第五章机械能教案

作为一位优秀的人民教师，总归要编写教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。那么问题来了，教案应该怎么写？以下是小编帮大家整理的《第五章机械能教案》，希望对大家有所帮助。

第一篇：第五章机械能教案

九年级科学上册 第五章《简单机械》教学案

简单机械

【知识梳理】 杠杆

1.杠杆的概念：一根在力的作用下能绕固定点转动的硬棒叫杠杆。

2.杠杆的五要素：支点(O，杠杆绕着转动的固定点)、动力(F1，使杠杆转动的力)、阻力(F2 ， 阻碍杠杆转动的力)、动力臂(l1,支点到动力作用线的距离)和阻力臂(l2，支点到阻力作用线的距离)。

3.杠杆的平衡条件

(1)研究杠杆平衡条件的实验注意点：先调节平衡螺母使杠杆在水平位置平衡以便于测量力臂;多次实验以排除实验的偶然性;弹簧秤倾斜时，力臂变小了，不能仍然用支点到力点的距离表示力臂，等等。

(2)实验结果及杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，即F1l1F2l2

4.三类杠杆及其实质

(1)省力杠杆：实质是动力臂大于阻力臂的杠杆。省力杠杆的特点是省力但费距离。常见的省力杠杆有道钉撬、撬棒、羊角锤、钢丝钳、老虎钳、扳手、汽水瓶盖起子、翻斗车等。

(2)费力杠杆：实质是动力臂小于阻力臂的杠杆。费力杠杆特点是费力但省距离。常见的费力杠杆有筷子、镊子、钓鱼杆、缝纫机脚踏板、理发剪刀、吊车的撑杆等。 (3)等臂杠杆：实质是动力臂等于阻力臂的杠杆。等臂杠杆的特点是既不能省力又不能省距离。常见的等臂杠杆有定滑轮、天平等。

二、滑轮 1.定滑轮

定滑轮的实质是等臂杠杆。其特点是不能省力但能改变动力的方向。不考虑摩擦和绳重时(理想条件)：F=G物。 2.动滑轮

动滑轮的实质是动力臂是阻力臂两倍的省力杠杆、动滑轮的特点是能够省力但费距离、不能改变动力的方向，

F不考虑摩擦和绳”、动滑·重时，拉力等于物重的一半，即：

1G物2。

若不考虑摩擦和绳重而只考虑滑轮重时，拉力等于物体和滑轮总重的一半，即：F1(G物G动)2

3.滑轮组

滑轮组是定滑轮和动滑轮的组合装置。其特点是既能省力又能(不是一定)改变力的方向，

F若不考虑摩擦和绳重、动滑轮重时，自由端的拉力与物重的关系：的绳子股数)。

1G物n(n为分担物重

F若不考虑摩擦和绳重但要考虑动滑轮重时，存在下列关系式：

1(G物G动)2

4.滑轮组的缆绳方法：确定n后，遵循“偶定奇动”的原则(即当n为偶数时，绳子的起始端为定滑轮。当n为奇数时，绳子的起始端应为动滑轮)确定起始端，从内往外绕;自由端确定 1

的话。也可从外往内绕。

注意点：对于滑轮组要注意关注绳子股数n水平方向使用滑轮组时，要能够转换或换位，

三、斜面

如图所示的斜面模型，也是一种常见的简单机械。当斜面光滑时，斜面的

坡度越平坦越省力，但路程越长。

若不考虑摩擦阻力的影响，到拉力所做的功等于克服重力所做的功，即有

下列关系：FLGh;

若考虑存在摩擦阻力f，则拉力所做的功等于克服重力和摩擦阻力所做的总功，即存在下列关系：FLGhfL

【典型例题】

考点一 杠杆的五要素 例1 1.如图中的皮划艇运动员一手支撑住浆柄的末端，另一手用力划桨，此时的船桨可看作是一个杠杆.下图中的船桨模型中最合理的是(

)

A. B.

C. D.

考点二 杠杆的力臂和平衡条件的应用分析

例2 (2009•澄海区模拟)A、B是一根可绕O轴在竖直面内自由转动的木棒，如图所示用一始终与木棒垂直的力F将木棒从竖直位置缓慢拉至水平位置，则力F(

)

A.大小不变 C.逐渐变大

B.逐渐变小 D.先变大，后变小

考点三 滑轮组的相关计算

例3 (2012•乌兰察布)如图所示，用三种方法拉动同一物体在相同的水平地面上做匀速直线运动，使物体以相等速度移动相同的距离.所用拉力分别是F

1、F

2、F3，这三个力的作用点移动距离分别是S

1、S

2、S3，移动速度分别为V

1、V

2、V3，不计滑轮摩擦，则(

)

A.F1：F2：F3=2：1：4 S1：S2：S3=2：1：4 B.F1：F2：F3=2：1：4 S1：S2：S3=2：4：1 C.F1：F2：F3=2：4：1 V1：V2：V3=2：1：4 D.F1：F2：F3=2：1：4 V1：V2：V3=2：4：1

【实验探究】

例 (2010•丰台区一模)如图所示，A为直立固定的水管，底部活塞B与水管接触良好且无摩擦，其中装入适量的水，水不会流出，活塞与水管壁间没有摩擦.活塞通过竖直硬杆与轻质杠杆OCD的C点相连，O为杠杆的固定转轴.一个滑轮组，其自由端与杠杆的D点相连.滑轮组下面挂着一个重为G的物体E.当水对活塞的压强为4×103Pa时，杠杆在水平位置平衡.已知OC：CD=1：2，活塞B的横截面积为30cm2，活塞与硬杆总重为3N.动滑轮自重为2N.不计绳重和摩擦. 求：(1)容器中水受到的重力; (2)物体E的质量.(g=10N/kg)

【牛刀小试】

1.(2013•自贡)如图所示，一根粗细均匀的铁棒AB静止在水平地面上，现用力F将铁棒从水平地面拉至竖直立起.在这个过程中，力F作用在B端且始终与铁棒垂直，则用力F将(

) A.逐渐变大 C.保持不变

B.逐渐变小 D.先变小后变大

2.(2013•扬州)下列机械或工具的使用，属于费力杠杆的是(

)

A.羊角锤 B.筷子

C.起瓶器

D

独轮车

.

3.如图所示，在水平拉力F的作用下重100N的物体A，沿水平桌面做匀速直线运动，弹簧测力计B的示数为10 N，则物体A与水平桌面的摩擦力大小为(

) A.100N B.50N

C.20N

D.10N

(2013•玉林)下面是小王利用刻度均匀的匀质杠杆进行探究“杠杆的平衡条件”的实验.(每个钩码重0.5N)

(1)实验前，将杠杆的中点置于支架上，当杠杆静止时，发现杠杆左端下沉，这时应将平衡螺母向_____(选填“左”或“右”)端调节，直到杠杆在水平位置平衡. (2)如图1所示，①在杠杆A点处挂4个钩码，则在B点处应挂____个同样的钩码，杠杆仍然在水平位置平衡. ②把B点处的钩码取下，在B点处施加一个竖直向下的拉力F=____N时，杠杆仍然在水平位置平衡.当拉力F向右倾斜时，仍要保持杠杆在水平位置平衡，拉力F的大小将_____(选填“变大”、“变小”或“不变”).原因是_____________________________. (3)如果小王又进行了如图2所示的探究，考虑杠杆的_______影响，发现用弹簧测力计在C点竖直向上拉使杠杆仍然处于水平位置平衡时，则弹簧测力计的示数应____3N(选填“大于”、“小于”或“等于”).

【高手过招】

1.(2013•黄冈)李华同学利用如图装置提起水中的物块，下列判断正确的是(

)

A.装置中的滑轮是定滑轮 B.装置中的AOB是省力杠杆 C.装置的机械效率可以达到100% D.物块上表面露出水面前，所受浮力不断减小

2.(2013•潍坊)如图所示，活塞式抽水机手柄可以看作是绕O点转动的杠杆，它在动力F1和阻力F2的作用下，处于平衡状态，则(

)

A.F1•OC=F2•OA C.F1•OE=F2•OA

B.F1•OD=F2•OB D.F1•OE=F2•OB

3.(2013•巴中)如图所示，杠杆始终在水平位置平衡，作用在杠杆B点的力在位置1时为F1，在位置2时为F2.则F1与F2的大小关系是(

) A.F1

C.F1>F2

D.无法判断

4.室内垃圾桶平时桶盖关闭不使垃圾散发异味，使用时用脚踩踏板，桶盖开启，根据室内垃圾桶的结构示意图，可确定桶中有两个杠杆在起作用，两杠杆支点为O

1、O2.则对应的杠杆分别是(

)

A.省力杠杆 省力杠杆 C.费力杠杆 费力杠杆

B.省力杠杆 费力杠杆 D.费力杠杆 省力杠杆

5.(2013•宜宾改)如图所示，用10N的水平拉力F拉滑轮，使足够长的物体A以0.2m/s的速度在水平地面上匀速运动，弹簧测力计的示数为3N.若不计滑轮重、弹簧测力计重、绳重和滑轮摩擦，则下列说法中正确的有(

)

A.B受到的摩擦力为3N，方向水平向左 B.滑轮移动的速度为0.4m/s C.物体A受到地面的摩擦力为8N D.在运动过程中若将拉力F增大到12N，弹簧测力计的示数仍为3N

6.(2010•黄冈)如图ABCD所示是使用简单机械匀速提升同一物体的四种方式(不计机械自重

和摩擦)，其中所需动力最小的是(

)

A. B.

C.

D.

7.(2012•徐州三模)如图所示，质量为m=60kg的人站在轻质木板的O点上，木板可以绕B端上下转动，OA=2OB.要使木板静止于水平位置，人拉轻绳的力为______N，人对木板AB的压力为_____N(摩擦阻力不计,g取10N/kg).

8.如图所示，有一粗细均匀，重为40N，长为4m的长木板AB，置于支架上，支点为O，且AO=1m，长木板的右端用绳子系住，绳子另一端固定在C处，当长木板AB水平时，绳与水平成30°的夹角，且绳子所能承受的最大拉力为60N.一个质量为5kg的体积不计的滑块M在F=10N的水平拉力作用下，从AO之间某处以v=1m/s的速度向B端匀速滑动，求：(g=10N/kg) (1)滑块匀速运动时所受的摩擦力的大小; (2)滑块在什么范围内滑动才能使AB保持水平.

【华山论剑】

1.(2010•玉溪)如图是胖子和瘦子两人用滑轮组锻炼身体的简易装置(不考虑轮重和摩擦).使用时： (1)瘦子固定不动，胖子用力FA拉绳使G匀速上升. (2)胖子固定不动，瘦子用力FB拉绳使G匀速上升. 下列说法中正确的是(

)

A.FA

B.FA>FB D.以上说法都不对

2.倒链(又称神仙葫芦)是一种简单的起重用具，它由滑轮组组成(如图所示)，A、B为同轴并一起转动的定滑轮，半径分别为R1和R2，R1稍大于R2;C为动滑轮，其半径为r.它们之间用铁链按图中所示的方式连接起来.当用力F拉一侧铁链使定滑轮转动时，套在A上的铁链使挂在C上的重物上升，与此同时，套在B上的铁链被放下，使重物下降(图中虚线箭头表示铁链运动方向). 转动一周时，其总效果使重物上升的距离为多少?

若重物所受重力为G，则使重物缓慢匀速上升时，拉力F的大小至少应为多少?

3如图所示，一把粗细均匀的木尺，置于盛水的杯上，恰好静止，此时木尺露出杯外部分与浸入水中部分长度相等，且均为木尺长度的四分之一，求木尺的密度.

4.古代起重的一种辘轳如图所示.轴的大半径为R=30cm，小半径为 r=20cm，摇把离轴中心为L=50cm.若不计摩擦，滑轮，辘轳的重力的影响，要提升一重为G=500N的重物，则摇把上的力F至少多少?

5.(2013•贵港)A、B、C是由密度为ρ=3.0×103kg/m3的某种合金制成的三个实心球.A球的质量mA=90g;甲和乙是两个完全相同的木块，其质量m甲=m乙=340g;若把B和C挂在轻质杠杆两端，平衡时如图1所示，其中MO：ON=3：1.若用细线把球和木块系住，放入底面积为400cm2的圆柱形容器中，在水中静止时如图2所示.在图2中，甲有一半体积露出水面，乙浸没水中(水的密度为1.0×103kg/m3，g取10N/kg，杠杆、滑轮与细线的质量以及它们之间 7

的摩擦忽略不计).

(1)甲木块的体积是多少? (2)求B和C的质量各为多少kg? (3)若将A球与甲相连的细线以及C球与B球相连的细线都剪断，甲和乙重新静止后，水对容器底部的压强变化了多少?

第二篇：中国农业大学农业机械化生产学第五章 棉花和花生生产机械化

第五章

1.棉花机械化栽培的要求是什么?

2.棉花机械化生产的工艺过程?

3.棉花机械化收获包括哪几个主要环节?试加以说明。

4.试述滚筒式水平摘锭采棉机的工作过程。

5.试述垂直摘锭采棉机的工作过程。

6.试述气吸振动式采棉机的工作工程。

7.轧花机包括几种类型?试述毛刷式锯齿轧花机的工作原理。

8.棉籽剥绒的方法有几种?列举3种机具。

9.花生机械收获的工艺过程是什么?

10.简述花生挖掘与捡拾机械的工作原理。

第三篇：第五章 成本理论教案

第五章 成本理论 §5-1 成本的概念 §5-2 短期成本理论 §5-4 收益及利润最大化

了解会计成本和机会成本的含义及区别。

掌握短期成本的概念、分类及利润最大化原则，短期各种成本线的由来、作图及相互关系。

5.1 成本的概念 P104 成本：在西方经济学中，成本是指以货币支出来衡量的从事某项经济活动所必须支付的代价。 成本又称是对象化的生产费用。

经济学上的成本：实际上就是购买各种生产要素(劳动、资本、自然资源、企业家才能)所支出的一切费用的总和。即工资、利息、地租和正常利润。 5.1.1. 机会成本

机会成本：厂商将一定资源用作某种用途时所放弃的其他各种用途中所能得到的最大收入。 理解：

①机会成本不同于实际成本。

②机会成本是作出一种选择时所放弃的其他若干种可能的选择中最好的一种。主要用于决策(即方案选择)

西方经济学中，企业的生产成本应该从机会成本的角度来理解。 上大学的机会成本：大学学位的机会成本是什么?让我们来看一看，一个学生在大学里呆了3年，每年支付五千元的学费与书费。上大学的部分机会成本，是该学生可用于购买其他商品但又不得不用于学费与书费的1.5万元。如果该学生不上大学，而是到一家公司做职员，每年的薪金为1万元，那么，在大学里所花费的时间的机会成本是3万元。因而，该学生的大学学位的机会总成本为4.5万元。

那么，你关于上大学的决策又意味着什么呢?大学学位可以提高我们的赚钱能力，因而我们还是可以从中获益的。为了做出是否上大学的明智的决策。你必须比较收益与机会成本。

5.1.2 显性成本与隐性成本

1、显性成本——会计成本

指企业从事一项经济活动时所花费的货币支付。

例如：企业向工人支付的工资，向银行支付的利息，向土地出租者支付的租金，购买原材料的支出，保险费，广告费，税金等。

思考：如果企业为雇用某技术工人小A愿意出的工资为2000元/月，而小A到其他企业工作的最高收入为3500元/月。企业能雇用到小A吗? 显成本至少应等于要素所有者出售或出租该要素的机会成本

2. 隐性成本

指生产者使用自有资源所花费的成本。

例如：使用自有资金应得的利息，亲自管理企业应得的报酬，使用自有房产应得的房租等。 隐性成本至少应等于使用自有资源的机会成本。

例如：小B有一个商铺，可以出租，可以自用，出租的收益为5万元/年。那么，小B自己使用该商铺的隐性成本为多少?

思考：使用自有资金10万元的隐性成本如何确定? 企业的总成本(经济成本)= 显性成本 +隐性成本 例：小C自己经营一个玩具店，店面租金每月1000元;进货总额3000元/月;雇用一个店员，每月工资800元;小C将自己的储蓄1万元投入了经营中，银行同期月存款利率为3%。有公司愿出4000元/月高薪雇用小C。问：该玩具店每月的显性成本、会计成本、隐性成本和经济成本分别是多少? 5.1.3 私人成本和社会成本

私人成本:生产一定量的产品生产企业所承担的成本。

社会成本:生产一定量的产品从整个社会而言所承担的成本。 例如：一造纸厂生产一吨纸的生产成本是15000元，但是因为排放废水废气每生产一吨纸给周围粮食产量造成的损失是2000元，给周围居民健康损害是3000元。

问(1)其生产的社会成本和私人成本是多少?

(2)当社会成本大于私人成本时如何解决? 5.2 短期成本函数

5.2.1 短期成本函数及分类

P106 1.成本函数是一定技术水平下企业成本与产量间的关系，表现为C=f(Q)。 成本函数取决于生产函数(技术水平)和要素价格。

短期成本函数

长期成本函数

短期成本函数考察短期内成本与产出的关系。

短期中，要素投入分固定投入与可变投入，相应形成固定成本与可变成本。 C=b+f(q) 即Y=a+bx 2. 短期成本的分类

P107 1.短期总成本

P107 (1)总不变成本(TFC—Total Fixed Cost) P107 定义：是指厂商在短期内为生产一定数量的产品对不变生产要素所支付的总成本。 总不变成本TFC不随产量的变化而变化，曲线是一条水平线。

例如：建筑物和机器设备的折旧费、银行贷款利息、租金、广告费等 (2)总可变成本(TVC—Total

Variable Cost)

定义：厂商生产一定数量的产量对投入的可变生产要素支付的成本。

TVC=TVC(Q)

TVC随产量的变化而变化，是产量的函数，曲线是一条由原点出发向右上方倾斜的曲线。 例如：原材料、燃料费用和工人工资等 随产量的增加而增加。

当产量为 0 时，可变成本等于 0。 (3)短期总成本STC 含义：厂商生产一定数量的产量对投入的全部生产要素支付的成本。 短期总成本=可变成本+固定成本

TC=TFC+TVC=TFC+TVC(Q)

TC随产量的变化而变化，曲线的形状同TVC，是由TFC高度出发的向右上方倾斜的曲线。 没有产量时，短期总成本最小时等于固定成本。

2.短期平均成本

P107 (1)平均不变成本(AFC—Average Fixed Cost) P107 含义：指厂商在短期内平均每生产一单位产品所消耗的固定成本(固定成本除以产量)

即：AFC =TFC / Q

AFC随产量变化而变化，二者的变化方向相反。 AFC不会与横坐标相交。

(2)平均可变成本( AVC—Average Variable Cost ) P107 含义：指厂商在短期内平均每生产一单位产品所消耗的可变成本。 AVC = TVC / Q

AVC是产量Q的函数，随产量的变化而变化，其曲线是一个U字型的曲线。 (3)平均成本 SAC(Short-run Average Cost) P107 定义： SAC是厂商在短期内平均每生产一单位产品所需要支付的全部成本。 总成本除以产量 即： SAC = STC/Q

平均成本=短期平均不变成本+短期平均可变成本。 SAC = AFC + AVC

3.边际成本(SMC—Short-run Marginal Cost) P108 定义： SMC是厂商在短期内增加一单位产品所增加的总成本。

公式：

SMC =△STC /△C

SMC曲线呈U形。——表示SMC随产量的增加，先下降后上升的特征。

边际成本

MC --指增加一单位产量所增加的总成本。

开始固定生产要素的效率没有得到充分发挥，随着Q的增加，平均成本下降，考虑MP上升，边际成本下降。最后，可变要素投入超过了最佳值，MP下降，边际成本上升，导致平均成本上升

5.4 收益及利润最大化 5.4.2 利润

利润(Profit)——企业的利润指的是企业的经济利润。

1、经济利润：是指厂商的总收益和总成本之间的差额。厂商所追求的最大利润，指的就是最大的经济利润。经济利润又称超额利润。

2、正常利润：是指厂商对自己所提供的企业家才能的报酬的支付。

3、会计利润：即企业的总收益减去企业的会计成本。

经济成本=显性成本(会计成本)+隐性成本(正常利润) 会计利润 = 总收益-显性成本(会计成本)

=经济利润+正常利润(隐性成本) 经济利润 =总收益- 经济成本

=总收益-(显性成本 + 隐性成本)

=会计利润-隐性成本

=会计利润—正常利润

=超额利润 各利润之间关系：

经济利润=会计利润—正常利润=超额利润

超额利润是企业家在选择投资项目所冒投资风险可能得到的报酬。

超额利润Super-normal Profit/abnormal profit是指其他条件保持社会平均水平而获得超过市场平均正常利润的那部分利润，又称为纯粹利润或经济利润。 超额利润是指其他条件保持社会平均水平而获得超过市场平均正常利润的那部分利润，又称为纯粹利润或经济利润。所谓正常利润，指的是为使厂商继续从事某种生产经营活动所必需的最低限度利润水平，亦即边际收益等于边际成本时的利润水平。当某一厂商或因为领先采用新技术，或因为拥有某种市场权力，或因为其他原因而使其成本低于其他厂商或其产品价格高于其他厂商时，它便可能有获得高于正常水平的利润，即获得超额利润。超额利润在竞争性行业中只可能在短期内存在，而在垄断性行业中，它则无论在短期内还是长期都可能存在。

生产者的利润最大化目标，即经济利润最大化。

案例：某大学毕业生A有两个就业机会：一是到大型企业就业，年薪3万元;二是利用父母给予的一个30万的存折(年利率2%)和一套房子(月租金2000元)自己开一个小店，并预计第一年的销售收入为12.5万元，实际费用支出为6.5万元。 (1)分别计算A自己创业的年会计利润和年经济利润。 (2)对A的两种就业选择做出合理决策。

继续经营的条件是经营者取得的会计利润至少等于使用自有资源的机会成本。 5.4.3 利润最大化原则

经济利润不包括正常利润。当厂商的经济利润为0时，厂商仍然得到了全部的正常利润。经济利润也被称为超额利润。

当 MR(Q) = MC(Q)边际收益=边际成本时时，利润最大

例1：假设企业目前增加一单位产量需增加 3 小时劳动和 4 单位原材料，如果工资为 10元/小时，材料为1元/单位。问：边际成本是多少?如果该产品市场价格为50元，企业应该如何做才能实现利润最大化? 例2：如果一个汽车公司每天在两个城市之间增开一辆长途汽车，公司的总成本将从每天500元增加到每天600元，总收益将每天增加150元。问：该公司应该增开这一辆长途汽车吗?

练习

1.用经济学理论解释客车货车超载现象。

2.假定某企业将生产一件售价为10元的产品，生产该产品的固定成本为5000元，该产品每件可变成本为5元。问：该产品生产多少时正好盈亏平衡。

第四篇：信息技术教学论 教案(第五章)

第五章 信息技术教学原则 第一节 信息技术教学的特点

一、重点培养学生的信息素养

二、学生的学习以主动的意义建构为主

三、师生关系平等

四、教学方法多样化

五、探究学习、因材施教

第二节 信息技术教学原则

一、基础性与发展性相结合

1、重视信息技术基础知识、基本技能、基本方法和基本态度的培养

2、以发展的眼光促进学生信息素养的一般发展

3、提高学生对信息技术发展变化的适应能力

二、全面发展与个性发展相统一

1、教学目标上，在达到课程标准基本要求的基础上设立多级目标

2、教学内容上，在实现课程标准基本要求的基础上设计多种学习任务

3、教学策略上，在实现课程标准基本要求的基础上根据学生的认知风格给予不同的教学指导

1

4、教学组织形式要多样结合

三、信息技术与日常生活和学习相整合

1、教学要贴近学生生活

2、教学要贴近学生的日常学习

٭ 在信息技术课程中整合其他课程内容

٭ 利用信息技术支持信息技术课程自身的教学

四、科学教育与人文教育相融合

1、科学教育与人文教育相融合的重要性

2、科学教育与人文教育的融合思路

٭ 在教学中让学生体验信息技术的作用与价值

٭ 在信息活动中让学生感悟合作与探究精神

٭ 在信息作品分析中让学生理解其情感和态度

٭ 在信息交流中让学生善于表达、倾听

第五篇：精品教案：第五章 平面向量讲解

2010届高三数学一轮复习精品教案――平面向量

一、本章知识结构:

二、重点知识回顾

1. 向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量 , 有二个要素:大小、方向 . 2. 向量的表示方法:①用有向线段表示;②用字母 a 、 b 等表示;③平面向量的坐标表

示:分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底。任作一个向量 a ,由平

面向量基本定理知, 有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a xi yj =+ , , (y x 叫做向量 a 的(直

角坐标,记作 (, a x y = ,其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 特 别地, i (1,0=, j (0,1=, 0(0,0=

。 a = , (11y x A , , (22y x B ,则 (1212, y y x x --=

, AB =3. 零向量、单位向量:①长度为 0的向量叫零向量,记为 ; ②长度为 1个单位长度 的向量,叫单位向量 . 就是单位向量

4. 平行向量:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定 0 与任一向量平行 . 向量 a 、 b 、 c 平行,记作 a ∥ b ∥ c . 共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量 . 5. 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量 . 6. 向量的加法、减法 : ①求两个向量和的运算, 叫做向量的加法。 向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 ②向

量的减法向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差。即:a -b = a + (-b ; 差向量的意义: = a , =b , 则 =a, (2121y y x x --=, (, a x y λλλ= 。

④向量加法的交换律 :+=+;向量加法的结合律:(+ +=+ (+ 7. 实数与向量的积:实数 λ与向量 a 的积是一个向量,记作:λa

(1 |λa |=|λ||a |;(2 λ>0时 λa 与 a 方向相同; λ<0时 λa 与 a 方向相反; λ=0时 λa =;(3运算定律 λ(μa =(λμa , (λ+μa =λa +μa , λ(a +b =λa +λb

8. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线(也是平行的充要条件是:有且只有一 个非零实数 λ,使 b =λa 。

9. 平面向量基本定理:如果 1e , 2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 λ1, λ2使 a =λ11e +λ22e 。 (1不共线向量 1e 、 2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2基底不惟一,关键是不共线; (3由定理可将 任一向量 a 在给出基底 1e 、 2e 的条件下进行分解; (4基底给定时,分解形式惟一 . λ1, λ2是被 a , 1e , 2e 唯一确定的数量。

10. 向量 和 的数量积:① ·=| |·||cosθ,其中 θ∈ [0, π ]

为 a 和 b 的夹角。② |b |cosθ称为 b 在 a 的方向上的投影。③ a ·b 的几何意义是:b 的长 度 ||在 的方向上的投影的乘积,是一个实数(可正、可负、也可是零,而不是向量。 ④若 =(1x , 1y , =(x 2, 2y , 则 2121y y x x b a +=∙

⑤运算律:a · b =b ·a , (λa · b =a ·(λb =λ(a ·b , (a +b ·c =a ·c +b ·c 。 ⑥ 和 的夹角公式:cos θ=a b a b

∙⋅ =222221212121y x y x y y x x +⋅++ ⑦ ==∙2a a a |a |2=x2+y2,或 |a

|=22y x =+⑧ | a ·b |≤ | a |·| b |。

11. 两向量平行、垂直的充要条件 设 =(1x , 1y , =(2x , 2y ① a ⊥ b ⇔a ·b =0 , ⇔⊥a b ∙

=1x 2x +1y 2y =0; ② //(a ≠ 充要条件是:有且只有一个非零实数 λ,使 b =λa 。 0//1221=-⇔y x y x b a 向量的平行与垂直的坐标运算注意区别,在解题时容易混淆。

12. 点 P 分有向线段 21P P 所成的比的 λ: 21PP P P λ=, P 内分线段 21P P 时 , 0>λ; P 外分线段 21P P 时 , 0<λ. 定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x (1-≠λ 、 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 、 3, 3(321321y y y x x x ++++

三、考点剖析 考点一 :向量的概念、向量的基本定理

【内容解读】了解向量的实际背景,掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向 量、相等向量等概念,理解向量的几何表示,掌握平面向量的基本定理。

注意对向量概念的理解, 向量是可以自由移动的, 平移后所得向量与原向量相同; 两个 向量无法比较大小,它们的模可比较大小。

如果 1e 和 2e 是同一平面内的两个不共线 ... 向量, 那么对该平面内的任一向量 a 有且只有一 对实数 λ

1、 λ2,使 a =λ11e +λ22e .

注意:若 1e 和 2e 是同一平面内的两个不共线 ... 向量, 【命题规律】 有关向量概念和向量的基本定理的命题, 主要以选择题或填空题为主, 考 查的难度属中档类型。

例

1、(2007上海直角坐标系 xOy 中, i j , 分别是与 x y , 轴正方向同向的单位向 量. 在直角三角形 ABC 中, 若 j k i j i +=+=3, 2, 则 k 的可能值个数是 ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解:如图,将 A 放在坐标原点,则 B 点坐标为 (2,1, C 点坐标为 (3,k,所以 C

点在直线 x=3上,由图知,只可能 A 、 B 为直角, C 不可能为直角.所以 k 的可 能值个数是 2,选 B 点评 :本题主要考查向量的坐标表示,采用数形结合法,巧妙求解,体现平 面向量中的数形结合思想。

例

2、 (2007陕西如图,平面内有三个向量 OA 、 、 , 其中与 OA 与

的夹角为 120°, OA 与 的夹角为 30°, 且 |OA |=||=1, || =2,若 =λOA +μ(λ, μ∈ R ,

则 λ+μ的值为 . 解 :过 C 作 OA 与 OC 的平行线与它们的延长线相交, 可得平行四边形, 由角 BOC=90°角 AOC=30 =32得平行四边形的边长为 2和 4, =+μλ2+4=6

点评 :本题考查平面向量的基本定理, 向量 OC 用向量 OA 与向量 OB 作为基底表示出 来后,求相应的系数,也考查了平行四边形法则。

考点二 :向量的运算

【内容解读】 向量的运算要求掌握向量的加减法运算, 会用平行四边形法则、 三角形法 则进行向量的加减运算; 掌握实数与向量的积运算, 理解两个向量共线的含义, 会判断两个 向量的平行关系; 掌握向量的数量积的运算, 体会平面向量的数量积与向量投影的关系, 并 理解其几何意义, 掌握数量积的坐标表达式, 会进行平面向量积的运算, 能运用数量积表示 两个向量的夹角,会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。

【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现,难度不大,考查重点为模和向量夹 角的定义、夹角公式、向量的坐标运算,有时也会与其它内容相结合。

例

3、 (2008湖北文、理 设 a =(1,-2,b =(-3,4,c =(3,2,则 (a +2b ·c =( A.(-15,12 B.0 C. -3 D. -11

解 :(a +2b (1, 2 2(3,4 (5,6 -+-=-, (a +2b ·c (5,6 (3,23=-⋅=-,选 C 点评 :本题考查向量与实数的积,注意积的结果还是一个向量,向量的加法运算,结果 也是一个向量,还考查了向量的数量积,结果是一个数字。

例

4、 (2008广东文 已知平面向量 , 2(, 2, 1(m b a -==, 且 a ∥ b , 则 b a 32+=( A .(-2, -4 B. (-3, -6 C. (-4, -8 D. (-5, -10 解 :由 ∥ ,得 m =-4,所以, b a 32+=(2, 4+(-6,-12=(-4,-8,故选(C 。

点评 :两个向量平行,其实是一个向量是另一个向量的 λ倍,也是共线向量, 注意运算 的公式,容易与向量垂直的坐标运算混淆。

例

5、 (2008海南、宁夏文 已知平面向量 a =(1,-3, b =(4,-2, a b λ+ 与 a 垂直,则 λ是( A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 解 :由于 ((4, 32, 1, 3, a b a a b a λ+=λ+-λ-=-λ+⊥ ∴ ((43320λ+--λ-=,即 101001λ+=∴λ=-,选A 点评 :本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算, 注意不要出现运算出错, 因为 这是一道基础题,要争取满分。

例

6、 (2008广东理 在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O , E 是线段 OD 的中 点, AE 的延长线与 CD 交于点 F. 若 =, =, 则 =( A . 1142a b + B. 2133a b + C. 1124a b + D. 1233

a b + 解 :21=, 2

121+=+=, 4 12121212121 (21+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=, 由 A 、 E 、 F 三点共线 , 知 1, >=λλAE AF 而满足此条件的选择支只有 B ,故选 B. 点评 :用三角形法则或平行四边形法则进行向量的加减法运算是向量运算的一个难点, 体现数形结合的数学思想。 例

7、 (2008江 苏 已 知 向 量 a 和 b 的 夹 角 为 0120, ||1,||3a b == , 则

|5|a b -= . 解 :(2222552510a b a b a a b b -=-=-∙+ =22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭ ,

点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算 不要出现错误即可。 考点三：定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所 成比时，可借助图形来帮助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向 量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中 档题为主，偶尔也以难度略高的题目。 例 8 、 (2008 湖南理 设 D 、 E 、 F 分别是△ ABC 的三边 BC 、 CA 、 AB 上的点，且

则

与 BC ( A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直

解：由定比分点的向量式得AB, 同理，有：

所以选 A. 3 D.既不平行也不垂直

以上三式相加得 3 3 3 3 点评：利用定比分点的向量式，及向量的运算，是解决本题的要点. 考点四：向量与三角函数的综合问题 【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识， 三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。 【命题规律】 命题以三角函数作为坐标， 以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相 结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。 例 9 、( 2008 深圳福田等)已知向量 x , 函数 2 ] 时, 若 求 x 的值. 解：

所以，T=

，

∵

，∴

∴

∴

由

得

求 f ( x 的最小正周期; (2当

点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是 以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件， 并结合简单的向量运算， 而考查的主体 部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点. 例

10、 (2007 山东文) 在 △ ABC 中， 角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， tan C . (1)求 cos C ; (2)若 解：(1).

，

又.

， cos C 又，

是锐角. . (2)由

.

，且

. ， 2 2 解得 .

，求 c . 2 sin C

. 点评：本题向量与解三角形的内容相结合，考查向

平移，则平移后所 例

11、

的图象按向量

，

得量的数量积，余弦定理等内容。 (2007 湖北)将

图象的解析式为( A. )

B.

C.

D.

的图像上任意取一对对应点 P x , y ，

解： 由向量平移的定义， 在平移前、 后

，

，代入到已知解析式中可 则，

得选A 点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档 题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移 下平移 2 个单位，误选C 考点五：平面向量与函数问题的交汇

个单位，再向 4 【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要 注意自变量的取值范围。 【命题规律】命题多以解答题为主，属中档题。 例

12、(2008 广东六校联考)已知向量 a =(cos 且 x∈[0， sin ， x，sin x， b =函数

，

. (1)求

(2)设

，求函数 f ( x 的最值及相应的 x 的值。 解：(错误!

， 得： 未找到引用源。)由已知条件：

(2)

因为：

，所以：

，或 时，

所以，只有当：

时，

点评：本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次 函数图象，要注意 sinx 的取值范围，否则容易搞错。 考点六：平面向量在平面几何中的应用 【内容解读】向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后， 使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，许多平 面几何问题中较难解决的问题， 都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证. 也就是把平面几 何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量 y 具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算 C 和向量运算，从而使问题得到解决. 【命题规律】命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。 例

13、如图在 Rt

中，已知 BC=a，若长为 2a 的线 段 PQ 以 A 为中点， 问 PQ 与 BC 的夹角 取何值时，

例 13 图 O B x Q 的值最大?并求出这个最大值。 解：以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角 坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则 A(0，0)，B(c，0)，C(0，b).且|PQ|=2a，|BC|=a.设 点 P 的 坐 标 为 ( x ， y ) ， 则 Q ( -x ， -y ) ， (，b)，

(

(，

，y)， )

(

，

)， BC a2 ∴cx-∴- 故当 ， 即 ( PQ 与BC 方向相同) 时， 的值最大，其最大值为 0. 点评：本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题 的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。

四、方法总结与 2010 年高考预测 (一方法总结 1.以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的化为以某一点为统一起点，再进行向量 运算会非常方便; 2.以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想，转化为函数或方程方法求解; (二2010 高考预测 预计向量基本概念、向量基本运算等基础问题，通常为选择题或填空题出现;而用向量 与三角函数、解三角形等综合的问题，通常为解答题，难度以中档题为主。

五、复习建议

1、平面向量部分的复习应该注重向量的工具作用，紧紧围绕数形结合思想，扬长避短， 解决问题;

2、平面向量与三角函数的交汇是近年来的考查热点，一般服出现在解答题的前三大题 里，在复习中，应加强这种类型试题的训练。