两角和与差

两角和与差（精选六篇）

两角和与差 篇1

(一) 教材的地位及作用

本节课的内容是前面所学任意角的三角函数和诱导公式等知识的延伸, 同时又是两角和与差的正弦、正切及二倍角公式的基础.对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角函数问题的解决有重要的支撑作用.

(二) 教学重点与难点

设计依据:由于“两角和与差的余弦公式的推导及应用”对后几节内容能否掌握具有决定意义, 在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用, 因此它是本节的一个重点.由于两点间的距离公式与两角和的余弦公式的推导需要使用构造法解决, 所以二者推导是本节的难点.

1. 教学重点:两角和与差的余弦公式的推导和应用.

2. 教学难点: (1) 两点间距离公式的推导; (2) 两角和的余弦公式的推导.

二、教学目标分析

1. 知识目标

(1) 使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式;

(2) 使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导;

(3) 使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单问题.

2. 能力目标

(1) 培养学生的代数意识, 特殊值法的应用意识;

(2) 培养学生逆向思维的习惯和意识;

(3) 培养学生的观察能力, 逻辑推理能力和合作学习能力.

3. 情感目标

(1) 通过观察、对比体会公式的对称美, 给学生以美的陶冶;

(2) 培养学生不怕困难, 勇于探索的求知精神.

三、教学过程

创设情境———提出问题———探索尝试———启发引导———解决问题———指导应用.

设计意图创设情境有利于问题自然、流畅地提出, 提出问题是为了引发思考, 思考的表现形式是探索尝试, 探索尝试是思维活动中最有意义的部分, 激发学生积极主动地进行思维活动是我们每节课都应追求的目标.给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次, 反而能够提高思维的有效性.从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一.

(一) 课题引入

我设计了一组问题:

问题一:cos30°=, cos45°=, cos75°=.

问题二:cos75°=cos30°=cos45°正确吗?为什么?

引导学生思考和分组讨论得出结论:

问题三:那么cos (α+β) 与α, β的三角函数值有什么关系呢?这正是我们今天要研究的内容.揭示课题:两角和与差的余弦.

设计意图通过创设问题情境, 自然流畅地提出问题, 引出课题, 引发学生思考和分组讨论, 培养学生合作学习的习惯.使学生目标明确、迅速进入角色.

(二) 推导公式

接下来我又设计了一组问题:

问题一:已知∠α和∠β, 作出∠α, ∠α+∠β及∠-β的终边与单位圆的交点p2, p3, p4, 并分别求出交点p2, p3, p4的坐标?

问题二:线段|p1p3|和|p2p4|是否相等?为什么?

学生观察思考得出结论:|p1p3|=|p2p4|.

问题三:线段|p1p3|和线段|p2p4|的长度如何用坐标来表示?

接下来让学生看书, 并带着三个问题进行小组讨论:

问题1:如何表示同一坐标轴上两点间的距离?

问题2:如何表示不同坐标轴上两点间的距离?

问题3:如何表示坐标轴以外两点间的距离?

通过小组讨论得出平面内两点间的距离公式:

利用大家合作学习的成果 (即两点间的距离公式) 求出|p1p3|和|p2p4|, 并根据求出的结果, 利用等量关系将这个等式化简:

由|p1p3|=|p2p4| (同圆相等的圆心角所对弦相等) 及两点间距离公式, 得

展开整理合并, 得cos (α+β) =cosαcosβ-sinαsinβ, 这就是两角和的余弦公式. (其中α, β为任意角)

设计意图

1. 降低学生理解的难度, 为更好地推导出两角和的余弦公式.

2. 让学生自主学习、合作学习和分析解决问题的能力, 增强学生克服困难的信心, 享受成功的喜悦.

3.利用几何意义与代数意义的互换, 增强学生的数形结合思想, 让学生利用这个公式去解决开始提出的问题. (cos75°的值等于?)

四、小结

本节课我们学习了三个公式和一个特征.

案例《两角和与差的余弦》 篇2

——从《两角和与差的余弦》教学说起

运用问题组织课堂教学是教师经常使用的方式，优秀的教师都很善于运用问题去激发和聚合学生的学习活动。当然，问题的设计成为教学成败的关键，在许多课堂中，有大量无效问题而使学生思维活动受助，严重地影响着教学质量的提高。这就需要我们着力研究解决。

在数学概念教学中，反映概念本质属性、贯彻主题、明确任务的问题，我们一般称为“核心问题”。它属于课堂教学的问题，但赋予了新的含义。具体来讲，所谓概念教学“核心问题”是指在概念的认知过程中，既反映知识的发生发展过程、知识本质，又整合学习的重点内容，激发学生自主活动，还能贯穿整节课的主要问题或任务。课堂教学前，教师应该根据课程要求、结合学生实际，认真分析教材内容，积极设计有效的“核心问题”，一般应该形成“核心问题串”；课堂教学中，注意以“核心问题”组织课堂活动：（1）概念的引入。学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义，作用。因此，教师应设置合理的教学情景，使学生体会学习新概念的必要性。概念的引入，通常有两类：一类是从数学概念体系的发展过程引入，一类是从解决实际问题出发的引入。（2）概念的形成。教师可以通过大量典型、丰富的实例，让学生进行分析、比较、综合等活动，揭示概念的本质。（3）概念的概括。概括是概念教学的核心。概括就是在思想上把从某类个别事物中抽取出来的属性，推广到该类的一切事物中去，从而形成关于这类事物的普遍性认识。概念教学中把握好概念括概念这一环节，有利于学生概括能力的培养。概括概念就是让学生通过前面的分析，比较，把这类事物的共同特征描述出来，并推广到一般，即给概念下了个定义。（4）概念的验证。结论的正确性需要科学的论证。（5）明确概念。明确概念即明确概念的内涵和外延。明确概念，就是要明确包含在定义中的关键词语。（6）应用概念。在掌握概念的过程中，为了理解概念，需要有一个应用概念的过程，即通过运用概念去认识同类事物，推进对概念本质的理解。这是一个应用于理解同步的过程。（7）形成良好的数学认知结构。学习了一个新概念后，一定要把它与相关的概念建立联系，明确概念之间的关系，从而把新概念纳入概念体系中，即在概念体系中进行概念教学。下面以《两角和与差的余弦》一课为例来谈谈。

《两角和与差的余弦》这节概念课的核心问题是已知两个角的正、余弦值，如何求他们和与差的余弦值的问题。

如何设计这节课的核心问题？我是从这几点进行设计的。

1、概念引入中，核心问题的情境创设要具有真实性与仿真性（设计指向）

情境的真实性，首先是外部问题情境的真实性：核心问题的背景尽可能与学生身边真实的或仿真的生活情境、社会情境等相联系。其次是内部问题情境的真实性：问题是学生个体的真问题，而且是学生没见过、没想过、没参与过、没体验过的，或者能促进学生内心真实地形成一种悬而未决、又力图解决的认知冲突状态。

所以在引入部分我是这样提出问题的：(物理问题)2牛顿的力将一物体沿着光滑水平面位移了0.5米，力和位移所成角为15，试求该力所做的功。

学生会疑惑的看着老师，并报出答案：cos15。00

老师再问：准确值是多少呢？为什么等于620呢？如何求cos15？ 42、概念形成中，核心问题的解决活动要构成旧知与新知的桥梁（设计指向）

核心问题的解决活动应该构成一个旧知与新知的桥梁，当我们所设计的核心问题进而解决要求将已有的知识应用于新的实际问题解决中时，学生的内部问题情境就能顺利地产生。这样的情境可以帮助学生意识到自己原有知识不足以解决新的问题，从而激发学生对新知识的兴趣，激发学生对新知识的探索欲望。

上面的问题一抛出大部分学生提出用计算器，教师追问计算器是根据什么原理把一些非特殊角的三角比值算出的呢？

教室里立刻安静下来。

当学生束手无策时，教师适时提醒到，当我们遇到一个新问题无法解决时，可以想一想能否将问题转化问已解决的问题。15的三角比值我们不知道，但我们知道30,45,60等特殊角的三角比值。于是学生很自然的想到cos15cos(4530)cos(6045)，这

已知两个确定角的三角比值，如何求它们和与差的三角时老师提出我们这节课的教学目标：

比值呢？这节课来探究余弦值。

3、概念概括中，核心问题设计要具有层次性、可操作性和恰当的开放性（设计指向）力和知识水平参差不齐，在解决核心问题过程中，不同层次水平的学生解决问题的能力也不同。因此核心问题的设计要照顾到各种层次的学生。同时，核心问题也要具有可操作性，既不能太简单也不能太难。核心问题的提出既能使学生产生认知冲突，又能让学生觉得自己通过努力能解决，这样就会产生主动解决问题的愿望和调动积极地思维活动。核心问题的结构应具有开放性特征，不但一个问题之中多处呈现开放状态，而且解决路径和解决评价标准也往往是开放性的，给学生以足够的活动空间。

问题的设计太难学生会受阻失去信心，所以在探究公式过程中设计方案是：由特殊到一般。介于学生已知道cos15的值，所以教师提出两个问题

问题1：cos(4530)cos45cos30成立吗？ 00000000000000

30的三角比值，观察比照，试想它们是否有关系，如问题2：根据cos15的值及

45、果有，又是怎样的关系呢？

把核心问题特殊化启发学生思考，降低思维难度，调动学生的思维积极性。

学生猜想的结果有：

1、cos15cos4530000000

cos450cos45cos30 2002、cos15cos4530000sin450

cos45cos30 2003、cos15cos4530000

cos450 sin45cos302004、cos15cos4530000sin450

sin45cos30200

00005、cos15cos(4530)sin45cos30cos45sin30 0006、cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin30 00000007、cos15cos(6045)

再从特殊到一般把学生的思维层次提高。你猜想的结论对任意角都成立吗？ 000

30，请写出它们对应的一般式，并判断这些等式对于任意角都成即设45，立吗？

合作交流，最终发现cos()coscossinsin，没有找到反例。

所以猜想：cos()coscossinsin。00

)coscossinsin中学生初步的体会、的任意性。（在举例论证cos（）

4、概念的验证，核心问题的解决应具有科学性，准确性。

猜想并不是论证，举不出反例并不能说明它没有反例。要想说明结论的正确性必须给出科学的证明。

在上海版采取的是“坐标法”证明，这对于学生而言是陌生的，为了让学生能联系到建立直角坐标系，教师引导到：在初中我们学习了锐角三角比，到高中角的范围得到推广，推广到任意角，即任意角的三角比。锐角三角比的求解离不开直角三角形，那任意角的三角比的求解呢？离不开直角坐标系。同时复习任意角的三角比的定义„„。根据定义由角的终边上除原点外一点坐标可得这个角的三角比值，反之由角的三角比值及点到原

ysinxrcosr22点的距离r得点的坐标，即（其中rxy0）。即点Ayrsincosx

r的坐标为rcos,rsin。即角终边上到原点距离为r的点的坐标为rcos,rsin。特别注意角的始边位于x轴的正半轴。由此就想能否把代数证明转化为几何证明（数形结合）呢？大家先试试能否证到cos(4530)cos45cos30sin45sin30。观察等000000

式的特点，这是一个三角等式，一看角二看名。角有哪些？名有哪些？在直角坐标系中它们分别代表着什么？有着怎样的关系呢？

这时可进行小组合作交流方式探究学习。由于问题设计比较具体化学生便于探究，所以学生的积极性被调动起来了，每个学生都在积极的参与，效果很好。由于特殊情况的公式论证已攻破，有特殊到一般学生的学习方便了很多。

5、明确概念中，核心问题应能揭示问题的本质。

两角差的余弦公式的本质为：1）从内涵上说，它揭示了两角差的余弦等于这两个角的余弦之积与这两个角的正弦之积的和。2)从外延上说，由于角的任意性，我们可推断得两角和的余弦公式。当然还有后面即将学的两角和与差的正弦公式。

6、应用概念中，核心问题应具有实践性

理论来自于实践，最后还需回到实践中去，所以问题的解决不是结束，而是新的开始。在实践中我举出了这样一个典型例题：“若0

2，0

2，且

cos()41”这个题目一般有两种解法。一种是 2，sin，求cos的值。93

4cos()coscossinsin29解方程组2，但计算量大且可能会产生增 2sincos1

根。还有一种就是“拼凑角”，即

coscos[()]cos()cossin()sin。由于整节课的核心问题是如果我们已知两个角的各一个的三角比值及它们的终边位置，那我们能否求出它的和与差的余弦值。所以分析这道题目的特点，学生很快的想到的了第二种解法。

7、形成良好的数学认知结构。核心问题应使学生的知识网络更完善。

在课堂小结时除了知识和方法的小结，还引导学生分析公式的特点，要求cos()只要求、的正弦或余弦值，而根据同角三角比的关系，只要知道、的一个三角比值即可。再有同角三角比的关系研究的是同一个角的不同三角比之间的关系，而两角和与差的三角比研究的是由两个已知角派生出一个新的角，这个角的三角比与原来这两个角的三角比之间的关系。从研究的对象来看，角的研究范围更宽了等等。

两角和与差的正切公式的应用 篇3

一、正用

例1 已知tan (α+β) =3, tan (α-β) =5, 求tan2α与tan2β的值.

解析:注意到 (α+β) + (α-β) =2α, (α+β) - (α-β) =2β, 所以

undefined

例2 已知tanα, tanβ是方程x2+6x+7=0的两个根, 求证sin (α+β) =cos (α+β) .

解析:易知tanα+tanβ=-6, tanα+tanβ=7, 所以undefined, 所以sin (α+β) =cos (α+β) .

例3 在△ABC中, 已知tanA, tanB是方程undefined的两个根, 求内角C的度数.

解析:易知undefined, 所以undefined.因为A, B是三角形ABC的内角, 所以undefined

例4 已知tanα, tanβ是方程mx2+ (2m-3) x+ (m-2) =0的两根, 求tan (α+β) 的最小值.

解析:易知m≠0且Δ= (2m-3) 2-4m (m-2) ≥0, 解得undefined及m≠0.又undefined, 所以undefined.因为undefined且m≠0, 所以undefined, 即undefined

二、逆用

例5 求undefined的值.

undefined

例6 求undefined的值.

解析:原式undefined

例7 求undefined的值.

undefined

例8 已知undefined, 求undefined的值.

解析:undefined.所以undefined

三、变用 公式undefined可变形为tanα±tanβ=tan (α±β) (1∓tanαtanβ) .

例9 求undefined的值.

解析:由于undefined, 所以undefined

例10 求tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°的值.

解析:原式=tan30° (tan20°+tan40°) +tan40°tan20°=tan30°tan (20°+40°) (1-tan20°tan40°) +tan40tan20°=1-tan20tan40°+tan40tan20°=1.

例11 已知α+β=15°, 求

undefined的值.

undefined

例12 在△ABC中, undefined, 求A.

解析:由题设知undefined又tanB+tanC=tan (B+C) (1-tanBtanC) (1-tanBtanC≠0, 否则与条件不符) , 所以undefined, 所以undefined, 所以undefined

例13 在△ABC中, 若角A、B、C成等差数列, 求undefined的值.

解析:易知undefined.于是

undefined

例14 求 (1+tan1°) (1+tan2°) … (1+tan44°) 的值.

解析:因为 (1+tan1°) (1+tan44°) =tan1°+tan44°+tan1°tan44°+1=tan45° (1-tan1°tan44°) +tan1°tan44°+1=2.同理可得 (1+tan2°) (1+tan43°) =2, …, (1+tan22°) (1+tan23°) =2, 所以原式=222.

两角和与差 篇4

高一《两角和与差的三角函数》教学设计

【教材分析】

本节是北师大版高中必修四第三章2.1和2.2两角和与差的正弦、余弦函数（书第116页-118页内容），本节是在学生已经学习了任意角的三角函数和平面向量知识的基础上进一步研究两角和与差的三角函数与单角的三角函数关系，它既是三角函数和平面向量知识的延伸，又是后继内容两角和与差的正切公式、二倍角公式、半角公式的知识基础，起着承上启下的作用，对于三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明等有着重要的支撑。本课时主要讲授运用平面向量的数量积推导两角差的余弦公式以及两角和与差的正、余弦公式的运用。

【学情分析】

学生在本节之前已经学习了三角函数和平面向量这两章知识内容，这为本节课的学习作了很多的知识铺垫，学生也有了一定的数学推理能力和运算能力。本节教学内容需要学生已经具有单位圆中的任意角的三角概念和平面向量的数量积的表示等方面的知识储备，这将有利于进一步促进学生思维能力的发展和数学思想的形成。

【课程资源】

高中数学北师大版必修四教材；多媒体投影仪

【教学目标】

1、掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础；

2、让学生经历两角差的余弦公式的探索、发现过程,培养学生 的动手实践、探索、研究能力.3、激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.【教学重点和难点】 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用

教学难点：向量法推导两角差的余弦公式及公式的灵活运用

（设计依据：平面内两向量的数量积的两种形式的应用是本节课 “两角和与差的余弦公式推导”的主要依据，在后继知识中也有广泛的应用，所以是本节的一个重点。又由于“两角和与差的余弦公式的推导和应用”对后几节内容能否掌握具有决定意义，在三角变换、三角恒等式的证明、三角函数式的化简求值等方面有着广泛的应用，因此也是本节的一个重点。由于其推导方法的特殊性和推导过程的复杂性，所以也是一个难点。）

【教学方法】

情景教学法；问题教学法；直观教学法；启发发现法。

【学法指导】、1、注意任意角的终边与单位圆交点坐标、平面向量的坐标的表示以及平面向量的数量积的两种表示形式的复习为两角差的余弦的推导做必要的准备，并让学生体会感悟向量在解决数学问题中的工具作用(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。)；

2、突出诱导公式在三角函数名称变换中的作用以及变角思想让学生进一步体会数学的化归思想。

3、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察掌握公式的特点。

【教学过程】

教学流程为：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。

（一）创设情境，揭示课题

问题1： 同学们都知道，试问是否与相等？大家可以猜想是不是等于呢？下面我们就一起探讨两角差的余弦公式

【设计意图】通过问题情境，自然流畅地提出问题，揭示课题，引发学生思考。使学生目标明确、迅速进入新知学习。

（二）问题探究，新知构建

问题2：你能用与的三角函数值表示出这两个角的终边与单位圆的交点A和B的坐标吗？怎样表示？ 【师生活动】画单位圆在直角坐标系中画出单位圆并作出与角的终边与单位圆的交点，引导学生利用三角函数值表示出交点坐标。

【设计意图】通过复习使学生熟悉基础知识、特别是用角的正、余弦表示特殊点的坐标，为新课的推进做准备。

问题3：如何计算向量的数量积？

【师生活动】引导学生观察是的夹角，引发学生对向量的思考，并及时启发学生复习向量的数量积的的两种表示。

【设计意图】平复习面内两向量的数量积的几何法与代数法两种表示，从而使“两角差的余弦公式”的推证水到渠成。

问题4：计算cos15°和cos75°的值。

分析：本题关键是将分成45°与30°的和或者分解成45°与15°的差，再利用两角差的余弦公式即可求解。(学生板演)

【师生活动】引导学生初步应用公式

【设计意图】让学生熟练两角和与差的余弦公式，体会学生公式的实际应用价值，即：将非特殊角转化为特殊角的和与差。并引发学生对两角和的余弦公式的推证兴趣。

问题7：同学们都知道诱导公式cos（-β）=cosβ，sin（-β）=-sinβ，那么你会推导出

cos（α+β）=？

【师生活动】学生在老师的引导下自主推证两角和的余弦公式。

【设计意图】让学生在学习中体会感受化归思想和类比思想在新知识发现中的作用。

问题8：同学们已学过sinα=cos(-α)，那么你会运用这个

公式推证出sin（α-β）和sin（α+β）吗？

【师生活动】教师引导学生推导公式。

【设计意图】新知构建并体会转化思想的应用。

问题9：勾画书中两角和与差的三角函数公式并观察它们有什么特点？

两角和与差的余弦：

同名之积相加减，运算符号左右反

cos（α+β）= cosα cosβ-sinα sinβ

cos（α-β）= cosα cosβ+ sinα sinβ

两角和与差的正弦：

异名之积相加减，运算符号两相同

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ

sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ

【师生活动】学生总结公式特点，学习小组交流，教师总结公式结构特征。

【设计意图】让学生熟悉并掌握公式特征，如：教的顺序、函数的顺序、符号的规律。

（三）知识应用，熟悉公式

例

2、（1）求sin（-25π＼１２）的值；

（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．

【设计意图】进一步熟悉诱导公式、两角和与差的三角函数公式的特点及正逆应用。

例

3、已知求sin（α+β），cos（α-β）的值。

思维点拨：观察公式本题已知条件应先计算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意α，β的取值范围来求解．

【设计意图】训练学生思维的有序性，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确使用公式时要有什么准备，准备工作怎么进行等。还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的准确性、简洁性等。在教学过程中，对例3适当延伸，目的要求学生正确使用分类讨论的思想方法，在表述上也对学生有了更高的要求。

（四）自主探究，深化理解，拓展思维

变式训练1：如何计算？

【反思】本节学习的两角和与差的三角函数公式对任意角也成立吗？

变式训练2: 例3中如果去掉条件，对结果和求解过程会有什么影响？

变式训练3：下列等式成立吗？

cos（α+β）=cosα+cosβ

cos（α-β）=cosα-cosβ

sin（α+β）=sinα+sinβ

sin（α-β）=sinα-sinβ

【设计意图】通过变式训练与讨论进一步培养学生自主探究、合作学习交流的能力，以熟悉公式的变形运用并掌握两角和与差的正余弦公式的特征及应用。

（五）小结反思，评价反馈

1、本节学习的内容有哪些？

2、两角和与差的三角函数公式有什么特点？运用两角和与差的三角函数公式可以解决哪些问题？

3、你通过本节学习有哪些收获？

【设计意图】进一步熟悉公式，加深学生对公式的理解和认识，培养学生的归纳总结能力和交流表达能力，让学生获得成功体验。

（六）作业布置，练习巩固

书面：课本第121页A组1中间两题；2（2）（3）（4）B组2（2）

课后研究：课本第118页练习5;

【设计意图】巩固和理解知识，掌握两角和与差的三角函数公式。并引发学生对新知学习与探求的欲望和兴趣。

【板书设计】

两角和与差的正、余弦函数

公式

推导 例1

例2 例3

【教后反思】

本节教学设计首先通过问题情景阐述了两角差的余弦公式的产生背景，然后通过组织学生分析，讨论，并借助于单位圆中以原点为起点的两向量的数量积的两种表示，对α大于β使，cos(α－β)给出证明，进而用向量知识探究任意角的情形。这些均体现了数学中从特殊到一般的思想方法，符合新课改的基本理念。同时，例题1、2、3由浅入深，让学生在问题中探究，在探究中建构新知。使学生在已有基础上，充分利用归纳、类比等方法激发学生进一步探究的欲望，建立Cα±β模型，有利于学生数学思维水平的提高，同时及时巩固，应用，拓展延伸，加强了学生对新知的掌握和灵活运用。给学生思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性，从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一。但课后发现小结仓促，如果能再引导学生自我小结、反思。可能会更好．

【关于教学设计的思考】

1、本节课授课内容为《普通高中课程标准实验教科书²数学（4）》（北师大版）第三章第一节，本节课的教学重点是：两角和与差的余弦公式的推导和应用是本节的又一个重点，也是本节的一个难点。所以这节课效果的好坏，体现在对这两点实现的程度上，因此，例题、练习、作业应用绕这两方面设计。而平面内两向量的数量积的两种形式的应用又是推导两角差的余弦公式的关键；因此在复习近平面内两向量的数量积的两种形式是本节课必要的准备。

2、本节课采用“创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题”的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。在教学手段上使用多媒体技术，有效增加课堂容量。在教学过程环节，采用问题教学，再逐步展开的方式，能够充分调动学生的学习积极性，让学生的探索具有明确的目的性，减少盲目性。在利用平面内两向量的数量积的几何形式、代数形式建立等式，而得到两角差的余弦公式后，利用代数思想推出两角和的余弦公式，使学生进一步体会数学思想的深刻性。通过对公式的对比，可以加深学生对公式特征的印象，同时体会公式的线形美与对称美，给学生以美的陶冶。作业的布置中，突出了学生学习的个体差异现实，使学有余力的学生产生挑战的心理感受，也为下一节内容的学习做准备。

两角和与差 篇5

2002年版高中《数学第一册 (下) 》教科书中, 第34页推导两角和的余弦公式的方法如下:

如图, 在直角坐标系xOy内作单位圆O, 并作出角α, β与-β, 使角α的始边为Ox, 交⊙O于点P1, 终边交⊙O于点P2, 角β始边为OP2, 终边交⊙O于点P3, 角-β的始边为OP1, 终边交⊙O于点P4, 这时点P1、P2、P3、P4的坐标分别是

还可以如下作图:

如图, 在直角坐标系xOy内作单位圆O, 并作出角α和两个-β, 使角α的始边为Ox, 交⊙O于点P1, 终边交⊙O于点P2, 一个角-β始边为OP2, 终边交⊙O于点P3, 另角-β的始边为OP1, 终边交⊙O于点P4, 这时点P1、P2、P3、P4的坐标分别是

从而得到两角和的余弦公式.

点评:此方法是将终边与单位圆的交点坐标用三角函数值表示, 通过两点间距离公式找到等量关系, 推出公式.特别是方法二最后利用了整体代换的数学思想, 更能提高学生的思维能力和创新能力.

二、向量法

参见2007年版高中课标A版《数学》必修4教科书中, 第125页推导两角差的余弦公式的方法, 利用且α=β-θ+2kπ, k∈z, 得到cos (α-β) =cosαcosβ+sinαsinβ.这种方法体现了向量作为解题工具解决问题的优势, 简化了运算.

三、三角函数线法

可用三角函数线来证明, 先从简单的情况出发, 如图, 设角α、β为锐角, 且β<α, ∠xOP2=α+β, OM2就是角α+β的余弦线.

过点P2作P2A⊥OP1, 垂足为A.过点A作AB⊥x轴, 垂足为B, AN⊥P2M2, 垂足为N

对于Cα-β与Sα-β的推导还可以如下作出角α、β.

如图, 作出角α的正弦线和余弦线, 过点P2作P2A⊥OP1, 垂足为A.过点M2作M2N⊥OP1, 垂足为N, M2M⊥P2A, 交P2A的延长线于M.

点评:此方法的关键是将α、β或α±β的三角函数值用线段来表示, 构造直角三角形, 从而得到公式.但此方法是在α、β、α±β都是锐角, 且β<α的情况下得到的, 要推广到任意角还需要进行比较烦琐的运算.

四、面积法

如图所示, 作出角α、β的正弦线、余弦线.

点评:此方法是通过作出α、β的三角函数线, 利用图形中“面积”的关系得到公式.但此方法是在α、β都是锐角, 且β<α的情况下得到的, 要推广到任意角还需要进行比较烦琐的运算.

两角和与差 篇6

1.1学情分析

学生情况:笔者所在学校学生的数学基础较差, 数学思维能力较弱, 无法很好地把握数学问题的本质属性, 解决问题的能力不强, 需要老师的启发和引导.

教学进度:两角和与差的正切是高一学生在系统地学习了三角函数的两角和与差的正弦与余弦的基础上的后续知识, 它为进一步学习三角函数的半角和倍角公式奠定基础.

1.2教材分析

两角和与差的正切公式是借助两角和与差的正弦、余弦公式推导得出的, 通过该公式的导出, 让学生从中进一步领悟和体会各个公式之间的联系, 认清其本质, 正确把握其结构特点, 以便灵活运用;通过讲解例题, 让学生学会思考和分析问题, 总结方法, 提高数学能力.

教学目标:

(1) 知识与技能

①能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式, 了解它们的内在联系, 理解公式成立的条件;理解和掌握两角和与差的正切公式的各种变形, 培养学生观察、推理能力、化归与转化能力, 提高思维水平.

②掌握公式的正、逆向及变形运用, 选用恰当的公式解决问题, 以便顺利地利用它进行化简、求值、证明.

③能将简单的几何问题化归为三角问题, 培养学生的数学转换能力及分析问题的能力.

(2) 过程与方法

①揭示知识生成的背景, 以便在问题中深化知识, 引发学生学习兴趣.

②创设问题前景, 激发学生分析、探求的学习态度, 强化学生学习的参与意识.

③通过公式的推导及其成立条件的讨论, 让学生体会三角函数公式的内在联系, 领悟其连贯性和严谨性.

④通过讲解例题、总结方法、巩固练习等教学环节, 让学生在学习公式的应用过程中领会三角函数公式应用的灵活性和技巧性, 提高数学能力.

(3) 情感、态度与价值观

①通过学习公式的推导, 培养学生严谨的数学思维品质, 从而深刻全面认识和掌握两角和与差的三角函数.

②在理解掌握两角和与差的正切公式的各种变形及应用中提高学生的逆用思维能力, 从而提高学生学习数学的兴趣, 培养学生的创新意识和坚毅不拔执着追求的品质.

(4) 教学重点与难点

重点:T (α±β) 公式的运用.

难点:T (α±β) 公式的变形运用, 选用恰当的方法解决问题.

课题:两角和与差的正切.

2教学过程

2.1设置问题前景引入

问题1填空:已知sinα=3/5, 且α∈ (π/2, π) , 那么

cosα=______, tanα=______;

cos (α-π/3) =______ ;

sin (α+π/6) =______ ,

tan (α+π/6) =sin (α+π/6) /cos (α+π/6) =______ ;

tan (α-π/6) =sin (α-π/6) /cos (α-π/6) =______.

设计意图紧扣教材, 先复习同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦和余弦公式, 以旧知识引进新知识, 符合学生的认知规律.

2.2两角和与差的正切公式的推导 (提出新问题, 激活学生思维)

问题2由以上运算可知.若已知tanα=2, tanβ=3, 如何求的值?

设计意图引导学生思考如何利用同角三角函数的基本关系将 (sinαcosβ+cosαsinβ) / (cosαcosβ-sinαsinβ) 化归为tanα, tanβ, 从而推导出两角和与差的正切公式.按照最近发展区理论, 这是基于问题1作为“已知知识区”的学生认知水平起点上的问题设计, 既点燃学生思维的火花, 又能使他们自然地投入到后续知识的学习中.

问题3由以上的运算, 你能直接写出两角和与差的正切公式吗?

两角和的正切公式Tα+β:

tan (α+β) = (tanα+tanβ) / (1-tanαtanβ) .

问题4由tan (α+β) = (tanα+tanβ) / (1-tanαtanβ) 如何求tan (α-β) =?

学生回答:用-β代替β.

两角差的正切公式Tα-β:

tan (α-β) = (tanα-tanβ) / (1+tanαtanβ) .

问题5这两个公式成立的条件是什么?

在公式Tα+β, Tα-β中, α, β, α+β, α-β均不能等于kπ+π/2 (k∈Z) .

问题6两个公式中的分子、分母的结构有什么特点?

(1) 公式中右边是分式, 分子式是α与β的正切和 (差) , 分母是1与α, β的正切积的差 (和) .

(2) 公式中都是正切运算, 分子式加运算, 与左边的和 (差) 相同, 分母相反.

问题7公式的右边tanα+tanβ, tanα-tanβ, tanαtanβ表示什么意思?

它们分别表示两角正切的和、差、积, 而tanα+tanβ, tanαtanβ又常常与一元二次方程联系起来.

设计意图理解公式才能准确应用公式.设置以上几个问题的目的, 一是引导学生弄清成立的条件, 二是引导学生从结构上理解公式, 正确把握公式的本质, 为后面顺利应用公式解决问题奠定基础

2.3两角和与差的正切公式的应用

2.3.1正向运用公式求三角函数值

例1求tan75°, tan15°的值.

巩固练习求值:

(1) tan105°=?

(2) 已知tanx=2, tany=1/5, 则tan (x+y) =?tan (x-y) =?

(3) 已知tan2α=2, tan (β-α) =3, 则tan (α+β) =?

(4) 已知tanα=1/2, tan (α-β) =-2/5, 求tan (β-2α) .

设计意图找出条件角与目标角的关系是正确运用公式解题的关键, 而凑角是其中的重要技巧, 通过练习让学生善于发现其中隐含的角关系.

例2 (教材例题) 已知tanα, tanβ是方程x2+5x-6=0的两个根, 求tan (α+β) 的值.

一般情况已知一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0, a≠c) 的两个根, 求tan (α+β) 的值.

解由a≠0和一元二次方程根与系数的关系, 得

例3 (教材例题) 如图1, 三个相同的正方形相接, 求证:α+β=π/4.

问题8由正切函数值求角要注意什么问题?

设计意图细节决定成败.由三角函数值求角, 必须明确角的取值范围, 这也是学生经常忽略的问题, 也是培养学生严密数学思维的需要.此外例2还从整体出发让学生对两角和与差的正切公式的结构进行整体的认识和运用.例3则通过数形结合的方法将简单的几何问题化归为三角问题, 培养学生的数学转换能力及分析问题的能力.

巩固练习 (1) 已知α, β是锐角, 且tanα=1/2, tanβ=1/3, 求α+β的值.

(2) 已知α, β是锐角, tanα, tanβ是方程x2-7x-6=0的两个实数根, 求α+β的大小.

2.3.2逆向运用公式求三角函数值

问题9下列各题中角有什么关系?函数式的结构有什么特点?

例4求下列各式的值:

(1) (tan42°+tan18°) / (1-tan42°tan18°) ;

(2) (tan30°-tan75°) / (1+tan30°tan75°) .

巩固练习 (1) (tan12°+tan33°) / (1-tan12°tan33°) =?

(2) (tan72°-tan12°) / (1+tan72°tan12°) =?

(3) (tan5π/12-tanπ/6) / (1+tan5π/12tanπ/6) =?

设计意图通过寻找角的关系和分析函数式的结构, 发现其中的变与不变的规律, 为下面的变式训练和得出更一般性结论作铺垫, 也渗透由特殊到一般的数学思想方法, 符合学生的认知规律.

例5求证:.

巩固练习 (1+tan75°) / (1-tan75°) =?

问题10计算以下3个变式的结果, 你能否得出更一般性的结论?

例4变式1 (tan11°+tan34°) / (1-tan11°tan34°) =?

变式2 (tan14°+tan31°) / (1-tan14°tan31°) =?

变式3 (tan7°+tan38°) / (1-tan7°tan38°) =?

归纳一般结论当α+β=45°时 (角的关系) , (tanα+tanβ) / (1-tanαtanβ) =? (函数的关系)

同理, 当α+β=60°时, (tanα+tanβ) / (1-tanαtanβ) =?

当α-β=30°时, (tanβ-tanβ) / (1+tanαtanβ) =?

2.3.3利用两角和与差的正切公式的变式解题

问题11对上式作去分母的运算得到的变式是什么?

问题12类比上述公式的变式可得:tanα-tanβ-tan (α-β) tanαtanβ=?

设计意图利用两角和与差的正切公式的变式解题是教学难点, 其中一个难点就在于能够引导学生发现题目中隐含的角关系 (两角和或两角差等于特殊角) , 另一个难点是能发现题目中的函数结构关系 (tanα+tanβ, tanα-tanβ, tanαtanβ) 及函数值的关系.通过以上习题的设置, 让学生从简单到复杂, 从特殊到一般的分析、思考和训练提高拆角、拼角的技巧以及用已知角表示未知角的能力, 最终提高选用恰当的方法解决问题的能力.

2.4小结

2.4.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系

注 (1) 当α, β有一个角为π/2的整数倍时, 以利用诱导公式为简便.

(2) 在公式T (α+β) 和T (α-β) 中, α, β, α+β, α-β均不能等于kπ+π/2 (k∈Z) .

三角函数恒等变形实质是对角、函数名称的变化, 而转化的依据就是一系列三角公式, 如:①同角三角函数关系———可实现函数名称的转化;②诱导公式及和、差角的三角函数———可实现角的形式的转化.在应用公式时要注意它的逆向变换、多向变换, 即对公式要“三会”:正用、逆用、变用.要注意通过拆角、拼角的技巧用已知角表示未知角.

2.4.2利用两角和与差的正切公式解题要抓住两个关系

一是角的关系 (找出两角和或差的关系.若要求它们的三角函数值, 则它们的和或差必须是特殊角) ;二是函数的关系 (两角和或差的正切、两角正切的和或差、两角正切的乘积) .要理解公式的结构才能熟练运用好公式.作业1.已知tanθ=13, 则sin (45°-θ) /cos (45°-θ) =?

2.已知tanα=2, tanβ=3, 则tan (α+β) =?

3.已知tan (α+β) =4, tanβ=1, 则tan (α+2β) =?

4.已知tan (α-β) =12, tan (α+β) =2, 则tan2β=?

5. (tan50°+tan10°) / (1-tan50°tan10°) =?

6. (tan53°-tan23°) / (1+tan53°tan23°) =?

7. (tan67°+tan83°) / (1-tan67°tan83°) =?

8.tan20°+tan40°+=?

9.tan80°+tan70°-=?

10.tan50°-tan5°-tan50°tan5°=?

3教学反思

3.1以知识立意向能力立意的转变作为教学立意

本课教学始终贯彻“生本教育”理念, 教学的立足点是以学生的低起点为出发点, 意在让学生在学习新知识的同时着眼于数学能力的提升, 知识立意向能力立意的转变作为教学立意.设计的“问题串”与“变式串”的交替呈现, 这样体现了由简单到复杂, 由易到难, 由已知到未知的原则, 旨在提升学生的数学能力.

3.2课题引入体现低起点, 以学生为本, 以问题驱动

本课以复习求同角三角函数值作为研究的起点, 体现了教学设计与学生能力相匹配的低起点, 践行以学生为本的教学理念.教学过程中通过引入自然的问题前景, 设计合理的问题驱动知识深入发展, 处处激活学生的思维, 引发其学习兴趣, 并在问题的解决中渗透数学思想方法, 从中培养学生良好的思维习惯.

3.3按照“最近发展区理论”设计问题串体现教学设计的思维坡度与学生的数学能力相匹配