪B上是增(或减)函数. 答案：这四个判断都是错误的. 思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即可.也就是说，只要找到两个特殊的自变量，不符合定义就行. 知能训练

课本P32练习2. 拓展提升 试分析函数y=x+1的单调性. x活动：先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明. 答案：略. 课堂小结

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结. (1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性. (2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论. (3)数学思想方法：数形结合. (4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的. 【作业】

:课本P39习题1.3A组

2、

3、4 【反思】

第三篇：利用导数求函数的单调性解读

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利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性：

1.f(x)axax(a0且a1);

2.f(x)loga(3x25x2)(a0且a1); 3.f(x)bx(1x1,b0). 2x1分析：利用导数可以研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f(x)，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号，来确定函数f(x)在该区间上的单调性.当给定函数含有字母参数时，分类讨论难于避免，不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同，应注意分类讨论的准确性.

解：

1.函数定义域为R.

f(x)axlnaaxlna(x)lna(axax).

当a1时，lna0,axax0,f(x)0. ∴函数f(x)在(,)上是增函数. 当0a1时，lna0,aaxx0,f(x)0.

∴函数f(x)在(,)上是减函数. 2.函数的定义域是x1或x2. 3f(x)logae(6x5)logae2(3x5x2)

3x25x2(3x1)(x2)1时，logae0,6x50,(3x1)(x2)0， 3①若a1，则当x∴f(x)0，∴函数f(x)在，上是增函数;

当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是减函数 ②若0a1，则当x131时，f(x)0， 3∴函数f(x)在，上是减函数; 13清华园教育网

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当x2时，f(x)0，∴函数f(x)在,2上是增函数 3.函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在(0，1)上的单调性

x(x21)x(x21)当0x1时，f(x)b 22(x1)b(x21)

2

(x1)2若b0，则f(x)0，函数f(x)在(0，1)上是减函数; 若b0，则f(x)0，函数f(x)在(0，1)上是增函数.

又函数f(x)是奇函数，而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性.所以当b0时，函数f(x)在(-1，1)上是减函数，当b0时，函数f(x)在(-1，1)上是增函数. 说明：分类讨论是重要的数学解题方法.它把数学问题划分成若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了.在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号，否则会产生错误判断.

分类讨论必须给予足够的重视，真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提高简化计算能力.

利用导数求函数的单调区间

例

求下列函数的单调区间： 1.f(x)x2x3; 2.f(x)2xx2; 3.f(x)x42b(b0). x分析：为了提高解题的准确性，在利用求导的方法确定函数的单调区间时，也必须先求出函数的定义域，然后再求导判断符号，以避免不该出现的失误.

4解：1.函数f(x)的定义域为R，f(x)x4x4(x1)(x1)x

令f(x)0，得1x0或x1.

∴函数f(x)的单调递增区间为(-1，0)和(1,); 令f(x)0，得x1或0x1，

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∴函数f(x)的单调递减区间为(,1)和(0，1). 2.函数定义域为0x2.

f(x)(2xx2)22xx21x2xx2.

令f(x)0，得0x1. ∴函数f(x)的递增区间为(0，1); 令f(x)0，得1x2，

∴函数f(x)的单调递减区间为(1，2). 3.函数定义域为x0,f(x)1b1(xb)(xb). 22xx令f(x)0，得xb或xb.

∴函数f(x)的单调递增区间为(,b)和(b,); 令f(x)0，得bxb且x0，

∴函数f(x)的单调递减区间是(b,0)和(0,b).

说明：依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性和运动性.解决这类问题，如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间，运算显得繁琐，区间难以找准.学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增(或递减)区间写成并集的形式，如将例1函数f(x)的单调递增区间和递减区间分别写成(1,0)(1,) 和(,1)(0,1) 的错误结果.这里我们可以看出，除函数思想方法在本题中的重要作用之外，还要注意转化的思想方法的应用.

求解析式并根据单调性确定参数

例

已知f(x)xc，且f[f(x)]f(x1). 1.设g(x)f[f(x)]，求g(x)的解析式;

2.设(x)g(x)f(x)，试问：是否存在实数，使(x)在,1内为减函数，且在(-1，0)内是增函数.

分析：根据题设条件可以求出(x)的表达式，对于探索性问题，一般先对结论做肯定

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存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，由推证结果是否出现矛盾来作出判断.解题的过程实质是一种转化的过程，由于函数(x)是可导函数，因此选择好解题的突破口，要充分利用函数的单调性构造等价的不等式，确定适合条件的参数的取值范围，使问题获解.

解：1.由题意得f[f(x)]f(x2c)(x2c)2c，

f(x21)(x21)2c.f[f(x)]f(x21)，

∴(x2c)2c(x21)2c,x2cx21,c1. ∴f(x)x21,g(x)f[f(x)]f(x21)(x21)21. 2.(x)g(x)f(x)x4(2)x2(2). 若满足条件的存在，则(x)4x32(2)x.

∵函数(x)在,1内是减函数，∴当x1时，(x)0， 即4x32(2)x0对于x(,1)恒成立. ∴2(2)4x2,x1,4x24. ∴2(2)4，解得4.

又函数(x)在(-1，0)上是增函数，∴当1x0时，(x)0 即4x2(2)x0对于x(1,0)恒成立， ∴2(2)4x,1x0,44x0. ∴2(2)4，解得4.

故当4时，(x)在,1上是减函数，在(-1，0)上是增函数，即满足条件的存在.

说明：函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式，它包含着运动、变化，也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系.因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径，具体到解题的过程，学生很大的思维障碍是迷失方向，不知从何处入手去沟通已知与未知的关系，使分散的条件相对集中，促成问题的解决.不善于应用f(x)a恒成立[f(x)]maxa和f(x)a恒成立[f(x)]mina，究其原因是对函数的思想方法理解不深.

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利用导数比较大小

例

已知a、b为实数，且bae，其中e为自然对数的底，求证：ab. 分析：通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法.根据题目自身的特点，适当的构造函数关系，在建立函数关系时，应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数，一般地，证明f(x)g(x),x(a,b)，可以等价转化为证明F(x)f(x)g(x)0，如果

baF(x)0，则函数F(x)在(a,b)上是增函数，如果F(a)0，由增函数的定义可知，当x(a,b)时，有F(x)0，即f(x)g(x).

解：证法一：

bae，∴要证abba，只要证blnaalnb，

设f(b)blnaalnb(be)，则f(b)lnaa. bbae，∴lna1，且

a1，∴f(b)0. b∴函数f(b)blnaalnb在(e,)上是增函数. ∴f(b)f(a)alnaalna0，即blnaalnb0， ∴blnaalnb,ab.

证法二：要证ab，只要证blnaalnb(eab)， 即证babalnalnblnx1lnx(xe)，则f(x)0， ，设f(x)2abxx∴函数f(x)在(e,)上是减函数. 又eab,f(a)f(b)，即

lnalnb,abba. ab说明：“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造;二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合.解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论.

判断函数在给定区间上的单调性

例

函数ylog1121在区间(0,)上是(

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A.增函数，且y0

B.减函数，且y0

C.增函数，且y0

D.减函数，且y0

分析：此题要解决两个问题：一是要判断函数值y的大小;二是要判断此函数的单调性. 解：解法一：令u11，且x(0,),u1， x则ylog1u0，排除A、B.

2由复合函数的性质可知，u在 (0,)上为减函数.

又ylog1u亦为减函数，故ylog11221排除D，选C. 在 (0,) 上为增函数，

x解法二：利用导数法

y11log1e2log2e0 1xx(1x)21x1(x(0,))，故y在(0,)上是增函数. 由解法一知y0.所以选C.

说明：求函数的值域，是中学教学中的难关.一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以用函数的单调性求出最大、最小值等(包括初等方法和导数法).对于复合函数的单调性问题，简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断，但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的.

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第四篇：高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性教学设计1 苏教版选修2-2

1.3导数在研究函数中的应用

教学目标：

1、知识与技能目标：通过实例，借助图形直观探索并了解导数与函数单调性的关系，理解并掌握利用导数研究函数的单调性以及求解函数单调区间;

2、过程与方法目标：会用导数研究函数单调性，并会用导数求解函数单调区间;

3、情感态度与价值观目标：探究导数与函数单调性关系的过程中培养学生数形结合思想和从特殊到一般的数学思想，以及发现问题、解决问题的能力。 教学重点：利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间; 教学难点：发现和揭示导数值的符号与函数单调性的关系; 教学方法与手段：探究式教学模式;利用多媒体现代设备教学 教学过程：

一、 复习回顾：

我们知道平均变化率可以刻画函数的变化趋势，大家还记得 问题1：函数yfx在区间x1,x2上平均变化率的数学表达式吗?

fx2fx1生1：(教师板书)，

x2x1师：那你能给出这个二次函数fxx4x3在x1,x2上的平均变化率吗?

2问题2：导数的概念和它的几何意义?

生2：x2x1时，fx2fx1fx1(教师板书)

x2x1师：这个导数又有什么几何意义?

生2：曲线yfx在点x1,fx1处切线的斜率

师：这个二次函数fxx4x3，它对应的fx1又是什么?

2生3：fx12x14

师：今天我们一起来学习导数在研究函数中的应用，导数作为函数变化率比较精确地刻画了函数的变化趋势，(板书“导数在研究函数 中的应用”)

二、建构数学 师：观察二次函数fxx24x3图象，请大家给出在对称轴左右两侧函数的变化趋势 生：对称轴x2左边下降趋势，对称轴x2右边上升趋势，

师：也就是在,2为减函数，在2,为增函数，这也是函数的单调性 师：你是怎样判断函数单调性的? 生：图象法(教师板书)

师：我们曾经还学习过判断函数单调性还有什么方法? 生：定义法(教师板书) 问题3：那函数单调性定义又是什么?

生：函数yfx的定义域为A，区间IA，任取x1,x2I，当x1x2时，fx1fx2，则yfx在区间I上是单调增函数; fx1fx2，则yfx在区间I上是单调减函数。

师：回答的非常好!请大家用定义法证明二次函数fxx4x3在2, 为增函数

2生： x1,x22,，不妨设x1x2，则fx2fx1x2x1x1x240，所以fx1fx2，所以函数在2,为增函数。

问题4：大家注意观察，从形式上你发现定义法和平均变化率对应的两式之间有关系吗?

f(x2)f(x1)x1x24，f(x2)f(x1)x2x1x1x24

x2x1生：有关系

师：说的很好!我们发现平均变化率与定义法之间存在某种密切的关系

问题5：当自变量的改变量无限趋近于0时平均变化率无限趋近于导数，而定义法可以判断函数的单调性，大家发现了什么?

生：导数与单调性之间可能也有关系

师：说的太好了!同学们发现了导数与函数单调性之间可能也有着某种密切的关系，这个问题的发现是很非常了不起的，那今天我们就来学习导数在研究函数的单调性中的应用。(教师补全课题)

问题6：导数与单调性之间究竟什么关系?

师：请大家结合切线斜率来观察这个二次函数fxx4x3在对称轴左右两侧导数值有

2什么不同特点?切线在对称轴左侧移动时，观察导数值特点并记录你所观察到的结果，切线在对称轴右侧移动时，同样也观察导数值特点并记录你的观察结果。

yfxx24x3x

生： 在区间,2上， fx0函数在该区间为减函数;

在区间2,上， fx0函数在该区间为增函数。(教师板书) 师：我们通过图形直观观察得出结论，请大家回到导数定义中来，

o2fx2fx1不妨假设x1x2，x2x1时，fx12x14

x2x1问题7：你能从“数”的角度解释为什么在2,上，fx0得到在该区间为增函数?

生：小组交流讨论 教师点评归纳：

不妨设x1x2，当x2x1时，

fx2fx1x1x24fx12x14，

x2x1fx2fx10，所以 fx2fx1，

x2x1若fx10，得到x12， x1x240，得到在2,为增函数。

师：对于这个二次函数我们体会到平均变化率、定义法、导数、单调性四者密切相关，通过这四者之间的关系，我们从图形直观观察得到结论，又结合导数定义从“数”的角度解释了结论，做到了数形的完美结合。更一般地，我们也可以用导数值的符号来判断函数的单调性，你能归纳出一个一般性的结论吗? 生：对于函数yfx，

在某个区间上fx0函数在该区间上为增函数; 在某个区间上fx0函数在该区间上为减函数

师：归纳的很好!这样大家便有了一种研究函数单调性新的方法——导数法。尤其对于那些很难作出图象，或者用定义法也很难判断单调性的函数，我们就可以选择导数法(板书)。

三、数学运用：

例1：用导数法确定函数fxx2x3在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数?

2解：fx2x2，

令fx0，解得x1，即在区间,1上为增函数

令fx0，解得x1，即在区间1,上为减函数(教师板书) 师：结合这道例题，你能归纳出利用导数求解函数单调区间的主要步骤吗? 生：回答 教师点评步骤：

(1)求导数fx;(2)解fx0和fx0;(3)写出单调区间。最后不忘函数定义域

四、课堂练习：

例2：用导数法确定函数fx2x6x7在哪些区间上是增函数?在哪个区间上是减函数?

32(请学生板演)

解：fx6x12x6x(x2) 2令fx0，解得x0或x2，令fx0，解得0x2， 因此函数在,0和2,上为增函数，在0,2上为减函数

教师追问：你能根据函数单调性在演练纸上作出反映三次函数fx2x36x27单调性变化趋势的简图吗?(实物投影学生演练纸)

生：解释怎样做出函数简图：(1)找导函数零点;(2)分区间;(3)由单调性作图

师：我们利用导数值的符号来研究了函数的单调性，体会到导数法可以作为研究函数单调性的一般方法，那对于这个结论请大家思考：

问题8：若函数fx在某个区间单调递增，那么在该区间上必有fx0吗?大家请结合函数fxx3来思考

生：fx3x2，发现 f00

师：由此看来若函数fx在某个区间单调递增，那么在该区间上不一定有fx0。 师：通过这节课的学习，你学习了哪些知识?体会了哪些数学思想?

五、回顾小结：

生1： 学习到利用导数值的符号来判断函数的单调性，及利用导数求解函数的单调区间; 生2：在探究导数与函数单调性之间的关系时，通过图形直观观察，体会到了数形结合的数学思想和特殊到一般的数学思想。

师总结归纳：平均变化率、定义法、导数、单调性四者密切相关，通过四者关系我们得到了一个结论，学习了判断函数单调性新的方法—导数法，在探究这个结论的过程中，以一个二次函数为例，先从图形直观观察得出结论，然后结合导数定义从“数”的角度解释结论，最后将结论一般化，渗透了两种思想：数形结合、研究问题从特殊到一般，利用导数求解函数单调区间时把握三个主要步骤“一求，二解，三写”最后不忘定义域，利用导数研究函数单调性是非常重要的，为后面用导数研究函数的极值、最值打下基础，对后续学习非常重要。

六、课外作业：

1、课本29页第1题(必做题)

2、课本29页第3题(选做题)

第五篇：函数的单调性教案

数学必修一

§1.3.1函数的单调性

姓名：吴志强

班级：统计08-2班 院系：数学与统计学院

学号：08071601021 §1.3.1函数的单调性

一、 教学目标

1) 通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数性质 2) 理解函数单调性的定义及单调函数的图像特征

3) 能够熟练的应用定义判断函数在某一区间的单调性

4) 通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质

二、 教学重点

函数单调性的定义及单调函数的图像特征

三、 教学难点

利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性

四、 教学与学法

启发式教学，充分发挥学生的主体作用

五、 教学过程

(一) 引入

如图为某地区2012年元旦这一天24小时内的气温变化图，

教师提问：在0点到4点，气温随着时间的推移是怎么变化的?在4点到14点，气温随着时间的推移又是怎么变化的?

教师指出：上面两种现象都是单调性现象。那么，在数学上我们如何定义函数的单调性呢?

(二) 作出下列函数的图像

 图像1 y2x1在R上，y随x的增大而增大，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)(左到右为上升)称为增函数

 图像2 y2x1在R上，y随x的增大而减小，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)(左到右为下降)称为减函数  图像3

yx2以对称轴，左侧下降，右侧上升

在(,0]上，y随x的增大而减小，得出函数在此区间为减函数 在(0,]上，y随x的增大而增大，得出函数在此区间为增函数

问：如何用数学语言来描述增函数与减函数呢? 以yx2为例，在(0,]上任取x1，都有x1x2

22、

x2，则

f(x1)x12，

f(x2)x22，对任意的0x1x2xx2，所以在区间(0,]上，对任意的1都有f(x1)f(x2)2，即yx在(0,]上，当x增大时，函数值f(x)相应随之增大，得出yx2在(0,]上为增函数

2在区间(,0]上同理推得yx

(三)定义

为减函数

一般的设函数f(x)的定义域为I

a) 如果对于定义域I内某一区间D上任意两个自变量的值

1、2，当都有f(x1)f(x2)xxx1x2时，

，那么说函数f(x)在区间D上为增函数

xxx1x2b) 如果对于定义域I内某一区间D上任意两个自变量的值

1、2，当都有

f(x1)f(x2)时，

，那么说函数f(x)在区间D上为减函数

(四)单调性、单调区间定义：

如果函数yf(x)在这一区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这区间具有(严格的)单调性，区间D为yf(x)的单调区间

(五)举例

例

1、如图，yf(x)在定义在[5,5]的函数，根据图像说出函数的单调区间，以及每一单调区间上它为增函数还是减函数。

解：单调区间[5,2],[2,1],[1,3],[3,5]

[5,2],[1,3]为减函数，[2,1],[3,5]为增函数

注意：

a) 书写时，区间与区间用逗号隔开，不能用“”链接

b) 对于孤立点，没有单调性，所以区间端点处如有定义，写开闭均可 c) 函数为增函数、减函数是对定义域内某一区间而言的

例

2、证明f(x)2x3在R上为单调减函数 证明：

设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(-2x1+3)-(-2x2+3)=-2(x1-x2)x1x2　　x1x20　　　-2(x1x2)0f(x1)f(x2)0　　　　即f(x1)f(x2)函数f(x)2x3在R上为单调减函数

小结：证明函数单调性的步骤 a) 设值，设任意的

1、b) 作差变形，xx2

，且

x1x2

f(x1)-f(x2)变形常用的方法有：因式分解、配方、有理化等

的正负 c) 判断差符号，确定

f(x1)-f(x2)d) 下结论，由定义得出函数的单调性

(六)课堂练习 证明f(x)x在[0,+]是增函数证明：设x1,x2[0,+),且x1x2则f(x1)-f(x2)=x1-x2=x1-x21(x1-x2)(x1(x1x20x2)x2)x1-x2x1+x2　　(对分子有理化详细讲解)又0x1

给学生时间做P32　　练习4

解： 设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2， 则f(x1)-f(x2)=(-2x1+1)-(-2x2+1)=-2(x1-x2)　x1x2　　x1x20　　　-2(x1x2)0　f(x1)f(x2)0　　　　即f(x1)f(x2)　函数f(x)2x1在R上为单调减函数

(七)课堂小结

a) 增函数、减函数的定义 b) 图像法判断函数的单调性

(由左到右上升，为增函数，由左到右下降，为减函数) c) 证明单调函数的步骤

(设值…………作差变形………….判断差符号………..下结论………..)

(八)作业

P39　习题

1、　3　　A　组

1、题2

判断函数f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论;如果x∈(0，+∞)，函数f(x)是增函数还是减函数?