试析解决三类函数题的桥梁——化归思想

2023-01-24

函数是高中数学的核心内容, 在高考的地位举足轻重, 但由于函数知识量大, 题型众多, 综合性很强, 一般在大题的最后几题中通常都有一道作为压轴题来考查, 学生对此函数题往往感到无从下手, 不知所措。 而化归思想可以把很多类型的函数题进行转化:将复杂的问题转化为简单的问题, 将未解决的问题转化为已解决的问题、将陌生问题转化为熟悉的问题、以及数与形的转化等等从而为解决函数问题提供了行之有效的方法。 那么怎么处理函数的一些问题, 从而让学生灵活的应对高考, 因为化归思想在函数解题中的应用是相当广泛, 所在在此本人以教材和历年的高考题为导向, 只是谈谈自已如何对高考题中经常出现的涉及到含参函数单调性的讨论和恒成立或零点这三类问题进行化归的一些看法。 以期达到抛砖引玉的目的。

1对含参函数的单调性讨论的化归

高考中对含参单调性讨论的考查经常单独出现或在求恒成立或函数零点等的解题过程中出现, 以下我先单独谈对含参单调性的化归。

高中数学大纲要求在求函数的单调区间时其中多项式函数一般不超过三次, 从而我们可以看到在求含参函数单调性的时候, 一般都能转化为我们熟悉的二次或其它不等式 (其中经常都是导数=0 只有一根或两根或无根的情况) 来求解。

(1) 定义域不含参数的问题:

例1、[2015 高考四川, 理21]已知函数f (x) =-2 (x+a) lnx+x2-2ax-2a2+a, 其中a>0.

设g (x) 是f (x) 的导函数, 评论g (x) 的单调性;

分析:对于此题我们可以让从而得到2x2-2x+2a=0, 从而化归成对我们已经解决的二次不等式ax2+bx+c>0 (或<0) 的讨论 (1) 对a>0, a=0, a<0 的讨论; (2) 对 △>0, △<0, △=0 的讨论; (3) 讨论导数=0所求的根在不在定义域内, 就本题而言二项式系数大于0, △=4-16a>0 可得0

当a≥1/4时, g (x) 在区间 (0, +∞) 上单调递增。

例2、[2013 年高考福建卷 (文) ]已知函数 (a∈R, e为自然对数的底数) , 求函数f (x) 的极值;

分析:本小题虽然是求极值, 但其中涉及到对函数单调性的讨论, 与上题不同的是对原函数求导后, 让求出根x=lna, 由于lnx中对x>0 这个限制条件要进行讨论, 从而就转化为对一个根受到限制的讨论。 也就是①当a≤0 时, f′ (x) >0, f (x) 为 (-∞, +∞) 上的增函数, ②当a>0 时, x∈ (-∞, lna) , f′ (x) <0;x∈ (lna, +∞) , f′ (x) >0 的讨论。

(2) 定义域含参数的的问题

例3、[2102 高考北京文18] 已知函数f (x) =ax2+1 (a >0) , g (x) =x3+bx。

(1) 若曲线y=f (x) 与曲线y=g (x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公共切线, 求a, b的值;

(2) 当a=3, b=-9 时, 若函数f (x) +g (x) 在区间[k, 2]上的最大值为28, 求k的取值范围。

分析:其中最后一问虽然是求最大值, 但必须有一个f (x) +g (x) 在区间[k, 2]上的讨论, 其中y=f (x) +g (x) , 而y′=3x2+6x+9, 从而就化归成为一个对二次函数单调区间的讨论, 也就是讨论区间[k, 2]在y=f (x) +g (x) 的单调区间上的分布。

2对含参函数的恒成立和零点问题的化归

高考解答题中的函数题, 其难度一般很大, 其中恒成立和零点问题是考查的热点题型, 这些函数题中经常出现这样几个我们熟悉的函数面孔:三次函数等等, 通常是指数与对数、一次、二次函数相结合的问题, 所以我们可以在平时解题时, 总结出这些题型的性质和图形特征, 从而面对很多含参的函数问题, 可以通过化归转化为恒成立或零点问题, 再结合上述我们熟悉的这几类图形或题型就比较容易的解决从而达到数与形的统一、未知与已知、陌生与熟悉的转化, 其中通常在处理某些问题上可以把参数移到不等号或等号的一边从而化归为另一边不含参数的函数模型。

2.1有关含参函数恒成立的问题

2.1.1证明题中的化归

例4、[2014·福建卷] 已知函数f (x) =ex-ax (a为常数) 的图像与y轴交于点A, 曲线y=f (x) 在点A处的切线斜率为-1.

(1) 求a的值及函数f (x) 的极值;

(2) 证明:当x>0时, x2

(3) 证明:对任意给定的正数c, 总存在x0, 使得当x∈ (x0, +∞) 时, 恒有x

本题对于第二小题我们可以转化为g (x) =ex-x2在 (0, +∞) 上恒大于0, 从而转化为函数恒成立问题, 而对这个函数y=aex+bx2 (其中a=1, b=-1) 的图形是我们已知的一个单调递增的函数, 即g (x) 在R上单调递增, 又g (0) =1>0, 而当x>0时, g (x) >g (0) >0, 即x2

(2) 函数y=f (x) 在 (a, b) 上是单调递增或单调递减的化归。

例5、 (2010 福建) 已知函数f (x) =1/3x3-x2+ax+b的图像在点P (0, f (0) ) 处的切线方程为y=3x-2 (Ⅰ) , 求实数a, b的值;

(Ⅱ) 设是[2, +∞]上的增函数。 (i) 求实数m的最大值;

(ii) 当m取最大值时, 是否存在点Q, 使得过点Q的直线若能与曲线y=g (x) 围成两个封闭图形, 则这两个封闭图形的面积总相等?若存在, 求出点Q的坐标;若不存在, 说明理由。

本题的第二小题可以先通过对原函数y=g (x) 求导, 然后如果是单调递增那么g′ (x) ≥0, 如果是单调递减那么g′ (x) ≤0 从而就化归为函数的恒成立问题, 即对函数先求导化简后就转化成为对 (x-1) 2 (x2-2x+3) ≥m在[2, +∞]恒成立的求解, 而y= (x-1) 2 (x2-2x+3) 的图形也是常见的问题, 我们再求出y= (x-1) 2 (x2-2x+3) 最小值, 从而得证。

2.1.2 单调和不单调问题

例6、f (x) =x3+3x2-9mx在 (1, 2) 上单调, 求m的取值范围。

本题可以通过化归转化为f (x) 在 (1, 2) 上单调递增或单调递减。 也就是先求f′ (x) =3x2+6x-9m, 再与上面一样转化为求f′ (x) ≥0 或f′ (x) ≤0 恒成立的问题。

2.1.3 有关一个函数恒在另一个函数上方或下方的问题的化归

例7、已知函数

(1) 当a=0 时, 求函数f (x) 的单调递增区间;

(2) 若x∈[1, 3], 使f (x) < (x+1) lnx成立, 求实数a的取值范围;

(3) 若函数f (x) 的图象在区间 (1, +∞) 上恒在直线y=2ax下方, 求实数a的取值范围。

分析:本题第三小题“函数f (x) 的图象在区间 (1, +∞) 上恒在直线y=2ax下方”可以化归转化为在 (1, +∞) 上恒成立, 即在 (1, +∞) 上h (x) max<0.而在求解最大值的过程中又面临后的讨论, 我们可以转化为用上面第一点提到的含参函数单调性的讨论, 从这几个方面进行讨论, 从而可得, 结合a≤1/2, 解得。

可以转化为函数恒成立的题型还很多, 比如关于两个不同函数的比较大小、有关绝对值恒成立的问题等等。

2.2 有关含参函数零点的问题的化归

当我们在求y=f (x) -g (x) 的零点时, 经常化归转化为求y=f (x) 与y=g (x) 两个图像的交点的横坐标反过来要求y=f (x) 与y=g (x) 两个图像的交点的横坐标也可以化归转化为求y=f (x) -g (x) 的零点。 用这个方法可以处理这样一类的问题, 有时可以把参数移到等号的一侧这样可以大大减少讨论。

例8、[2011·辽宁卷] 已知函数f (x) =ex-2x+a有零点, 则a的取值范围是______.

本题可以转化为y=a与g (x) =-ex+2x的交点的横坐标而g (x) =-ex+2x的图像是我们常见的, 从图像上看g (x) =-ex+2x有最大值2ln2-2 从而得到a∈ (-∞, 2ln2-2]。

例9、[2013 年高考福建卷 (文) ]已知函数 (a∈R, e为自然对数的底数) 。

(1) 若曲线y=f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线平行于x轴, 求a的值;

(2) 求函数f (x) 的极值;

(3) 当a=1 的值时, 若直线l:y=kx-1 与曲线y=f (x) 没有公共点, 求k的最大值。

本题第三小题可以转化求的零点问题, 通过上述函数图像与y=0 两个图像相交入手, 可以看出直线l:y=kx-1 与曲线y=f (x) 没有公共点。

孟子说:授人以鱼, 不如授之以渔。 高考中的函数题千变万化, 但万变不离其宗, 本文就运用化归思想在很多种未知、未解决的函数题与我们已解决、熟知的这三大类旧问题、旧经验之间架起一座桥梁, 从而就能让我们在山穷水尽之时柳暗花明, 同时也提高了数学解题的能力, 充分体会到数学思想的美。

摘要:函数题作为高考题中的一个大题, 它的难度一般比较大, 化归思想在函数解题中的应用相当广泛, 本文只就对运用化归思想解决与含参函数单调性的讨论和含参函数的恒成立和零点有关的这三类问题谈谈自已的一些看法, 并给出典型的例题解析, 从而为解函数题提供一些帮助。

关键词:化归思想,含参函数单调性,恒成立,函数零点

参考文献

[1] 杨恩彬, 柯跃海, 陈清华.基于考试的化归与转化思想考查研究[J].福建中学数学, 2012.12.

[2] 赵小云, 叶立军.数学化归思维论[M].北京:科学出版社, 2005.

[3] 董朝芳.高中数学函数教学对数学思想方法的渗透[J].教育教学论坛.2014 (21) .