一次函数例题精选

第一篇：一次函数例题精选

函数的极限及函数的连续性典型例题

一、重点难点分析：

①

此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。③ 函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。

。④ 计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则

⑤ 若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。

二、典型例题

例1.求下列极限

①

②

③

④

解析：①

。

②。

③。

④

。

例2.已知

，求m,n。

解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，

∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，

∴ m=3代入求得n=-1。

例3.讨论函数的连续性。

解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又

∴

由

从而f(x)在点x=-1处不连续。

∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。

，， ∴ f(x)在x=1处连续。，

例4.已知函数

试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。

, (a,b为常数)。

解析：∵

且，

∴

，∴ a=1, b=0。

例5.求下列函数极限

①

②

解析：①

。

②

。

例6.设

解析：∵

要使存在，只需，，问常数k为何值时，有存在?。，∴ 2k=1，故 时，存在。

例7.求函数

在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限?

解析：由∵

，，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。，

三、训练题：

1.已知，则

2.的值是_______。

3. 已知，则=______。

4.已知

5.已知

，2a+b=0，求a与b的值。，求a的值。

参考答案：1. 3

2.

3.4. a=2, b=-45. a=0

第二篇：利用bode图求传递函数例题

例题：已知最小相位系统开环对数频率特性曲线如图所示。试写出开环传递函数Gk(s) 。

解：

1) ω<ω1的低频段斜率为[-20]，故低频段为K/s。

ω增至ω1，斜率由[-20]转为[-40]，增加[-20]，所以ω1应为惯性环节的转折频率，该环节为11 。

11s1ω增至ω2，斜率由[–40]转为[–20]，增加[+20]，所以ω2应为一阶微分环节的转折频率，该环节为2s1 。

11ω增到ω3，斜率由[-20]转为[-40]，该环节为,ω>ω3，斜率保持不变。

31s1故系统开环传递函数应由上述各典型环节串联组成，即

K(Gk(s)s(2) 确定开环增益K 当ω=ωc时，A(ωc)=1 。

2s1)1

11s1)(3s1)K( 所以 A(c)12c)211K121c1

c(11c)2(3c)21c1c故 K2c 所以，Gk(s)111s(s1)(s1)13

2c1(s1)12

练习：

最小相位系统的对数幅频特性如下图所示，试分别确定各系统的传递函数。

(a)

(c)

a：G(s)10s(s1)

b：G(s)100(10s1)(s1)

cG(s)100(0.5s1)(0.2s1)

(b)

第三篇：牛顿第二定律典型例题（精选）

牛顿第二定律典型例题

【例1】一物体放在光滑水平面上，初速为零，先对物体施加一向东恒力F，历时1s;随即把此力改为向西,大小不变，历时1s;接着又把此力改为向东，大小不变,历时1s;如此反复，只改变力的方向，共历时1min，在此1min内()

A.物体时而向东运动，时而向西运动，在1min末静止于初始位置之东

B.物体时而向东运动，时而向西运动，在1min末静止于初始位置

C.物体时而向东运动，时而向西运动，在1min末继续向东运动

D.物体一直向东运动，从不向西运动，在1min末静止于初始位置之东

【例2】如图3-1-2所示，质量为m的小球与细线和轻弹簧连接后被悬挂起来，静止平衡时AC和BC与过C的竖直线的夹角都是600，求：(1)剪断AC线瞬间小球的加速度;(2)剪断B处弹簧的瞬间小球的加速度.

【例3】 如图所示，轻弹簧下端固定在水平面上。一个小球从弹簧正上方某一高度处由静止开始自由下落，接触弹簧后把弹簧压缩到一定程度后停止下落。在小球下落的这一全过程中，下列说法中正确的是

A.小球刚接触弹簧瞬间速度最大

B.从小球接触弹簧起加速度变为竖直向上

C.从小球接触弹簧到到达最低点，小球的速度先增大后减小

D.从小球接触弹簧到到达最低点，小球的加速度先减小后增大

【例4】如图3-1-3表示某人站在一架与水平成θ角的以加速度a向上运动的自动扶梯台阶上，人的质量为m，鞋底与阶梯的摩擦系数为μ，求此时人所受的摩擦力.

(请用两种方法①沿加速度方向为x轴建立坐标系②沿水平向右方向为x轴建立坐标系，分解加速度)

【例5】如图所示，在箱内倾角为α的固定光滑斜面上用平行于斜面的细线固定一质量为m的木块。求：在下面两种情形中，线对木块的拉力F1和斜面对箱的压力F2各多大?(1

)

箱以加速度a匀加速上升时;(2)箱以加速度a向左匀加速运动时。

【例6】如图所示，沿水平方向做匀变速直线运动的车厢中，悬挂小球的悬线偏离竖直方向37°角，球和车厢相对静止，球的质量为1kg.(1)求车厢运动的加速度

并说明车厢的运动情况.(2)求悬线对球的拉力.(g=10m/s2，sin37°=0.6，

cos37°=0.8)

【例7】一个质量为0.2 kg的小球用细线吊在倾角θ=53°的斜面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，若斜面开始以水平加速度a向右运动，且a从等于零开始逐渐增大，则：(1)绳的拉力T及斜面对小球的弹力N将怎样变化?(2)当a=10 m/s2时，求T和N

【例8】如图所示， m =4kg的小球挂在小车后壁上，细线与竖直方向成37°角。求：在下面两种情形中细线对小球的拉力F1和后壁对小球的压力F2各多大? (1)小车以a=g向右加速时;(2)小车以a=g向右减速时。

第四篇：精选例题 高效复习——“不等式证明”复习课教学设计

精选例题 高效复习

——“不等式证明”复习课教学设计 陈业代 (江苏省南京市大厂高级中学)

一、教学内容分析

本节课安排在高三一轮复习阶段，在复习完函数、三角函数与平面向量后进行的.是对不等式证明方法的归纳总结，使学生对不等式证明有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生对不等式证明基本方法能力的培养，另一方面，通过探究不等式证明方法，渗透数形结合思想，为后面的复习启到很好的铺垫作用.

二、学生学习情况分析

学生在高一学完了《不等式的性质与证明》后，对不等式的性质和不等式基本证明方法有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大.由于不等式证明的多样性和灵活性，学生接受起来比较困难，因此在教学中教师始终贯彻着对他们学法的指导.通过对例题的一题多解，引导学生学会归纳、学会找出每种题型的规律，养成归纳、总结的习惯.

三、设计思想

1.尽管我们的教辅课本为学生提供了精心选择的课程资源，但教辅课本仅是教师在教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据自己学生数学学习的特点，联系学生的学习实际，对教辅课本内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合教学内容等.

2.树立以学生为主体的意识，实现有效教学.现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学.在本节课的设计中，首先设计一些能够启发学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和活动性;其次，设计一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知识上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题.随着学生的知识和信息不断丰富，可以向学生介绍更多类型的问题情境或更难的应用问题情境，渗透数学思想，使学生学会问题解决的一般规律.

四、教学目标

1.通过复习不等式证明，使学生对不等式的证明有一个清晰的全面的掌握，缓解因不等式证明较难引起的学生的心理不适应及不自觉的排斥情绪.

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2.通过练习的设置，从解决简单实际问题的过程中，让学生体会到不等式证明的通性通法，让学生有“法”可依，在此基础上增加一点灵活性，激发学生学习兴趣，引导学生自觉自主参与课堂教学活动.

3.通过例题分析、习题的巩固训练，培养学生观察、类此、归纳、猜想推理能力，培养学生思维的灵活性和广阔性及勇于探索的科学精神，提高学生整体素质.

五、教学重点和难点

教学重点：证明不等式的常用方法.

教学难点：不等式证明常用方法与技巧的综合运用

六、教学过程设计

1、 课前准备

教师提供证明不等式的类型和方法，课后由学生分头去查阅有关资料，如教材、高一学习用过的讲义、自己身边的参考书，通过自己的研究，分别选择一至二道典型例题进行自我解答.

2、复习提问引入新课

(1)、不等式的证明方法有哪些?并作出解释. (2)这节课和同学们一道来复习不等式的几种证明方法.请看这么一道例题：

例：已知a，b，c，dR，求证：acbd(ab)(cd)

2222【设计意图】对高三学生而言，大部分同学对以上问题都不陌生，知道用什么方法解题，但是对题型的规律性东西还未挖掘透，老师的任务就是给他们总结出规律性东西，教会他们见到题型该怎么解，用什么方法.

师：请问本题可以用什么常规方法解决?

生1：这道题我觉得可以用作差的方法证明，证明如下： 方法1 (作差比较法)：因为a，b，c，dR

所以(ab)(cd)(acbd)adbc2abcd(adbc)0

(ab)(cd)(acbd) 222222222222222因此 acbd(ab)(cd)

2222【设计意图】作差比较法是证明不等式最简单的常规方法，是其他证明方法的根本，学生容易想到，也易于掌握.

师：证明本题还有什么常规方法?

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生2：还可以用综合法解决，证明如下：

方法2 (综合法)：由(adbc)20得，a2d2b2c22abcd0，

两边同时加上a2c2b2d2，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，即得到

acbd(ab)(cd). 2222【设计意图】综合法是同学们最常用、也是最喜欢用的方法之一，通常要用到基本不等式，不过要经常提醒同学注意使用条件. 师：本题能否用分析法解决? 生3：我认为应该可以，证明如下：

方法3(分析法)：因为acbd|acbd|，所以只须证明

|acbd|(ab)(cd)，然后两边平方再化简得ad222222bc2abcd0，

22因为a，b，c，dR，所以上式显然成立，因此命题得证.

【设计意图】分析法是化解证明不等式疑难问题的常用方法，基础不是很好的同学比较喜欢这一方法.但它对格式的书写要求较高，通过这一例题训练，让学生进一步掌握分析法. 师：同学们再想一想，是否还有其他解决办法呢?请同学们观察不等式右边特征，你会想到什么?

生4：好像和距离有关，又好像和圆有关. 师：这位同学说得好，下面大家和我一道来完成. 方法4(换元法)： 设abr1,cd22222r1,r10,r20，

2若再设ar1cos,br1sin， cr2cos,dr2sin，其中,R 则acbdr1r2coscosr1r2sinsinr1r2cos()

r1r2(ab)(cd)

2222【设计意图】通过老师的提问，启发学生动脑思考，促使学生展现自己的思维过程，从中发现闪光点，培养学生的思考能力和判断能力.

师：同学们对刚才方法4的证法很欣赏，也许有同学会问这个换元法很好，怎么想到的呢?其实我们是看到ab,cd，才想到圆的参数方程.那么，同学们再想一想，我们所

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2222 学过的知识里，还有哪个地方出现过两个量的平方和再开方的?(课堂上顿时热闹起来) 生5：我想起来了，应该是向量的模

师：你说得太好了!那么怎么用呢?(如何构造模型?) 方法5(构造法)：

设m(a,b),n(c,d)

则acbdmn|m||n|cosm,n|m||n|(ab)(cd)

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【设计意图】通过老师提问和引导，能激发同学们思维的火花，让学习数学成为一种乐趣，在数学学习过程中找到成就感.

师：同学们，这种证法精彩吗?(全班响起雷鸣般的掌声)，当然这是我们大家集体智慧的结晶，你们是最棒的!

师：同学们想不想再来两个题巩固一下所学的方法呢? 生6：当然愿意!

3、 巩固练习

练习1 已知在a，b，cR+，求证a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc26abc 变式：a0,b0，求证：

abbaab

练习2 若x>0，y>0，且xyaxy恒成立，求a的最小值

【设计意图】巩固刚才总结的证明不等式的常用方法，对所学知识进一步消化理解，反馈课堂效果，调节课堂教学.

4、课堂小结

进一步掌握和理解用比较法、综合法、分析法、换元法、构造法等证明不等式、并达到灵活运用的目的.

【设计意图】对知识和能力进行全面总结，使所学知识体系和学生的认知体系更加完整.

七、教学反思

众所周知，数学复习课要比新授课难上得多，尤其是高三，前面已经过了第一轮详细的复习，如果学生每节课都是被动地听讲、机械地模仿、重复地训练，容易形成视听疲劳，产生厌倦情绪，对课堂上的教学内容提不起兴趣，上课走神，课堂气氛犹如一潭死水，教师反复强调的知识学生考试还是考不出来，面对高考中能力立意的试题，不考砸才怪呢!因此，

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在平时教学中特别是复习课上要经常恰当改变上课方式，如本节课模式的教学让教师成为课堂上的组织者、学生行动的引路人、学生行为的评价者，让学生成为学习研究的主人，课堂上师生互动、生生互动交流使学生在复习课上不感到枯燥且保持较高的积极学习的热情，从而提高复习效率.

很显然，本节课通过教师的适当点拨引导，使学生的水平发挥得淋漓尽致，学习能力得到较大的提高，有许多同学都想走上讲台展示自己，但是，由于一节课时间有限，不能满足多数同学欲望，另外也未能给同学更多的思考问题的时间，当然，也不排除个别同学由于学习能力较弱上课跟不上，这就需要我们教师走出“经验型”教学的圈子，积极开展教学反思，反思教学过程中成功和失败，多研究学生，找到一个学生可接受、乐于接受的教学模式，真正做到师生互动、共同提高.

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第五篇：七年级数学上册第五章一元一次方程4应用一元一次方程—打折销售典型例题素材北师大版解析

《应用一元一次方程——打折销售》典型例题

例1 一种蔬菜加工后出售，单价可提40%，但重量要降低20%，现有未加工的这种蔬菜1000千克，加工后共卖了1568元，问不加工每千克可卖多少钱?1000千克能卖多少钱?比加工后少卖多少钱?

例2 某企业生产一种产品，每件成本价400元，销售价510元，为了进一步扩大市场，该企业决定降低销售价的同时降低生产成本.经过市场调研，预计下季度这种产品每件销售价降低4%，销售量将提高10%，要使销售利润保持不变，该产品每件的成本价应降低多少元?

例3 (中考题)某商品的标价是1100元，打八折(按标价的80%)出售，仍可获利10%，则此商品的进价是________元.

例4 某商品按进价的百分之几标价，然后再8折优惠销售，这件商品的获得率仍为20%.

参考答案

例1 分析 本题的关键是第一问，第一问求出其他问题就解决.由题意可知如下相等关系：

加工后的蔬菜重量×加工后的蔬菜单价=1568元

而加工后的蔬菜重量=1000×(1-20%)，如果设加工前这种蔬菜每千克可卖x元，则加工后这种蔬菜每千克为(1+40%)x元，故可得方程.

(120%)(140%)x1568

解 设不加工每千克可卖x元，依题意，得1000 解方程得：x1.4

15681400168

所以1000x1400 答：不加工每千克可卖1.4元，1000千克能卖1400元，比加工后少卖168元.

说明：在计算数比较难算的题时，我们可以借助于计算器进行计算.

例2 分析 由已知可得如下相等关系

调整成本前的销售利润=调整成本后的销售利润

若设该产品每件的成本价应降低x元，假定调整前可卖m件这种产品，则调整前的销售利润是(510-400)m，而调整后的销售阶为510(l-4%)，调整后的成本价为 400-x.调整后的销售数量

m(l+10%)，所以调整后的销售利润是：[510(14%)(400x)](110%)m，由相等关系可得方程

[510(14%)(400x)](110%)m(510400)m

解 设该产品每件的成本价应降低x元，降价前可销售该产品m件，依题意，得[510(14%)(400x)](110%)m(510400)m

解方程，得x10.4

答：该产品每件的成本价应降低10.4元.

说明：这里的m也可以不设，以一件为例去研究这一问题，就可直接列出方程：[510(14%)(400x)](110%)510400

例3 分析：根据“利用=销售价-进货价，利润率=利润÷进货价×100%”，假设商品的进价为a元，则商品的售价为(a10%a)元时，可获利10%.

解：设商品的进价为a元. 则a(110%)110080%

a800

答：此商品的进价是800元.

说明：打折销售是我们身边的数学事实，每个人都应了解它，关键是掌握“进货价”“销售价”“利润”等名词术语的意义，理解有关数量关系.

例4 解 设该商品的进价为m元，按进价的x%标价可满足要求.

根据题意，得0.8mx%m20%.

m解得x150.

答：按进价的150%(即1.5倍)标价，然后再8折销售，获利率为20%. 说明：解应用题中的“打折销售”问题，首先要熟悉“进价”、“标价”、“售价”、“打折”、“利润”、“利润率”这些商业名词的含义，另外还要清楚反映进行、标价、售价、打折、利润、利润率之间关系的公式才能准确的列出方程.

(1)在我们现实生活中，购买商品和销售商品中，经常会遇到进价、标价、售价、打折、利润、利润率等概念.

(2)基本关系式：①利润=售价—进价 ②售价=标价×折数 ③利润率=

利润.由进价①②可得出④利润=标价×折数-进价.由③④可得出⑤利润率=

标价折数-进价.

进价