初高中数学知识点总结

2022-10-17

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第一篇:初高中数学知识点总结

最全高中数学知识点总结

高中新课标理科数学

(必修+选修)

所有知识点总结

第 1 页 共 117 页

引言

1.课程内容:

必修课程由5个模块组成:

必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。

选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。

选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、

空间向量与立体几何。

选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。 选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。

选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。

选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。

选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。

选修4—10:开关电路与布尔代数。

2.重难点及考点:

重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点:

⑪集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件

⑫函数:映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用

⑬数列:数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用

第 2 页 共 117 页

第二篇:高中数学知识点总结(最全版)

数 学 知 识 点 总 结

引言

1.课程内容:

必修课程由5个模块组成:

必修1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3:算法初步、统计、概率。 必修4:基本初等函数(三角函数)、平面向量、三角恒等变换。 必修5:解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外,基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列: 系列1:由2个模块组成。

选修1—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。 选修1—2:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图 系列2:由3个模块组成。

选修2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、

空间向量与立体几何。

选修2—2:导数及其应用,推理与证明、数系的扩充与复数 选修2—3:计数原理、随机变量及其分布列,统计案例。 系列3:由6个专题组成。 选修3—1:数学史选讲。

选修3—2:信息安全与密码。 选修3—3:球面上的几何。 选修3—4:对称与群。

选修3—5:欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6:三等分角与数域扩充。 系列4:由10个专题组成。 选修4—1:几何证明选讲。 选修4—2:矩阵与变换。 选修4—3:数列与差分。

选修4—4:坐标系与参数方程。 选修4—5:不等式选讲。 选修4—6:初等数论初步。

选修4—7:优选法与试验设计初步。 选修4—8:统筹法与图论初步。 选修4—9:风险与决策。

选修4—10:开关电路与布尔代数。

2.重难点及考点:

重点:函数,数列,三角函数,平面向量,圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线

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第三篇:人教版高中数学知识点总结新

第四部分复数

6.

第五部分统计案例

1.线性回归方程

①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系

③线性回归方程:ybxa(最小二乘法)

n

xiyinxy

i

1bn

2注意:线性回归直线经过定点(x,y)。 2xnxi

i1aybx

2.相关系数(判定两个变量线性相关性):r

(x

i1

n

i

x)(yiy)

n

(x

i1

n

i

x)2(yiy)

2i1

注:⑴r>0时,变量x,y正相关;r <0时,变量x,y负相关;

⑵①|r| 越接近于1,两个变量的线性相关性越强;②|r| 接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 3.回归分析中回归效果的判定: ⑴总偏差平方和:

2eyy⑵残差:;⑶残差平方和: ;(yy)(yiyi)iiii

2

i1

i1

n

n

⑷回归平方和:

(y

i1

n

i

y)-(yiyi)2;⑸相关指数R21

2

i1

n

(y(y

i1i1

n

n

i

yi)2

i

yi)2

注:①R得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好;

②R越接近于1,,则回归效果越好。 4.独立性检验(分类变量关系):

随机变量K越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。

22

2

第六部分推理与证明

一.推理:

类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。

①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。

注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。

②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。

注:类比推理是特殊到特殊的推理。注:演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;⑵小前提---------所研究的特殊情况;⑶结论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。

二.证明 ⑴综合法

一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法

一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。

第四篇:2014年人教版高中数学知识点总结

fxfxgxfxgxgx02gx3gx.

6、在某个区间a,b内,若fx0,则函数yfx在这个区间内单调递增;

若fx0,则函数yfx在这个区间内单调递减.

7、求函数yfx的极值的方法是:解方程fx0.当fx00时: 1如果在x0附近的左侧fx0,右侧fx0,那么fx0是极大值; 2如果在x0附近的左侧fx0,右侧fx0,那么fx0是极小值.

8、求函数yfx在a,b上的最大值与最小值的步骤是:

1求函数yfx在a,b内的极值;

2将函数yfx的各极值与端点处的函数值fa,fb比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

9、导数在实际问题中的应用:最优化问题。

第四部分复数

1.概念:

(1) z=a+bi∈Rb=0 (a,b∈R)z= z2≥0;

(2) z=a+bi是虚数b≠0(a,b∈R);

(3) z=a+bi是纯虚数a=0且b≠0(a,b∈R)z+=0(z≠0)z2<0;

(4) a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d∈R);

2.复数的代数形式及其运算:设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d∈R),

则:

(1) z 1±z2 = (a + b)± (c + d)i;

(2) z1.z2 = (a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+ (ad+bc)i;

(3) z1÷z2 =(abi)(cdi)bdbcad (z≠0) ;  ac2i(cdi)(cdi)c2d2c2d2

3.几个重要的结论:

(1) (1i)22i;⑷1ii;1ii; 1i1i

(2) i性质:T=4;i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i;i4ni4n1i42i4n30;

(3) z1zz1

1。 z

m

m

4.运算律:(1)zmznzmn;(2)(zm)nzmn;(3)(z1z2)mz1z2(m,nN); 5.共轭的性质:⑴(z1z2)z1z2 ;⑵z1z2z1z2 ;⑶(

z1z

)1 ;⑷ z2z2

zz。

6.模的性质:⑴||z1||z2|||z1z2||z1||z2|;⑵|z1z2||z1||z2|;⑶

|

z1|z1|

;⑷|zn||z|n; |

z2|z2|

第五部分统计案例

1.线性回归方程

①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系 ③线性回归方程:ybxa(最小二乘法)

n

xiyinxy

i1

bn

2注意:线性回归直线经过定点(x,y)。 2xnxi

i1aybx

2.相关系数(判定两个变量线性相关性):r

(x

i1

n

i

x)(yiy)

n

(x

i1

n

i

x)2(yiy)2

i1

注:⑴r>0时,变量x,y正相关;r <0时,变量x,y负相关;

⑵①|r| 越接近于1,两个变量的线性相关性越强;②|r| 接近于0时,两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 3.回归分析中回归效果的判定:

⑴总偏差平方和:(yiy)⑵残差:eiyiyi;⑶残差平方和:

i1n

(yiyi)

i1

n

;⑷回归平方和:(yiy)-(yiyi)2;⑸相关指数

i1

i1

nn

R21

(y(y

i1i1n

n

i

yi)2

i

yi)2

注:①R2得知越大,说明残差平方和越小,则模型拟合效果越好;

②R2越接近于1,,则回归效果越好。 4.独立性检验(分类变量关系):

随机变量K2越大,说明两个分类变量,关系越强,反之,越弱。

第六部分推理与证明

一.推理:

类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、 ①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。

注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。 ②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。 注:类比推理是特殊到特殊的推理。

推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎注:演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;⑵小前提---------所研究的特殊情况;⑶结论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断。 二.证明 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。 ⑵分析法

一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。 反证法

误,从而证明原命题成立,这种证明方法叫反证法。

第五篇:高中数学人教版必修1知识点总结梳理

一 集合

1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的对象的全体。

2、集合的中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性。

3、集合的表示:

(1)用大写字母表示集合:A,B„

(2)集合的表示方法:

a、列举法:将集合中的元素一一列举出来

{a,b,c„„} b、描述法:集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合, c、维恩图:用一条封闭曲线的内部表示.

4、集合的分类:

(1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合

5、元素与集合的关系:(A; 注意:常用数集及其记法: 非负整数集:(即自然数集)N

正整数集: N*或 N+

整数集:Z

有理数集:Q

实数集:R

6、集合间的基本关系 (1)“包含”关系—子集

定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。记作:(或BA) 注意:有两种可能(1)A是B的一部分; (2)A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA (2)“包含”关系—真子集

如果集合,但存在元素x(B且xA,则集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA) (3“相等”关系:A=B “元素相同则两集合相等”,如果A(B 同时 B(A 那么A=B 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 (4)集合的性质

① 任何一个集合是它本身的子集,A(A ②如果 A(B, B(C ,那么 A(C

③如果AB且BC,那么AC ④有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 集合的运算

运算类型 交

集 并

集 补

义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’) 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:AB(读作‘A并B’)

全集:一般,若一个集合含有我们所研究问题中的所有元素,我们就称这个集合为全集,记作:U 设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作,

韦恩图示

质 A ∩ A=A

A ∩Φ=Φ A ∩B=BA A ∩BA A ∩BB A U A=A

A U Φ=A A U B=B U A

A U BA A U BB

AU(CuA)=U A∩(CuA)=Φ.

二 函数

1.函数的概念:记法 y=f(x),x∈A.

2.函数的三要素:定义域、值域、对应法则 3.函数的表示方法:(1)解析法:(2)图象法:(3)列表法:

4.函数的基本性质

a、函数解析式子的求法 (1)代入法:(2)待定系数法: (3)换元法:(4)拼凑法:

b、定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 (1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数大于等于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)零次幂式的底数不等于零; (5)分段函数的各段范围取并集; (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合; (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. c、相同函数的判断方法;(定义域一致②对应法则一致

d.区间的概念:

e.值域 (先考虑其定义域) 5.分段函数

6.映射的概念

对于映射f:A→B来说,则应满足:

(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

注意:函数是特殊的映射。

7、函数的单调性(局部性质) (1)增减函数定义 (2)图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3)函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法: 取值; 作差; 变形; 定号; 结论. (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性:“同增异减”

注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

8、函数的奇偶性(整体性质) (1)奇、偶函数定义

(2)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

(3)利用定义判断函数奇偶性的步骤:

a、首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是非奇非偶的函数;若对称,则进行下面判断; b、确定f(-x)与f(x)的关系;

c、作出相应结论:若f(-x) = f(x), 则f(x)是偶函数;

若f(-x) =-f(x),则f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数. (4)函数的奇偶性与单调性

奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;

偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。 (5)若已知是奇、偶函数可以直接用特值

9、 基本初等函数

一、一次函数

二、二次函数:二次函数的图象与性质,注意:二次函数值域求法

三、指数函数

(一)指数

1、有理指数幂的运算法则

2、根式的概念

3、分数指数幂

正数的分数指数幂的 ,

(二)指数函数的性质及其特点

1、指数函数的概念:一般地,函数叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.

2、指数函数的图象和性质 a>1 0

定义域 R 定义域 R 值域 值域

在R上单调递增 在R上单调递减

非奇非偶函数 非奇非偶函数

函数图象都过定点(0,1) 函数图象都过定点(0,1)

四、对数函数

(一)对数

1.对数的概念:一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作:(— 底数,— 真数,— 对数式)

两个重要对数:

常用对数:以10为底的对数;

自然对数:以无理数为底的对数的对数.

(二)对数的运算性质 如果,且,,,那么:

·+;

-;

注意:换底公式

(,且;,且;). 利用换底公式推导下面的结论 (1);(2).

(三)对数函数

1、对数函数的概念:函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

2、对数函数的性质: a>1 0

定义域 定义域

值域为R 值域为R

在R上递增 在R上递减

函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0)

五、幂函数

1、幂函数定义:一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.

2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1);

(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;

(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.

10、方程的根与函数的零点

(1)函数零点的概念:对于函数 ,把使成立的实数叫做函数的零点。 (2)函数零点个数的求法:(代数法)求方程的实数根;(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. (3)二次函数的零点:判断 (4)二分法可用来求变号零点.