怎样利用逆推法来解题和出题

2022-09-10

为了给某种已经表现出来的结果寻找合理的依据, 必须追根溯源, 表现在思维上就是“从结论到前提”的逆推, 也就是从结论反回来追溯到条件。比如, 牛顿注意到了苹果落地而发现了万有引力, 海王星的发现, 是演绎法的一次伟大胜利, 也是逆推法的一次伟大胜利。

根据结论去寻求条件, 用逆向思维方式来解决问题的方法, 就是逆推法。逆推法, 是逆向思维在人们探究或解决问题时的具体表现之一。在数学教学中, 是经常用到的。然而, 从我听的一些公开课来看, 部分教师用得不够好, 在引导学生解题或根据学生课堂上的情况当堂出题补充训练时, 往往不是得心应手, 甚至事与愿违, 形成低效率课堂。怎样利用逆推法来解题和出题呢?下面举例来说明之。

一、用逆推法解题

例1、如图 (1) 所示, 有4段金链子, 每段3个环, 所给4段金链上的每个环都是封闭的, 要接合成一条项链。已知打开一个环要花2元钱, 封闭一个环要花3元钱。怎样才能只花15元钱就把4段金链子接合成项链?

分析:试设想一下将一个环打开, 将另一段金链子的一端的一个环套进, 再将打开的环封闭。而打开一个环再封闭这个环要5元钱, 只花15元钱, 就只能打开3个环。怎么办?我们不妨设想项链已经完全接合好, 再把它反过来分解为原来的样子 (原来每段金链三个环) , 将12个环形成的链从三个地方打开, 这样, 很自然地想到:打开的3个环处于项链的三等分位置处, 如图 (2) 所示 (图中打×处) 。由此, 我们知道办法了, 将原来的一段链子中的三个环都打开, 用这三个环去套另外三条链子就行了。

上面的例子告诉我们:在思考问题时, 可以先设想结果的存在, 再由结果出发追溯条件, 从而把问题解决。我们在解决几何作图题时, 往往是先设想要作的图已经作出, 观察图形的特性进行反推追溯, 看形成这个图形需要什么条件, 再根据条件作出图形。

上例中的条件“打开一个环要花2元钱, 封闭一个环要花3元钱”和“只花15元钱”给我们带来的线索就是“只能打开3个环”。所以, 上面的例子还告诉我们:用逆推法解题, 虽然是从结论返回追溯条件, 但也要注意已知条件所含的各种信息能够给我们带来什么线索, 从而使逆推的方向和目的更为明确。

我们在做几何证明题时, 往往要先分析, 而分析的方向, 往往是从结论出发进行逆推:看要想得到的结论是什么定理的结论, 接着去寻求这个定理的条件, 若题目中没有这个条件, 就把这个条件看着另一个定理的结论, 去寻求另一个定理的条件, 如此这般地逆推下去, 直到与题目中的条件接轨为止。因为数学题目中的结论, 往往是多个定理的结论,

二、用逆推法出题

怎样用逆推法出题呢?首先, 应明白一个道理:数学中的很多真命题的逆命题也是真命题, 很多定理, 都有逆定理。也就是由A可以推出B, 也可以由B推出A。接着是要多练, 不断提高自己的课堂应变能力。下面, 以我在教学中的案例说明之。

【案例一】我想出一道选择题, 考查学生利用一元二次方程解几何题的能力, 同时也想让学生巩固一下等边三角形的性质, 于是编写了下面一道题:

“如图, 点C在AD上, △ABC与△CDE都是等边三角形, B、E在AB的同侧, △BCE的面积为, 若AB=6, 且AC

这道题, 老师们一定不陌生, 可是, 我们虽然曾经见过, 但在出题时不一定还记得其中的一些数据, 这就涉及到自己在出题时自己给出有关数据。于是我令AD=6、AC=2, 然后去算出△BCE的面积为。这样, 数据由我给, 一是便于老师出题, 二是可以避免学生在计算中出现较繁的数据, 三是学生的答案对与否, 老师一看便知。

【案例二】我为了了解学生根据二次函数的解析式求其图象的顶点坐标、对称轴及图象与坐标轴的交点的掌握情况, 想在黑板上写出一个二次函数, 然后到学生中去看他们能否做正确, 于是我根据我想要的结果来写出二次函数。

首先, 在轴上想两个点写出y=a (x-1) (x-3) , 这样可同时确定抛物线的顶点的横坐标为2, 再令抛物线的顶点的纵坐标为4, 算出a, 从而写出二次函数的解析式为y=-4 (x-1) (x-3) 。由此, 拟定了下面的训练题:

“抛物线y=-4 (x-1) (x-3) 的对称轴是______、顶点坐标是______;这条抛物线与y轴的交点的坐标是________、与轴的交点的坐标是______。”

在【案例二】中, 数据由我给, 所给的数简单易算, 边想就边写出来了, 不费时;由于答案事先确定, 所以到学生中去看时, 学生做对没做对, 一目了然。

我在教学中, 类似的做法很多很多。比如, 讲过解一元二次方程后, 随手在黑板上写出几个方程, 让几个学生上讲台去做。我根据方程的解或方程的根的判别法则来写出方程, 考查学生的不同知识点。这样做, 写得快, 而且事先知道答案, 便于用更多的时间去查看学生做题和指导学生解题。

参考文献

唐以荣的《中学数学综合题解题规律讲义》和曾晓新的《中学数学的思维与解题方法》