二次函数的应用教学设计专题

二次函数的应用教学设计专题（共6篇）

篇1：二次函数的应用教学设计专题

课题 ：第26章 二次函数 专项训练 抛物线的变换

教学背景：

二次函数是九年级下册数学中的重要教学内容，它从具体问题入手，通过实例巩固学生所学的知识。让学生通过平移旋转的特征，充分感受求解析式的重要性。

教学目标：

1、知识目标：学生能够利用平移旋转的特征；能够二次函数的关系式，从而熟练运用数形结合的方法解决问题。

2、技能目标：培养学生根据平移旋转的实际情况求二次函数关系式进行而解决问题的能力，引导学生把平移旋转实际化，即建立数学模型解决实际问题。

3、情感目标：经历“问题情境——自主探究——交流与讨论——猜想结论——得出结论”的数学思维、活动过程，体验成功的喜悦，感受数学与实际生活的紧密联系，增加学习数学的兴趣。

教学重点：利用平移旋转的特征感受二次函数关系式的变换规律 教学难点：利用平移旋转求二次函数关系式 教学用具：多媒体 教学过程：

一、引入练习：

1.点的坐标关于X轴对称坐标的特点，Y轴对称坐标的特点，原点对称坐标特点。

二、专项训练一

抛物线的平移

类型之一 抛物线与平移 1．下列二次函数的图象，不能通过函数y＝3x2的图象平移得到的是(D)A．y＝3x2＋2 B．y＝3(x－1)2 C．y＝3(x－1)2＋2 D．y＝2x2 2．(2015·临沂)要将抛物线y＝x2＋2x＋3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法正确的是(C)A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

3．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后抛物线的解析式是(C)A．y＝(x＋1)2－1 B．y＝(x＋1)2＋1 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x－1)2－1

14．如图在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2经过平移得21到抛物线y＝x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴2影部分的面积为(B)A．2 B．4 C．8 D．16

15．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝－x2＋1向上平2移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式1是__y＝－(x＋1)2＋4__． 26．已知二次函数y＝3x2的图象不动，把x轴向上平移2个单位长度，那么在新的坐标系下此抛物线的解析式是__y＝3x2－2__． 7．在平面直角坐标系中，平移抛物线y＝－x2＋2x－8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式：__y＝－x2＋2x(答案不唯一)__．

8．(2015·岳阳)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的给纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是__③④__．(填序号)①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.19．如图，点A(－1，0)为二次函数y＝x2＋bx－2的图象2与x轴的一个交点．(1)求该二次函数的解析式，并说明当x＞0时，y值随x值变化而变化的情况；(2)将该二次函数图象沿x轴向右平移1个单位，请直接写出平移后的图象与x轴的交点坐标．

类型之二 抛物线与轴对称 10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1.下列结论中错误的是(D)A．abc＜0 B．2a＋b＝0 C．b2－4ac＞0 D．a－b＋c＞0

11．如图所示，在一张纸上作出函数y＝x2－2x＋3的图象，沿x轴把这张纸对折，描出与抛物线y＝x2－2x＋3关于x轴对称的抛物线，则描出的这条抛物线的解析式为__y＝－x2＋2x－3__．

类型之三 抛物线与旋转 12．将二次函数y＝x2－2x＋1的图象绕它的顶点A旋转180°，则旋转后的抛物线的函数解析式为(C)A．y＝－x2＋2x＋1 B．y＝－x2－2x＋1 C．y＝－x2＋2x－1 D．y＝x2＋2x＋1 13．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x＋3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是(B)A．y＝－(x＋1)2＋2 B．y＝－(x－1)2＋4 C．y＝－(x－1)2＋2 D．y＝－(x＋1)2＋4 14．把二次函数y＝(x－1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为__y＝－(x＋1)2－2__．

15．在平面直角坐标系中，将抛物线y1＝x2－4x＋1向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线y2，然后将抛物线y2绕其顶点顺时针旋转180°，得到抛物线y3.(1)求抛物线y2，y3的解析式；(2)求y3＜0时，x的取值范围；(3)判断以抛物线y3的顶点以及其与x轴的交点为顶点的三角形的形状，并求它的面积．

篇2：二次函数的应用教学设计专题

《数形结合在二次函数中的应用》课后反思

一方面由于参加了教研中心组织的初三教师解题能力测试，另外参加了李梁老师关于初高中内容衔接的讲座，使我进一步认识到在平时的教学中渗透一些初高中衔接的内容对培养学生能力是很有帮助的。另一方面，我做了天津市07—09年中考题，尤其是二次函数的综合题，我发现用数形结合的方法会比用纯代数的方法容易很多。再者我认为学生具备较强的数形结合意识会对目前解决综合题提供较大帮助。因此我着手设计本节课。其实本节课在实施过程中，我发现学生对于这个有难度的内容对自己的确没有信心，其实学生在下面做对了，但害怕说错了。另外，由于有听课老师，学生表现出来的课堂气氛没有平常活跃。致使最后一道题没有彻底解决，从而给本节课留下了一个悬念。另外，就课上两个学生的疑问，还是说明学生对这节课的内容感到有难度。我在课后会带着学生进一步探讨问题的本质，争取让班内绝大多数同学都能对本节课有进一步的理解。

在本节课设计的过程中，的确得到了很多同仁的帮助和支持，从本节课设计伊始，雷老师就全程给予我们关心和指导。我们专家听课组的于老师也的确给予了我很多帮助。从选题到讲法都给予了我很多细致如微的指导。在此我一并表示感谢。

篇3：二次函数的应用教学设计专题

1.函数是初等数学中最基本的概念之一, 贯穿于整个初等数学体系之中, 也是实际生活中数学建模的重要工具之一.二次函数在初中函数的教学中有重要地位, 它不仅是初中代数内容的引申, 更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础.在历届中考试题中, 二次函数几乎是压轴题中不可缺少的内容;

2.二次函数的图象和性质体现了数形结合的数学思想, 对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用;

3.二次函数与一元二次方程、不等式等知识的联系, 使学生能更好地将所学知识融会贯通.

二、中考要求

1.能描述二次函数的特征和由来, 明确地阐述二次函数与有关对象之间的区别和联系;

2.能在理解的基础上, 把二次函数的图象及性质运用到新的情境中;

3.参加特定的数学活动, 在具体情境中初步认识二次函数的特征, 获得一些经验.

三、学情分析

1.初三学生在新课的学习中已掌握二次函数的定义、图象及性质等基本知识;

2.学生的分析、理解能力较学习新课时有明显提高;

3.学生具有一定的自主探究和合作学习的能力;

4.学生能力差异较大, 两极分化明显.

四、教学目标

1.认知目标

掌握二次函数y=ax2+bx+c图象与系数符号之间的关系.

2.能力目标

(1) 能根据题目给出的已知条件, 求出二次函数的解析式;

(2) 能准确说出二次函数图象的顶点、开口方向、对称轴;

(3) 熟练应用二次函数y=ax2+bx+c的图象性质;

(4) 使学生掌握类比、转化等学习数学的方法, 养成既能自主探索, 又能合作探究的良好学习习惯.

3.情感目标

在教学中渗透美的教育, 渗透数形结合的思想, 让学生在数学活动中学会与人相处, 感受探索与创造, 体验成功的喜悦.

五、教学重点与难点

1.根据不同的已知条件, 正确求出二次函数的解析式;

2.在综合题目中, 熟练运用二次函数的图象性质.

六、教学方法

1.师生互动探究式教学.以教学大纲为依据, 渗透新的教育理念, 遵循教师为主导、学生为主体的原则, 结合初三学生的求知心理和已有的认知水平开展教学.形成学生自动、生生助动、师生互动, 教师着眼于引导, 学生着眼于探索, 侧重于学生能力的提高、思维的训练.同时考虑到学生的个体差异, 在教学的各个环节中进行分层施教, 让每一个学生都能获得知识, 提升能力;

2.采用中考真题有关二次函数的试题作为例题, 让学生提前接触中考;

3.运用多媒体、真题、学案进行辅助教学, 既让学生在听课的过程中动手、动脑, 又丰富了课堂的内容, 有利于突出重点、分散难点, 更好地提高课堂效率.

七、学法指导

1.学法引导

学法突出自主学习、研讨发现.知识是通过学生自己动口、动脑, 积极思考、主动探索获得, 学生在讨论、交流、合作、探究活动中总结方法和规律.在活动中注重引导学生体会用类比和数形结合的方法扩展知识的过程, 培养学生学习的主动性和积极性.

2.学法分析

新课标明确提出要培养“可持续发展的学生”, 因此教师要有组织、有目的、有针对性地引导学生参与到学习活动中, 鼓励学生采用自主学习, 合作交流的研讨式学习方式, 培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯与能力, 使学生真正成为学习的主人.

3.设计理念

《大纲》要求, 教师在教学过程中应与学生积极互动、共同发展, 要处理好传授知识与培养能力的关系, 关注个体差异, 满足不同学生的学习需要.

4.设计思路

直击中考压轴题当中有关二次函数的部分, 通过复习旧知识, 拓展学生思维, 提高学生学习能力, 增强学生分析问题, 解决问题的能力.

八、教学过程

1.教学环节设计

根据中考压轴题的特点, 紧紧抓住其内在联系, 运用类比、联想、转化的思想, 突破难点.本节课的教学设计环节:

(1) 创设情境, 引入新知

复习旧知识的目的是对学生新课应具备的“认知前提能力”和“情感前提特征”进行检测判断, 学生自主完成, 不仅体现学生的自主学习意识, 调动学生学习积极性, 也能为课堂教学扫清障碍.为了更好地掌握根据已知条件求二次函数解析式的方法, 根据不同学生的学习需要, 按照分层递进的教学原则, 设计安排了5个由浅入深的练习题.让每一个学生都能为下一步的探究做好准备.

(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

顶点D的坐标有以下两种解法:

例2 (2012, 深圳中考) 如图, 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A (-4, 0) 、B (1, 0) 、C (-2, 6) .

(1) 求经过A、B、C三点的抛物线解析式;

解法一:利用二次函数两点式求解.

解:∵抛物线经过点A (-4, 0) 、B (1, 0) ;

∴设函数解析式为:y=a (x+4) (x-1) .

又抛物线经过点C (-2, 6) .

∴6=a (-2+4) (-2-1) .解得:a=-1.

∴经过A, B, C三点的抛物线解析式为:

解法二:利用二次函数一般式求解, 运用待定系数法列方程作答.

∵抛物线经过A (-4, 0) 、B (1, 0) 、C (-2, 6)

∴设函数解析式为y=ax2+bx+c.

∴函数解析式为y=-x2-3x+4.

例3 (2013, 山东中考) 已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A (2, 0) , 与y轴的交点为B (0, -1) .

(1) 求抛物线的解析式;

解:利用二次函数顶点式求解.

∵抛物线的顶点是A (2, 0) ,

∴设抛物线的解析式为y=a (x-2) 2.

(2) 拓展思维, 深入中考

本环节通过设置开放性例题, 发散学生思维, 帮助学生全面分析二次函数的性质.让学生在教师的引导下, 独立思考, 相互交流, 培养学生自主探索, 合作探究的能力.通过学生观察、思考、交流, 经历发现过程, 加深对重点知识的理解.

(1) 运用知识, 体验成功

根据不同层次的学生, 同时配有由低到高、层次不同的巩固性练习, 体现渐进性原则, 希望学生能将知识转化为技能.让每一个学生获得成功, 感受成功的喜悦, 安排三个层次的练习.

A.基本练习:通过反馈使学生掌握重点内容;

B.综合练习:将新知识纳入已有知识体系, 发展学生思维的机智性与灵活性;

C.提高练习:既培养学生运用知识的能力, 又培养学生的创新意识.

(2) 知识深化, 应用提高

引导学生对内容进行梳理, 将知识系统化, 条理化, 网络化, 对获取新知识过程中体现出来的数学思想、方法、策略进行反思, 从而加深对知识的理解, 并增强学生分析问题, 运用知识的能力.

(3) 归纳小结、形成结构

把“反馈———调节”贯穿于整个课堂, 教学结束, 应针对教学目标的层次水平, 进行测试, 对尚未达标的学生进行补救, 以消除错误的积累, 从而有效地控制学生学习上的两极分化.由学生总结、归纳、反思, 加深对知识的理解, 并且能熟练运用所学知识解决问题.

(1) 若抛物线过点C (-1, -2) , 求实数a的值和抛物线的解析式;

(2) 在 (1) 的条件下, 解答下列问题:

(1) 求△ABD的面积;

(2) 在抛物线的对称轴上找出一点P, 使PB+PD的值最小, 写出点P的坐标.

由于点P在对称轴上, 根据二次函数性质, A、B关于对称轴对称, 即PA=PB.所以求PB+PD最小值, 即求PA+PD最小值, 根据三角形两边之和大于第三边可知, 当P、A、D三点共线时, PA+PD的值最小, 恰等于线段AD的长度.

例5某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场, 鸡场的一边靠墙, (墙长25m) 另外三边用木栏围成, 木栏长40 m.

(1) 若养鸡场面积为168 m2, 求鸡场垂直于墙的一边AB的长.

(2) 请问应怎样围才能使养鸡场面积最大?最大的面积是多少?

(3) 养鸡场面积能达到205m2吗?如果能, 请给出设计方案, 如果不能, 请说明理由.

解: (1) 设鸡场垂直于墙的一边AB的长为x m, 则

解得:x1=14, x2=6.

∵墙长25 m, ∴0≤BC≤25.

即0≤40-2x≤25, 解得7.5≤x≤20

答:鸡场垂直于墙的一边AB的长为14米.

(2) 围成养鸡场面积为S, 则

∴当x=10时, S有最大值200.

即鸡场垂直于墙的一边AB的长为10m时,

围成养鸡场面积最大, 最大值200m2.

(3) 不能, 由 (2) 可知养鸡场面积最大值200m2,

故养鸡场面积不能达到205m2.

(另外可用方程, 利用判别式来做)

小结:

(1) 本节课突出强调了二次函数在中考压轴题里的重要性;

(2) 强化学生在中考压轴题中一些必要部分的解题能力和计算能力;

(3) 让初三学生在主动动手、动脑的过程中贴近中考.

2.作业设计

课外作业分必做题、选做题, 体现分层思想, 通过作业, 内化知识, 检验学生掌握知识的情况, 发现和弥补教与学中遗漏与不足.同时, 选做题具前瞻性, 可引导学生进行自学探究.

课后作业

第1题如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线y=ax2+bx+c经过A (-2, -4) , O (0, 0) , B (2, 0) 三点.

(1) 求抛物线y=ax2+bx+c的解析式; (必做)

(2) 若点M是该抛物线对称轴上的一点, 求AM+OM的最小值. (选做)

(1) 求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (必做)

(2) 判断△ABC的形状, 证明你的结论; (必做)

(3) 点M (m, 0) 是x轴上的一个动点, 当MC+MD的值最小时, 求m的值. (选做)

篇4：浅析二次函数在高中教学中的应用

【关键词】二次函数；基本性质；不等式；导数；解析几何

一、深抓概念，牢固掌握二次函数基础知识

在初中阶段就对函数的定义进行了相应的阐述，指出而随着高中知识的深入，对函数的概念通过从映射的角度进行了从新解释，但仍具有普通函数的基本素和特性等。本文以二次函数的概念和基础知识为例，加固对基础知识概念的理解。即二次函数是从一个集合A（定义域）按照一定的对应关系f映射到集合B（值域）中，使集合B中元素y与集合A中的元素x按照y=ax2+bx+c（a≠0）的关系对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0），学生只有深刻掌握基本概念后才能做到更好的应用。例如对以下问题的求解：

类型I：已知f（x+1）=x2-4x+1求f（x）

分析：对于此例题的求解如果充分掌握理解函数的概念定义，找出那个是自变量，那个是因变量，并判断出它们之间的对应关系，那么此问题便很好解决。因此可从两个方面入手结果此问题：①将所给表达式通过配方法转换成x+1的表达式：f（x+1）=（x+1）2-6（x+1）+6，然后将函数中的自变量x+1用x替代，即为所求表达式f（x）=x2-6x+6。②直接用变量换元的方法假设t=x+1，那么x=t-1，带入所给表达式可知f（t）=t2-6t+6，因此f（x）=x2-6x+6。

二、二次函数基本性质的应用

在高中阶段对基本性质的考察主要围绕着二次函数的单调性、奇偶性和有界性（最值问题）等方面，而对单调性和有界性的考察最为常见，因此，必须让学生对基本性质的应用熟练掌握，尤其是单调性和有界性相结合的系统考察。

类型II：已知函数f（x）=x2-2x+3，求函数在区间[m，m+1]内的最小值。

分析：由函数图像可知，对称轴为x=1，在区间（-∞，1]上是递减函数，在[1，+∞）上是增函数，而区间[m，m+1]中m的数值不确定，那么应当对所求区间的大小和1进行分类讨论，以便求出最小值点。

解：根据函数f（x）的图像可知，对称轴为x=1，那么f（x）在x=1时取得最小值为fmin（x）=f（1）=2。当m<0时，那么fmin（x）=f（m+1）=m2；当0≤m≤1时，那么fmin（x）=2；当m>1时，那么fmin（x）=f（m）=m2-2m+1。

三、二次函数在二次方程和二次不等式中的应用

在高中阶段针对求解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的问题比较普遍，在求解过程中往往转化成函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的零点求解问题，而对于二次不等式的求解问题主要是先转换成二次方程根的求解，然后在坐标轴上画出根的位置，最后根据所求不等式的范围确定所取x值的范围，即是所求不等式的范围，但值得注意的是在求解过程中一定要求学生对二次函数定义域、值域、单调性等概念的熟练掌握理解透彻。

类型III：已知函数f（x）=（4-3a）x2-2x+a，若0≤x≤1，x为自变量，a为常数，证明当a>■时，f（x）≤a。

分析：根据所给的已知条件，判断出4-3a和0之间的关系，然后确定函数图像的确切开口方向和精确的对称轴位置，然后利用二次函数的单调性和有界性进行求解分析。

证明：根据已知条件a>■可知，4-3a<0，且函数f（x）的对称轴为x=■<0，那么当x的取值小于等于对称轴时，函数f（x）在相应的确定区间内单调递增函数，当x的取值大于对称轴时，函数f（x）在相应的区间上是递减函数，故函数f（x）在区间[0，1]上时为单调递减函数，即f（x）≤fmax（x）=f（0）=a。

四、二次函数在导数中的应用

针对二次函数在导数中的应用，考察最多的就是极值、最值问题，但必须注意在特殊点的可导性问题，这也是很多学生最容易出现问题的地方。

类型IV：已知函数f′（x）=3x2+2x，求f（x）在何处取极小值

分析：题目已经给出了函数f（x）的表达式，只需求出f′（x）=0的点和判断出在不同范围内的单调性即可求出函数f（x）的极值。

解：当f′（x）=3x2+2x=0时，解得x1=0，x2=-■，当x在（-∞，-2/3）区间时，f′（x）>0，故函数f（x）在相应的区间上单调递增；当x∈（0，-■），f′（x）<0，故函数f（x）在相应的区间上单调递减；x∈（0，+∞）时，f′（x）>0，故函数f（x）在相应的区间上单调递增，因此函数f（x）在x=0时取极小值f（0）=0。

五、二次函数在解析几何中的应用

二次函数在解析几何中的应用在高考题中往往出现在压轴题或高档题中，主要考察位置关系、最值和轨迹问题，在解决直线和所给曲线的位置关系问题时，主要是考察两个曲线方程组成的二次函数有无实数根或几个实数根的问题，应当注意的是，针对此综合性的问题应当充分利用好数形结合和分类讨论的方法。

类型V：探究直线y=kx+1和双曲线x2-y2=1交点的个数。

分析：根据所给的已知条件，此题目主要考察的是交点的个数，实际上讨论的组成的一元函数方程根的问题，然后充分利用韦达定理和分类讨论的方法便可解答。

解：由已知条件，将上述两个方程联立消去自变量y得（1-k2）x2-2kx-2=0。那么当1-k2=0，故组成的函数方程只有一个根，在直线和双曲线的公共交点处取得。当1-k2≠0时，根据韦达定理可知，判别式△=b2-4ac=8-4k2；①当△=8-4k2>0时，组成的二次函数有两个实数根，故直线和双曲线有两个交点；②当△=8-4k2=0时，组成的二次函数有且只有一个实数根，且在直线和双曲线的切点出取得；③当△=8-4k2<0时，组成的二次函数没有实数根，那个直线和双曲线没有交点。

六、结束语

二次函数贯穿于初高中的整个学习阶段，且在每年高考中都已较高的频率出现，且考试的重点往往将二次函数结合别的相关知识点结合起来进行的考察。故在高中能熟练掌握运用二次函数的知识点极为重要。本文列举的二次函数相关应用例子，希望能对学生的学习起到帮助作用。

【参考文献】

[1]董金茂.二次函数在高中数学教学中的应用[J].吉林教育，2016第1期P15

篇5：专题六 二次函数的最值问题

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

专题六 二次函数的最值问题 【要点回顾】

1．二次函数yaxbxc(a0)的最值．

二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况 24acb2b当a0时，函数在x处取得最小值，无最大值；

4a2a4acb2b当a0时，函数在x处取得最大值，无最小值．

4a2a2．二次函数最大值或最小值的求法．

第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值． 3．求二次函数在某一范围内的最值．

如：yaxbxc在mxn（其中mn）的最值． 第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：xx0； 第二步：讨论：

[1]若a0时求最小值或a0时求最大值，需分三种情况讨论：

①对称轴小于m即x0m，即对称轴在mxn的左侧；

②对称轴mx0n，即对称轴在mxn的内部；

③对称轴大于n即x0n，即对称轴在mxn的右侧。[2] 若a0时求最大值或a0时求最小值，需分两种情况讨论： 2mn，即对称轴在mxn的中点的左侧； 2mn②对称轴x0，即对称轴在mxn的中点的右侧；

2①对称轴x0说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，【例题选讲】

例1求下列函数的最大值或最小值．

（1）y2x3x5；（2）yx3x4．22

专题强化训练

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

例2当1x2时，求函数yxx1的最大值和最小值．

例3当x0时，求函数yx(2x)的取值范围．

2125xx的最小值(其中t为常数)． 22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

125解：函数yxx的对称轴为x1．画出其草图．

22125(1)当对称轴在所给范围左侧．即t1时：当xt时，ymintt；

22125(2)当对称轴在所给范围之间．即t1t10t1时： 当x1时，ymin113；

22(3)当对称轴在所给范围右侧．即t11t0时：当xt1

151ymin(t1)2(t1)t23．

222例4当txt1时，求函数y

122t3,t0综上所述：y3,0t1

15t2t,t122例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x,30x54．

(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；

(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

【巩固练习】

1．抛物线yx(m4)x2m3，当m= _____ 时，图象的顶点在y轴上；当m= _____ 时，图象的顶点在x轴上；当m= _____ 时，图象过原点． 2

专题强化训练

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

2．用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 3．设a0，当1x1时，函数yxaxb1的最小值是4，最大值是0，求a,b的值．

4．已知函数yx2ax1在1x2上的最大值为4，求a的值．

5．求关于x的二次函数yx2tx1在1x1上的最大值(t为常数)．

222专题六 二次函数的最值问题 参考答案

22例1分析：由于函数y2x3x5和yx3x4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解：（1）因为二次函数y2x23x5中的二次项系数2＞0，所以抛物线y2x23x5有最低点，即函数有最小值．

334949 因为y2x23x5=2(x)2，所以当x时，函数y2x23x5有最小值是．

48482（2）因为二次函数yx3x4中的二次项系数-1＜0，所以抛物线yx23x4有最高点，即函数有最大值．

因为yx23x4=(x2532253，所以当x时，函数yx23x4有最大值．)4242例2解：作出函数的图象．当x1时，ymin1，当x2时，ymax5．

说明：二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

专题强化训练

专题六

二次函数的最值问题

初高中衔接教材

例3解：作出函数yx(2x)x2x在x0内的图象．

可以看出：当x1时，ymin1，无最大值．所以，当x0时，函数的取值范围是y1． 例5解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(x30)元，那么m件的销售利润为ym(x30)，又m1623x． y(x30)(1623x)3x2252x4860,30x54

(2)由(1)知对称轴为x42，位于x的范围内，另抛物线开口向下

当x42时，ymax3422252424860432

当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．

【巩固练习】

l22311．4 14或2，2．m 3．a2,b2． 4．a或a1．

篇6：二次函数的应用教学设计专题

专题17二次函数的面积问题

【考点1】二次函数的线段最值问题

【例1】（2020·湖北荆门·中考真题）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．

（1）求直线的解析式及抛物线顶点坐标；

（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；

（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式．

【答案】（1）直线的解析式为，抛物线顶点坐标为；（2）当时，的最大值为；

；（3）．

【分析】

（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；

（2）过点D作轴于E，则．求得AB=5，设点P的坐标为，则点D的坐标为，ED=x，证明，由相似三角形的性质求出，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点P的坐标；

（3）设平移后抛物线的解析式，将L′的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设，则是方程的两根，得到，点A为的中点，可求得m的值，即可求得L′的函数解析式．

【详解】

（1）在中，令，则，解得，∴．

令，则，∴．

设直线的解析式为，则，解得：，∴直线的解析式为．，∴抛物线顶点坐标为

（2）如图，过点D作轴于E，则．

∵，∴，设点P的坐标为，则点D的坐标为，∴．

∵，∴，∴，∴，∴．

而，∴，∵，由二次函数的性质可知：

当时，的最大值为．，∴．

（3）设平移后抛物线的解析式，联立，∴，整理，得：，设，则是方程的两根，∴．

而A为的中点，∴，∴，解得：．

∴抛物线的解析式．

【点睛】

本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．

【变式1-1】（2020·前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学九年级期中）如图，二次函数的图象交x轴于点，交y轴于点C．点是x轴上的一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）①若点P仅在线段上运动，如图1．求线段的最大值；

②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）①，②存在，【分析】

（1）把代入中求出b，c的值即可；

（2）①由点得，从而得，整理，化为顶点式即可得到结论；

②分MN=MC和两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．

【详解】

解：（1）把代入中，得

解得

∴．

（2）设直线的表达式为，把代入．

得，解这个方程组，得

∴．

∵点是x轴上的一动点，且轴．

∴．

∴

．

∵，∴此函数有最大值．

又∵点P在线段上运动，且

∴当时，有最大值．

②∵点是x轴上的一动点，且轴．

∴．

∴

（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，∵C（0，-3）

∴MC=

∴

整理得，∵，∴，解得，∴当时，CQ=MN=，∴OQ=-3-()=

∴Q(0，)；

当m=时，CQ=MN=-，∴OQ=-3-(-)=

∴Q(0，)；

(ii)若，如图，则有

整理得，∵，∴，解得，当m=-1时，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）

综上所述，点Q的坐标为

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．

【变式1-2】如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）．

（1）求顶点A的坐标

（2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标；

（3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（，）；（3）.【解析】

【分析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；

（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q，求出直线BP的解析式，表示出点Q的坐标，根据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得P点坐标；

（3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与OA的解析式，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．

【详解】

解：（1）把B（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m2得：﹣3=﹣32+3m+m2，解得m=2，∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1，∴顶点A的坐标是（﹣1，1）；

（2）过点P作y轴的平行线交OB与点Q.∵直线OB的解析式为y=﹣x，故设P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n），∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n，∴S△OPB=（﹣n2+3n）=﹣（n﹣）+，当n=时，S△OPB的最大值为．

此时y=﹣n2+2n=，∴P（，）；

（3）∵直线OA的解析式为y=x，∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a，联立，∴﹣（x﹣a）2+a=x，∴x1=a，x2=a﹣1，即C、D两点间的横坐标的差为1，∴CD=．

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一次函数的交点问题，难度适中，是常见题型.【考点2】二次函数的面积定值问题

【例2】已知二次函数．

（1）图象经过点时，则_________；

（2）当时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；

（3）以抛物线的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形（M，N两点在抛物线上），请问：的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）4；（2）m≥2；（3）的面积是与m无关的定值，S△AMN＝.【解析】

【分析】

（1）将点代入二次函数解析式即可求出m；

（2）求出二次函数的对称轴为x＝m，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，可求出m的取值范围；

（3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到△AMN的面积是与m无关的定值．

【详解】

解：（1）将点代入可得：，解得：m=4；

（2）二次函数的对称轴是：x＝m，∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，∴m≥2；

（3）的面积是与m无关的定值；

如图：顶点A的坐标为（m，−m2＋4m−8），△AMN是抛物线的内接正三角形，MN交对称轴于点B，∵tan∠AMB＝tan60°＝，∴AB＝BM＝BN，设BM＝BN＝a，则AB＝a，∴点M的坐标为（m＋a，a−m2＋4m−8），∵点M在抛物线上，∴a−m2＋4m−8＝（m＋a）2−2m（m＋a）＋4m−8，整理得：，解得：a＝或a＝0（舍去），∴△AMN是边长为的正三角形，∴AB=3，S△AMN＝，与m无关.【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用，其中（3）问有一定难度，根据点M在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键．

【变式2-1】（2020·湖南九年级其他模拟）若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”．

（1）若直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；

（2）若抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；

（3）已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）﹣；（2）y＝﹣或y＝﹣；（3）是定值，理由见解析．

【分析】

（1）根据“支干”关系的定义，求出a、b、c的值，利用配方法确定函数的最值．

（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b）

①，可得抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，由，消去y得到x2+bx+4c＝0，由抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与的图象只有一个交点，可知△＝0，得b2﹣16c＝0

②，由①②解方程组即可解决问题．

（3）的值是定值．不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，推出x1+x2＝，x1x2＝，推出|x1﹣x2|＝＝

＝，把

＝2a（2c﹣b）代入上式化简＝4，由AB∥PC，可得S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═

•CD•＝

•4＝8•，由此即可解决问题．

【详解】

解：（1）由题意a＝1，b＝﹣2，12+（﹣2）2＝2（2c+2），解得c＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+，∵y＝x2﹣2x+

＝（x﹣1）2﹣，∵a＝1＞0，∴x＝1时，y有最小值，最小值为﹣．

（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b）

①

∴抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，由，消，消去y得到x2+bx+4c＝0，∵抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与的图象只有一个交点，∴△＝0，∴b2﹣16c＝0

②

由①②可得b＝﹣2，或，∴反比例函数的解析式为y＝﹣或y＝﹣．

（3）是定值．理由如下：

不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），由

得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，|x1﹣x2|＝

＝

把a2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化简得到|x1﹣x2|＝4，∵AB∥PC，∴S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|Bx﹣Ax|＝•|4a|•4＝8•|a|，∴＝8，的值是定值．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用、反比例函数的性质、一元一次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，学会用分割法求三角形的面积．

【变式2-2】（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式及C点坐标；

（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；

（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．

【答案】（1）；（2）或；（3）

【分析】

（1）用待定系数法即可求解；

（2）若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，则可以分CD＝AD或AC＝AD两种情况，分别求解即可；

（3）S1＝AE×yM，2S2＝ON•xM，即可求解．

【详解】

解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋3，当x＝0时，y＝3，故点C（0，3）；

（2）当m＝1时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a），由点A、C、D的坐标得，AC＝，同理可得：AD＝，CD＝，①当CD＝AD时，即＝，解得a＝1；

②当AC＝AD时，同理可得a＝（舍去负值）；

故点D的坐标为（1，1）或（1，）；

（3）∵E（m，0），则设点M（m，﹣m2＋2m＋3），设直线BM的表达式为y＝sx＋t，则，解得：，故直线BM的表达式为y＝﹣x＋，当x＝0时，y＝，故点N（0，），则ON＝；

S1＝AE×yM＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），2S2＝ON•xM＝×m＝S1＝×（m＋1）×（﹣m2＋2m＋3），解得m＝﹣2±（舍去负值），经检验m＝﹣2是方程的根，故m＝﹣2．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．

【考点3】二次函数的面积最值问题

【例3】（2020·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．

（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；

（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．

【答案】（1）（，﹣）；y＝﹣x2+2x+1

（2）（，）；

（3）Q，R或Q（，﹣10），R（）

【分析】

（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的性质得出﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），求出a的值，则可得出答案；

（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP＇⊥x轴交AC于点P＇，则P＇（n，﹣n+1），得出PP＇＝﹣n2+n，由二次函数的性质可得出答案；

（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（，﹣），设Q（，m），分两种情况：①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．

【详解】

解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，∵点F的横坐标为，∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，∴F点的坐标为（，﹣），又∵点A在抛物线上，∴c＝1，对称轴为：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，∵四边形DBFE为平行四边形．

∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；

（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP＇⊥x轴交AC于点P＇，则P＇（n，﹣n+1），∴PP＇＝﹣n2+n，S△ABP＝OB•PP＇＝﹣n＝﹣，∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．

（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），设Q（，m），①当AQ为对角线时，∴R（﹣），∵R在抛物线y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；

②当AR为对角线时，∴R（），∵R在抛物线y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．

综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）．

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．

【变式3-1】（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）面积最大值为；（3）存在，【分析】

（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）设，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点，则，即可求解；

（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．

【详解】

解：（1）∵抛物线过，∴

∴

∴

（2）设，将点代入

∴

过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F

设点，则

由铅垂定理可得

∴面积最大值为

（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，联立上述两式并解得：，故点C（−1，−4）；

设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；

①当BC为菱形的边时，点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；

联立②④并解得：s＝-3，t＝-4±，故点E（-3，-4＋）或（-3，-4−）；

②当BC为菱形的的对角线时，则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，故点E（1，−3），综上，点E的坐标为：（−1，2）或或或（1，−3）．

∴存在，【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．

【变式3-2】（2020·江苏宿迁·中考真题）二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，顶点为E．

(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；

(2)如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；

(3)如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．

【答案】(1)；(4，-1)；(2)(4，3+)或(4，3-)；(3)(10，8)或(，24)

【分析】

(1)由于二次函数的图象与x轴交于A(2，0)、B(6，0)两点，把A，B两点坐标代入，计算出a的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E点坐标；

(2)由线段垂直平分线的性质可得出CB=CD，设D(4，m)，由勾股定理可得=，解方程可得出答案；

(3)设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P(，)，则Q(，)，设直线CQ的解析式为，则，解得，求出M(，)，ME=，由面积公式可求出n的值，则可得出答案．

【详解】

(1)将A(2，0)，B(6，0)代入，得，解得，∴二次函数的解析式为；

∵，∴E(4，)；

(2)如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB=CD，设D(4，m)，当时，∴C(0，3)，∵=，由勾股定理可得：

=，解得m=3±，∴满足条件的点D的坐标为(4，3+)或(4，3-)；

(3)如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P(，)，则Q(，)，设直线CQ的解析式为，则，解得，于是直线CQ的解析式为：，当时，∴M(，)，ME==，∵S△CQE=S△CEM+S△QEM=，∴，解得或，当时，P(10，8)，当时，P(，24)．

综合以上可得，满足条件的点P的坐标为(10，8)或(，24)．

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积；熟练掌握二次函数的性质及方程思想是解题的关键．

【考点4】二次函数面积的其它问题

【例4】（2020·辽宁鞍山·中考真题）在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F．

（1）当矩形是正方形时，以点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接．

①如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是________，位置关系是_________；

②如图2，若点E在线段的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；

（2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，，求的最小值．

【答案】（1）①相等；垂直；②成立，理由见解析；（2）

【分析】

（1）①证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，再证明四边形BEHF为平行四边形，从而可得结果；

②根据（1）中同样的证明方法求证即可；

（2）说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE=x，证明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出EF=，求出最值即可得到GM的最小值．

【详解】

解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°，∵AE⊥BF，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH为等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四边形BEHF为平行四边形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH，故答案为：相等；垂直；

②成立，理由是：

当点E在线段BC的延长线上时，同理可得：△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH为等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四边形BEHF为平行四边形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH；

（2）∵∠EGF=∠BCD=90°，∴C、E、G、F四点共圆，∵四边形BCHF是平行四边形，M为BH中点，∴M也是EF中点，∴M是四边形BCHF外接圆圆心，则GM的最小值为圆M半径的最小值，∵AB=3，BC=2，设BE=x，则CE=2-x，同（1）可得：∠CBF=∠BAE，又∵∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE∽△BCF，∴，即，∴CF=，∴EF=

=

=，设y=，当x=时，y取最小值，∴EF的最小值为，故GM的最小值为．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键．

【变式4-1】（2020·湖北中考真题）已知抛物线过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

（2）如图1，E为线段上方的抛物线上一点，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G．当时，求的面积；

（3）如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1），；（2）；（3）存在，,【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；

（2）先求出BC的解析式，再设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，联立方程求出点F，G的坐标，根据列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；

（3）过点A作AN⊥HB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到，设点，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标．

【详解】

（1）把点A（-1，0），C（0，3）代入中，解得，当时，y=4，（2）

令或x=3

设BC的解析式为

将点代入，得，解得，设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，将点E坐标代入中，得，把x=m代入

即

解得m=2或m=-3

∵点E是BC上方抛物线上的点

∴m=-3舍去

∴点

（3）过点A作AN⊥HB，∵点

∵点，点

设，把（-1，0）代入，得b=

设点

过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR

且点S的坐标为

若

在和中，或

【点睛】

本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解．

【变式4-2】（2020·山东日照·九年级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，﹣8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到△ACD．

（1）求该抛物线的函数解析式．

（2）△ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得△ACE与△ACD面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；（2）△ACD周长能取得最小值，点D(3，﹣5)；（3）存在，点E(﹣1，﹣4+11)或(﹣﹣1，4+11)

【分析】

（1）由抛物线过A(﹣2，0)，点B(8，0)和C(0，﹣8)，利用待定系数法可求解析式；

（2）求△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，连结BC交抛物线对称轴于D，利用待定系数法可求BC解析式，把x=3代入即可求解点D坐标；

（3）△ACE与△ACD面积相等，两个三角形同底，只要点E与点D到AC的距离相等即可，先求出AC解析式，由面积相等可得DE∥AC，利用待定系数法可求DE的解析式，与抛物线联立方程组可求解．

【详解】

解：（1）由题意可得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣8；

（2）△ACD周长能取得最小值，∵点A（﹣2，0），点B（8，0），∴对称轴为直线x＝3，∵△ACD周长＝AD+AC+CD，AC是定值，∴当AD+CD取最小值时，△ACD周长能取得最小值，∵点A，点B关于对称轴直线x＝3对称，∴连接BC交对称轴直线x＝3于点D，此时AD+CD有最小值，设直线BC解析式为：y＝kx﹣8，∴0＝8k﹣8，∴k＝1，∴直线BC解析式为：y＝x﹣8，当x＝3，y＝﹣5，∴点D（3，﹣5）；

（3）存在，∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），∴直线AC解析式为y＝﹣4x﹣8，如图，∵△ACE与△ACD面积相等，∴DE∥AC，∴设DE解析式为：y＝﹣4x+n，∴﹣5＝﹣4×3+n，∴n＝7，∴DE解析式为：y＝﹣4x+7，联立方程组可得：，解得：，∴点E（﹣1，﹣4+11）或（﹣﹣1，4+11）．

【点睛】

本题考查抛物线解析式，三角形最短周长，和面积相等时抛物线上点的坐标问题，会用待定系数法求解析式，周长最短问题转化线段的和最短问题，会用过找对称点实现转化，利用底相同，高相同，转化平行线问题是解题关键．

1．（广东梅州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，-3），动点P在抛物线上．

（1）b

=_________，c

=_________，点B的坐标为_____________；（直接填写结果）

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

【答案】（1），（-1,0）；（2）存在P的坐标是或；（3）当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）

【分析】

（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，然后令y=0可求得点B的坐标；

（2）分别过点C和点A作AC的垂线，将抛物线与P1，P2两点先求得AC的解析式，然后可求得P1C和P2A的解析式，最后再求得P1C和P2A与抛物线的交点坐标即可；

（3）连接OD．先证明四边形OEDF为矩形，从而得到OD=EF，然后根据垂线段最短可求得点D的纵坐标，从而得到点P的纵坐标，然后由抛物线的解析式可求得点P的坐标．

【详解】

解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b=﹣2，c=﹣3，∴抛物线的解析式为．

∵令，解得：，∴点B的坐标为（﹣1，0）．

故答案为﹣2；﹣3；（﹣1，0）．

（2）存在．理由：如图所示：

①当∠ACP1=90°．由（1）可知点A的坐标为（3，0）．

设AC的解析式为y=kx﹣3．

∵将点A的坐标代入得3k﹣3=0，解得k=1，∴直线AC的解析式为y=x﹣3，∴直线CP1的解析式为y=﹣x﹣3．

∵将y=﹣x﹣3与联立解得，（舍去），∴点P1的坐标为（1，﹣4）．

②当∠P2AC=90°时．设AP2的解析式为y=﹣x+b．

∵将x=3，y=0代入得：﹣3+b=0，解得b=3，∴直线AP2的解析式为y=﹣x+3．

∵将y=﹣x+3与联立解得=﹣2，=3（舍去），∴点P2的坐标为（﹣2，5）．

综上所述，P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．

（3）如图2所示：连接OD．

由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在Rt△AOC中，∵OC=OA=3，OD⊥AC，∴D是AC的中点．

又∵DF∥OC，∴DF=OC=，∴点P的纵坐标是，∴，解得：x=，∴当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）．

2．（2020·湖北武汉·九年级一模）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D

(，－)，经过点C

(0，－1)，且与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)．

(1)

求抛物线的解析式：

(2)

P为抛物线上一点，连CP交OD于点Q，若S△COQ＝S△PDQ，求P点的横坐标；

(3)点M为直线BC下方抛物线上一点，过M的直线与x轴、y轴分别交于E、F，且与抛物线有且只有一个公共点．

若∠FCM＝∠OEF，求点M的坐标．

【答案】（1）y＝x2－3x－1；（2）P的横坐标为；（3）点M的坐标为(，－)或(2，－2)

【分析】

（1）运用待定系数法求解即可；

（2）联立方程组求解即可；

（3）根据直线EF与抛物线只有一个公共点求出M点横坐标，设直线CM的解析式为y＝－x－1，与抛物线联立，即可求出结论．

【详解】

(1)∵抛物线的顶点为D

(，－)，设抛物线的顶点式为y＝a(x－)2－，把C

(0，－1)代入，得a(0－)2－＝－1，解得a＝．

∴抛物线的解析式为y＝

(x－)2－．

亦即：y＝x2－3x－1．

(2)

连OP、DP、CD，由S△COQ＝S△PDQ，得S△OCD＝S△PDC，则CD∥OP．

由C

(0，－1)、D

(，－)，可得直线CD为y＝－x－1．

则直线OP的解析式为y＝－x．

与抛物线的解析式联立，得点P的横坐标为（舍去负值）．

(3)

设直线EF为y＝kx＋b，与抛物线y＝x2－3x－1联立，得x2－(k＋3)x－1－b＝0，∵直线EF与抛物线只有一个公共点，∴x1＝x2＝－＝

(k＋3)．

即M点横坐标xM＝

(k＋3)．

∵∠FCM＝∠OEF，可得CM⊥EF，故可设直线CM的解析式为y＝－x－1，与抛物线联立，得：xM＝

(3－)．

于是得：

(k＋3)＝

(3－)．

解得k＝1或2．

∴点M的坐标为(，－)或(2，－2)．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，二次函数性质，待定系数法求解析式．

3．（2020·广东九年级一模）如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF∶S△CDF＝3∶2时，求点D的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3；（2）(1，4)或(2，3)

【分析】

（1）c＝3，点B(3，0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，即可求解；

（2）S△COF∶S△CDF＝3∶2，则OF∶FD＝3∶2，DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，则DM＝CO＝2，而DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，即可求解．

【详解】

解：（1）∵OB＝OC＝3．

∴c＝3，点B(3，0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：y＝ax2＋2x＋3并解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2＋2x＋3；

（2）如图，过点D作DH⊥x轴于点H，交AB于点M，S△COF∶S△CDF＝3∶2，则OF∶FD＝3∶2，∵DH∥CO，故CO∶DM＝3∶2，则DM＝CO＝2，由B、C的坐标得：直线BC的表达式为：y＝﹣x＋3，设点D(x，﹣x2＋2x＋3)，则点M(x，﹣x＋3)，DM＝﹣x2＋2x＋3﹣（﹣x＋3）＝2，解得：x＝1或2，故点D(1，4)或(2，3)．

【点睛】

本题主要考查了二次函数综合，准确计算是解题的关键．

4．（2020·福建南平·九年级二模）已知抛物线y＝﹣（x+5）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．

（1）直接写出点B、C的坐标；（用含m的式子表示）

（2）若抛物线与直线y＝x交于点E、F，且点E、F关于原点对称，求抛物线的解析式；

（3）若点P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线AC于点N，当线段MN长的最大值为时，求m的取值范围．

【答案】（1）B（m，0），C（0，）；（2）；（3）0＜m≤．

【分析】

（1）y＝﹣（x+5）（x﹣m），令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣5或m，即可求解；

（2）设点E，F的坐标分别为（a，），（﹣a，），将点E、F的坐标，代入二次函数表达式即可求解；

（3）分﹣5≤t≤0、0＜t≤m，两种情况分别求解即可．

【详解】

解：（1）y＝﹣（x+5）（x﹣m），令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣5或m，故：B（m，0），C（0，）；

（2）设点E，F的坐标分别为（a，），（﹣a，），代入，得，解得：（m﹣5）a＝a，∵a≠0，∴m＝6，∴抛物线的解析式为；

（3）依题意得A（﹣5，0），C（0，），由m＞0，设过A，C两点的一次函数解析式是y＝kx+b，将A，C代入，得

解得

∴过A，C两点的一次函数解析式是，设点P（t，0），则﹣5≤t≤m（m＞0），∴M（t，），N（t，）．

①当﹣5≤t≤0时，∴MN＝＝，∵，∴该二次函数图象开口向下，又对称轴是直线，∴当时，MN的长最大，此时MN＝，②当0＜t≤m时，∴MN＝＝，∵，∴该二次函数图象开口向上，又对称轴是直线，∴当0＜t≤m时，MN的长随t的增大而增大，∴当t＝m时，MN的长最大，此时MN＝，∵线段MN长的最大值为，∴，整理得：，由图象可得：≤m≤

∵m＞0，∴m的取值范围是0＜m≤．

【点睛】

本题考查二次函数图象性质、与x轴、y轴交点坐标、一次函数图象性质、原点对称、线段最值、分类讨论法等知识，是重要考点，综合性较强，掌握相关知识是解题关键．

5．（2018·四川眉山·中考真题）如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；

（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y=x2-4x+3.（2）当m=时，四边形AOPE面积最大，最大值为.（3）P点的坐标为

：P1（，），P2（，），P3（，），P4（，）.【解析】

分析：（1）利用对称性可得点D的坐标，利用交点式可得抛物线的解析式；

（2）设P（m，m2-4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得四边形AOPE的面积，利用配方法可得其最大值；

（3）存在四种情况：

如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据OM=PN列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．

详解：（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D（3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），把A（0，3）代入得：3=3a，a=1，∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；

（2）如图2，设P（m，m2-4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，∴∠AOE=45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE=OA=3，∴E（3，3），易得OE的解析式为：y=x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G（m，m），∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，=×3×3+PG•AE，=+×3×（-m2+5m-3），=-m2+m，=（m-）2+，∵-＜0，∴当m=时，S有最大值是；

（3）如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM=PN，∵P（m，m2-4m+3），则-m2+4m-3=2-m，解得：m=或，∴P的坐标为（，）或（，）；

如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN=FM，则-m2+4m-3=m-2，解得：x=或；

P的坐标为（，）或（，）；

综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．

点睛：本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，解第（2）问时需要运用配方法，解第（3）问时需要运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．

6．（2018·湖南怀化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；

（3）符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣），【解析】

分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；

（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-x+3，再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．

详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=3x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；

（3）存在．

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣x+3，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，）；

过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得+b=0，解得b=﹣，∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣，解方程组，解得或，则此时P点坐标为（，﹣）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，﹣）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

7．（2020·四川中考真题）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；

（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N

（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

【答案】（1）；（2）或；（3）是，3NE+NF为定值4

【分析】

（1）先将抛物线解析式变形，可得A和B的坐标，从而得AB=1+3=4，根据三角形ABC的面积为2可得OC的长，确定点C的坐标，根据点C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，解方程可得P和Q两点的坐标，从而得G和H的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论；

（3）设点D（n，﹣n2+n+1），利用待定系数法求直线AD和BD的解析式，表示FN和OK的长，直接代入计算可得结论．

【详解】

（1）如图1，y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x2﹣2x﹣3）=a（x﹣3）（x+1），∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4，∵△ABC的面积为2，即，∴OC=1，∴C（0，1），将C（0，1）代入y=ax2﹣2ax﹣3a，得：﹣3a=1，∴a=﹣，∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+x+1；

（2）如图2，设点P的纵坐标为m，当y=m时，﹣x2+x+1=m，解得：x1=1+，x2=1﹣，∴点P的坐标为（1﹣，m），点Q的坐标为（1+，m），∴点G的坐标为（1﹣，0），点H的坐标为（1+，0），∵矩形PGHQ为正方形，∴PQ=PG，∴1+﹣（1﹣）=m，解得：m1=﹣6﹣2，m2=﹣6+2，∴当四边形PGHQ为正方形时，边长为6+2或2﹣6；

（3）如图3，设点D（n，﹣n2+n+1），延长BD交y轴于K，∵A（﹣1，0），设AD的解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴AD的解析式为：y=（﹣）x﹣，当x=2时，y=﹣n+2﹣n+1=﹣n+3，∴F（2，3﹣n），∴FN=3﹣n，同理得直线BD的解析式为：y=（﹣）x+n+1，∴K（0，n+1），∴OK=n+1，∵N（2，0），B（3，0），∴，∵EN∥OK，∴，∴OK=3EN，∴3EN+FN=OK+FN=n+1+3﹣n=4，∴在点D运动过程中，3NE+NF为定值4．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式以及平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用正方形的性质，找出关于m的方程；（3）利用AD和BD的解析式确定FN和OK的长，可解决问题．

8．（2020·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线经过点A，与y轴交于点B，连接．

（1）求b的值及点M的坐标；

（2）将直线向下平移，得到过点M的直线，且与x轴负半轴交于点C，取点，连接，求证：：

（3）点E是线段上一动点，点F是线段上一动点，连接，线段的延长线与线段交于点G．当时，是否存在点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）b=3，M（3，-3）；（2）详见解析；（3）点E的坐标为（，）.【分析】

（1）将配方后可得顶点M的坐标，利用求出点A的坐标后代入即可求出b的值；

（2）先求出平移后的直线CM的解析式为y=-x，过点D作DH⊥直线y=-x，得到直线DH的解析式为y=2x-4，根据求出交点H（1，-2），分别求得DH=，DM=，根据sin∠DMH=得到∠DMH=45°，再利用外角与内角的关系得到结论；

（3）过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，先求出AB=，根据得到∠BAO=∠AFE，设GF=4a，则AE=EF=3a，证明△AEQ∽△ABO，求得AQ=a，AF=a，再证△FGP∽△AEQ，得到FP=a，OP=PG=，由此得到+a+a=6，求出a得到AQ=，将x=代入中，得y=，即可得到点E的坐标.【详解】

（1）∵=，∴顶点M的坐标为（3，-3）.令中y=0，得x1=0，x2=6，∴A（6,0），将点A的坐标代入中，得-3+b=0，∴b=3；

（2）∵由平移得来，∴m=-，∵过点M(3，-3),∴，解得n=，∴平移后的直线CM的解析式为y=-x.过点D作DH⊥直线y=-x，∴设直线DH的解析式为y=2x+k，将点D（2,0）的坐标代入，得4+k=0，∴k=-4，∴直线DH的解析式为y=2x-4.解方程组，得，∴H（1，-2）.∵D(2，0)，H(1，-2)，∴DH=，∵M(3，-3)，D（2,0）,∴DM=，∴sin∠DMH=，∴∠DMH=45°，∵∠ACM+∠DMH=∠ADM，∴；

（3）存在点E，过点G作GP⊥x轴，过点E作EQ⊥x轴，∵A(6，0)，B（0,3）,∴AB=.∵，∠BEF=∠BAO+∠AFE，∴∠BAO=∠AFE，∴AE=EF，∵，∴，设GF=4a，则AE=EF=3a，∵EQ⊥x轴，∴EQ∥OB，∴△AEQ∽△ABO，∴，∴，∴AQ=a，∴AF=a.∵∠AFE=∠PFG，∴△FGP∽△AEQ，∴,∴FP=a，∴OP=PG=，∴+a+a=6,解得a=，∴AQ=,∴OQ=，将x=代入中，得y=，∴当时，存在点E，使得，此时点E的坐标为（，）.【点睛】

此题考查了抛物线的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数平移的性质，两个一次函数交点坐标与方程组的关系，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质定理，是一道抛物线的综合题，较难.9．（2020·福建厦门一中九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD为平行四边形，点A在y轴上且在B的下方，B(0，3)，且点C，点D在第一象限．

（1）若点A(0，1)，点D(2，2)，求点C的坐标；

（2）若点C在直线y＝0.5x+3上，①若CD＝BC，点D在抛物线y＝x2﹣x+3上，求点C的坐标；

②若CD＝BC，抛物线y＝x2﹣ax+4﹣a经过点D、E，与y轴交于点F，若点E在直线BD上，求的最大值．

【答案】（1）D(2，4)；（2）①C(3+，)或(3﹣，)，②

【分析】

（1）由点A、B的坐标知，AB＝3﹣1＝2＝CD，即可求解；

（2）①作BH⊥CD于H，则D（m，m2﹣m+3），则CB＝CD＝﹣m2+3m，BH＝m，CH＝m，m≠0，则1+（）2＝（﹣m+3）2，即可求解；

②利用CD＝CB，求出m＝1或m＝1﹣a，再分m＝1、m＝1﹣a两种情况，分别求解即可．

【详解】

解：（1）由点A、B的坐标知，AB＝3﹣1＝2＝CD，故点D（2，4）；

（2）如图，设C（m，m+3），则D（m，m2﹣m+3），①作BH⊥CD于H，则D（m，m2﹣m+3），则CB＝CD＝﹣m2+3m，BH＝m，CH＝m，m≠0，∴1+（）2＝（﹣m+3）2，m＝3±，故C（3+，）或（3﹣，）；

②∵y＝x+3，BH＝m，∴BC＝m．

CD＝CB＝m，又CD∥y轴，∴D（m，m2﹣am+4﹣a），由点B、D的坐标得，直线DB解析式：y＝x+3，解方程：x+3＝x2﹣ax+4﹣a，整理得：mx2﹣（m2+1﹣a）x+m（1﹣a）＝0，即[mx﹣（1﹣a）]（x﹣m）＝0，解得：x＝m或x＝，即，而CD＝m+3﹣（m2﹣am+4﹣a）＝﹣m2+（a+）m﹣1+a，且CD＝CB，∴m＝﹣m2+（a+）m﹣1+a，整理得：m2+（2﹣a）m+1﹣a＝0，[m﹣（1﹣a）]（m﹣1）＝0，解得：m＝1或m＝1﹣a．

（I）当m＝1时，C（1，），D（1，），F（0，4﹣a），xE＝1﹣a，则S△DEF＝BF•（xD﹣xE）＝（a﹣1）[1﹣（1﹣a）]＝（a2﹣a），而S▱ABCD＝BH•CD＝1×＝，故S△DEF﹣S▱ABCD＝（a2﹣a）﹣＝（a﹣）2﹣，∵＞0，故S△DEF﹣S▱ABCD没有最大值；

（II）

当m＝1﹣a时，C（1﹣a，），D（1﹣a，2a+1），则F（0，4﹣a），xE＝1，而S△DEF＝BF•（xD﹣xE）＝（a﹣1）[（1﹣a）﹣1]＝﹣（a2﹣a），S▱ABCD＝BH•CD＝（1﹣a）•（1﹣a）＝（1﹣a）

2，∴S△DEF﹣S▱ABCD＝﹣（a2﹣a）﹣（1﹣a）

2＝﹣3a2+a﹣＝﹣3（a﹣）2+≤，∴S△DEF﹣S▱ABCD的最大值为．

【点睛】

本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与一次函数的性质及平行四边形的性质是解题的关键．

10．（2020·河南九年级二模）如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，－1），另一顶点B坐标为（－2，0），已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A＇D＇∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当A＇D＇与y轴重合时运动停止．

（1）求点C的坐标及二次函数的关系式；

（2）若运动过程中直尺的边A＇D＇交边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值；

（3）如图②，设点P为直尺的边A＇D＇上的任一点，连接PA、PB、PC，Q为BC的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ＝时，线段PA、PB、PC之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系．

（说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛物线上，点D＇在抛物线外．）

【答案】（1）C（-1，-3）．y=x2+x-3．（2）．（3）PB-PC=PA．

【详解】

试题分析：（1）求C点坐标，考虑作x，y轴垂线，表示横纵坐标，易得△CDA≌△AOB，所以C点坐标易知．进而抛物线解析式易得．

（2）横坐标相同的两点距离，可以用这两点的纵坐标作差，因为两点分别在直线BC与抛物线上，故可以利用解析式，设横坐标为x，表示两个纵坐标．作差记得关于x的二次函数，利用最值性质，结果易求．

（3）计算易得，BC=，因为Q为BC的中点，PQ=恰为半径，则以作圆，P点必在圆上．此时连接PB，PC，PA，因为BC为直径，故BP2+CP2=BC2为定值，而PA不固定，但不超过BC，所以易得结论BP2+CP2≥PA2，题目要求考虑三种情况，其中P在抛物线上时，P点只能与B或C重合，此时，PA，PB，PC可求具体值，则有等量关系．

试题解析：（1）如图1，过点C作CD⊥y轴于D，此时△CDA≌△AOB，∵△CDA≌△AOB，∴AD=BO=2，CD=AO=1，∴OD=OA+AD=3，∴C（-1，-3）．

将B（-2，0），C（-1，-3）代入抛物线y=x2+bx+c，解得

b=，c=-3，∴抛物线的解析式为y=x2+x-3．

（2）设lBC：y=kx+b，∵B（-2，0），C（-1，-3），∴，解得，∴lBC：y=-3x-6，设M（xM，-3xM-6），N（xN，xN2+xN-3），∵xM=xN（记为x），yM≥yN，∴线段MN长度=-3x-6-（x2+x-3）=-（x+）2+，（-2≤x≤-1），∴当x=-时，线段MN长度为最大值．

（3）答：P在抛物线外时，BP2+CP2≥PA2；P在抛物线上时，BP+CP=AP；P在抛物线内，BP2+CP2≥PA2．

分析如下：

如图2，以Q点为圆心，为半径作⊙Q，∵OB=2，OA=1，∴AC=AB==，∴BC=，∴BQ=CQ=，∵∠BAC=90°，∴点B、A、C都在⊙Q上．

①P在抛物线外，如图3，圆Q与BD′的交点即为点P，连接PB，PC，PA，延长PC交y轴于点D

∵BC为直径，∴∠BPC=90°

∵BD′与y轴平行

∴∠ADC=90°，且D点为抛物线与y轴交点

∴PD∥x轴

易得PC=1，PB=3，PA=2

∴BP+CP=AP．

②P在抛物线上，此时，P只能为B点或者C点，∵AC=AB=，∴AP=，∵BP+CP=BC=，∴BP+CP=AP．

③P在抛物线内，有两种情况，如图4，5，如图4，在PC上取BP=PT，∵BC为直径，∴∠BPC=90°

∴△BPT为等腰直角三角形

∴∠PBT=45°=∠1+∠2

∵∠ABC=∠3+∠2=45°

∴∠1=∠3

∵∠BAP=∠BCP（同弧BP）

∴△BPA∽△BTC

∴

∵PC=PT+CT

∴PC=PT+PA=PB+PA

∴PC-PB=PA

同理，如图5，也可得PB-PC=PA．

考点：二次函数综合题．

11．（2020·湖北武汉·九年级其他模拟）抛物线与轴交于点，与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，直线交抛物线于另一点，过点作轴于点，过点作交于点．求证：轴；

（3）如图2，为抛物线上两点，直线，交轴于点，，求面积的最小值．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）的最小值为1．

【分析】

（1）把点，代入解析式构建方程组求解即可；

（2）由题易得，设，则，然后根据在平面直接坐标系里两条直线平行时，进行求解即可；

（3）设直线的解析式为：，直线的解析式为，直线的解析式为，由题意得，进而可得，然后把三角形的面积表示出来利用二次函数的性质求解即可．

【详解】

（1）∵过，∴解得．

∴抛物线的解析式为．

（2）当时，．∴

设，则，∴，．

∴，∴，∵，∴设，则，．

∴．

设直线，∴，∴．

由得

∵，∴轴．

（3）设直线的解析式为：，由得，．

∴，∴．

设直线的解析式为，同理可得：，∴．

设直线的解析式为，由得．

∴，．

∵，∴，，∴直线．

不论为何值，当时，∴直线过点．

∵，∴轴，∴的最小值为1．

【点睛】

本题主要考查二次函数与一次函数的综合，关键是根据题意得到二次函数的表达式，然后利用一次函数的知识点进行求解问题即可．

12．（2020·广东深圳·九年级其他模拟）如下图，抛物线与轴正半轴交于点，过点作直线轴，点是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接并延长交直线于点，连接并延长交轴于点，过点作轴，垂足为，连接．设．

（1）请直接写出点坐标并求出的最大值；

（2）如图1，随着点的运动，的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；

（3）连接，如图2，则当点位于何处时，点到直线的距离最大？请你求出此时点的坐标．

【答案】（1）A点坐标为，4；（2）不会发生变化，理由见解析，；（3）点坐标为

【分析】

（1）根据P点的坐标得到，根据即可得到结果；

（2）由（1）知：，，根据计算即可；

（3）取的中点，过作轴的垂线，垂足为，交直线于点，得矩形；连接，得到，在根据题意得，联立方程计算即可；

【详解】

解：（1）A点坐标为．

∵，∴点坐标为

∴．

又，．

∴．

∴．

∴的最大值为4．

（2）的值不会发生变化理由如下：

由（1）知：，．

所以，，．

又，．

∴，∴．

（3）如下左图，取的中点，过作轴的垂线，垂足为，交直线于点，得矩形；连接．

易得，∴．

∴．

由（2）知，．

∴．又，∴点的坐标为．

即，直线绕定点在旋转．

如上右图，表示的任一位置，长是点到它的距离．则，∵，∴的最大值等于．

显然，获得最大值的条件是．

∵此时，易得，此时，从而，得．

∴此时，点坐标为

∴直线的解析式为：．

由得，（舍）．

故，此时点坐标为．

【点睛】

本题主要考查了二次函数综合，准确计算是解题的关键．

13．（2020·广东九年级一模）如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线平行于轴的直线与抛物线交于两点，点在对称轴左侧，．

（1）求此抛物线和直线的解析式；

（2）点在轴上，直线将三角形面积分成两部分，求点的坐标．

【答案】（1）；（2）或

【分析】

（1）根据对称轴直线求出b，把点代入抛物线解析式求出c，即可求出抛物线解析式，根据抛物线对称性和抢救车点B坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式；

（2）作出直线与交于点，过作轴，与轴交于点与轴交于点，得到进而得到，根据直线将面积分成两部分，分别得到或两种情况，分别求出Q横坐标，进而求出Q坐标，直线CQ解析式，即可求出点P坐标．

【详解】

解：由题意得：，解得：，则此抛物线的解析式为；

抛物线对称轴为直线，横坐标为横坐标为，把代入抛物线解析式得：，设直线解析式为，把坐标代入得：

即

直线解析式为

（2）作出直线与交于点，过作轴，与轴交于点与轴交于点，可得，点在轴上，直线将面积分成两部分，或，即或，或，当时，把代入直线解析式得：

此时，直线解析式为，令，得到，即；

当时，把代入直线解析式

得：，此时，直线解析式为，令得到

此时，综上，的坐标为或．

【点睛】

本题为二次函数综合题，综合性强，难度大．熟练掌握二次函数性质，深刻理解坐标系内求点的坐标方法，添加辅助线构造相似是解题关键．

14．（2020·湖北九年级一模）如图．抛物线交轴于两点．其中点坐标为，与轴交于点．

求抛物线的函数表达式；

如图①，连接．点在抛物线上﹐且满足．求点的坐标；

如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线分别交抛物线的对称轴于点，求的值．

【答案】（1）；（2）点的坐标为或；（3）8

【分析】

（1）把点A、C坐标代入抛物线解析式即求得b、c的值．

（2）点P可以在x轴上方或下方，需分类讨论．①若点P在x轴下方，延长AP到H，使AH＝AB构造等腰△ABH，作BH中点G，即有∠PAB＝2∠BAG＝2∠ACO，利用∠ACO的三角函数值，求BG、BH的长，进而求得H的坐标，求得直线AH的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标．②若点P在x轴上方，根据对称性，AP一定经过点H关于x轴的对称点H＇，求得直线AH＇的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点P坐标．

（3）设点Q横坐标为t，用t表示直线AQ、BN的解析式，把x＝−1分别代入即求得点M、N的纵坐标，再求DM、DN的长，即得到DM＋DN为定值．

【详解】

解：抛物线经过点

解得

抛物线的函数表达式为

①若点在轴下方，如图1

延长到，使，过点作轴，连接，作中点，连接并延长交于点，过点作于点

当，解得

中，为中点，即

在中，中，即

设直线解析式为

解得

直线

解得（即点），②若点在轴上方，如图2，在上截取，则于关于轴对称

设直线解析式为

解得

直线

解得（即点），、综上所述，点的坐标为或

为定值

抛物线的对称轴为，直线

设

设直线解析式为

解得

直线

当时，设直线解析式为

解得

直线

当时，为定值．

【点睛】

本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．第（2）题由于不确定点P位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算．

15．（2020·贵阳清镇北大培文学校九年级其他模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

【答案】（1）；（2），时有最大值；（3）或或或．

【分析】

（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式．

（2）设出M点的坐标，利用S＝S△AOM＋S△OBM−S△AOB即可进行解答；

（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．

【详解】

解：（1）设此抛物线的函数解析式为：，将，三点代入函数解析式得：，解得，所以此函数解析式为：；

（2）∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，∴点的坐标为：，∴

∵，当时，有最大值为：．

答：时有最大值．

（3）设．

当为边时，根据平行四边形的性质知，且，∴的横坐标等于的横坐标，又∵直线的解析式为，则．

由，得，解得，．（不合题意，舍去）

如图，当为对角线时，知与应该重合，．

四边形为平行四边形则，横坐标为4，代入得出为．

由此可得或或或．

【点睛】

本题考查了三点式求抛物线的方法，以及抛物线的性质和最值的求解方法．

16．（2020·山东烟台·九年级其他模拟）如图，抛物线y=ax2+x+c的图象与x轴交于A（-3，0），B两点，与y轴交于点C（0，-2），连接AC．点P是x轴上的动点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD=BE时，求AD+AE的最小值；

（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）4；（3）存在，点P的坐标为（-5，0）或（，0）或（，0）或（-1，0）．

【分析】

（1）将A、C两点代入，利用待定系数法求得抛物线的表达式；

（2）由AD=BE，将AD+AE转化为BE+AE，通过两点之间线段最短即可得解；

（3）分情况讨论，AC为平行四边形的对角线、AQ为对角线、AP为对角线三种情况讨论．

【详解】

（1）将A（-3，0），C（0，-2），代入y=ax2+x+c得，解得，∴抛物线的表达式为；

（2）令，解得x=-3或1，∴点B的坐标为（1，0），当AD=BE时，AD+AE=BE+AE，∴当A、E、B三点共线时，BE+AE最小，最小值为AB的长，∴当AD=BE时，AD+AE的最小值为AB=1-(-3)=4；

（3）存在．设点P的坐标为（m，0），点Q的坐标为（n，），①若AQ为平行四边形的对角线，则PA=QC，QC∥x轴，如图①，∴-3-m=0-n，解得n=-2或0（舍去），∴m=-5，∴点P的坐标为（-5，0）；

②若AP为对角线，则AC=PQ，如图②所示，即m-n=3，解得n=-1+或-1-，∴m=2+或2-，∴点P的坐标为（2+，0）或（2-，0）；

③当AC是平行四边形的对角线时，则AQ=PC，如图③，即m-（-3）=0-n，解得n=-2或0（舍去），∴m=-1，∴点P的坐标为（-1，0）．

综上所述，点P的坐标为（-5，0）或（2+，0）或（2-，0）或（-1，0）．

【点睛】

本题是二次函数的综合应用题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，平行四边形的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用平行四边形的性质是解题的关键．第(3)问需分类讨论，以防遗漏．

17．（2020·河南九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且．

（1）求，的值．

（2）点为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

（3）在（2）的条件下，点为抛物线上一动点，当时，是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）的值为，的值为；（2）与之间的函数关系式为；（3）存在满足题意的点，点的横坐标为或．

【分析】

（1）本题根据题意得出点B、点C坐标后，将点代入二次函数解析式即可求解．

（2）本题首先利用函数解析式表示P点坐标，继而分别求解PK、AK长度，进一步以正切三角函数作为中介求解OD，最后利用边长关系即可求解本题．

（3）本题首先根据已知求解△APQ的面积，继而求解点D坐标与直线AP解析式，进一步分类讨论点Q所在位置，求解手段是做辅助线并利用函数表示MQ距离，继而利用割补法表示△APQ面积，最后根据限制条件确定最终答案．

【详解】

（1）∵，∴，．

将点，代入抛物线中，得，解得，∴的值为，的值为．

（2）由第一问可知抛物线的解析式为．

∵点为第－象限内抛物线上一点，且横坐标为，∴．

∵，∴．

过点作轴于点，如下图所示，则．

当时，即，解得，．

∴，即．

∴．

∵，即，∴．

∴．

∴与之间的函数关系式为．

（3）存在．

由题意易得，∴．

∵，∴．

∴．

∴，．

由可知点的横坐标为9，故易得直线的解析式为．

由题意，可知点的位置需分以下两种情况进行讨论．

①当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线，交于点，如下图3所示：

设，则．

∴．

∴．

其中是P点横坐标，是A点横坐标．

∴的最大值为72．

∵，∴在直线下方不存在满足题意的点．

②当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴的平行线，交于点，如下图2所示：

设，或，则．

∴．

∴，解得，．

综上所述，存在满足题意的点，点的横坐标为或．

【点睛】

本题考查二次函数的综合，难度较高，待定系数法求解函数解析式需要熟练掌握，对三角函数的基本概念要清楚，该知识点通常作为边长比例关系的媒介，涉及动点问题需要分类讨论．

18．（2020·山东九年级一模）已知，抛物线y＝-x2

+bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A．

（1）直接填写抛物线的解析式________；

（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.求证：MN∥y轴；

（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG

•CH为定值.【答案】（1）；（2）见详解；（3）见详解．

【分析】

（1）把点C、D代入y＝-x2

+bx+c求解即可；

（2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解；

（3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．

【详解】

详解：（1）∵y＝-x2

+bx+c过点C（0,2），点Q（2,2），∴,解得：.∴y=-x2+x+2；

（2）

设直线PM的解析式为：y=mx，直线PC的解析式为：y=kx+2

由

得x2+（k-1）x=0,解得：，xp=

由

得x2+(m-1)x-2=0，即xp•xm=-4，∴xm==.由

得xN==xM,∴MN∥y轴.（3）设G（0，m）,H（0，n）.设直线QG的解析式为，将点代入

得

直线QG的解析式为

同理可求直线QH的解析式为；

由

得

解得：

同理，设直线AE的解析式为：y=kx+4，由，得x2-(k-1)x+2=0

即xDxE=4，即（m-2）•（n-2）=4

∴CG•CH=（2-m）•（2-n）=4.19．（2020·重庆八中九年级一模）如图，抛物线y＝x2+2x﹣6交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD．

（1）求△ACD的面积；

（2）如图，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PE∥y轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PG⊥AD于点G，求EF+FG的最大值，以及此时P点的坐标；

（3）如图，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN为直角边的等腰Rt△BMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）24；（2）最大值为，点P（﹣3，﹣）；（3）存在，点M的横坐标为﹣﹣或2﹣2．

【分析】

（1）先求出抛物线与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，再用待定系数法求得AC的解析式，进而求出点N、D的坐标，再根据三角形的面积公式求出结果；

（2）证明EF+FG即为EP的长度，即可求解；

（3）分∠BNM为直角、∠MBN为直角，利用三角形全等即可求解．

【详解】

解：（1）令x＝0，得，∴C（0，﹣6），令y＝0，得，解得，∴A（，0），点B（，0），设直线AC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），则，∴，∴直线AC的解析式为：，∵，∴D（，），过D作DM⊥x轴于点M，交AC于点N，如图，令，则N（，），∴，∴；

（2）如图，过点D作x轴的平行线交FP的延长线于点H，由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：，∴tan∠FDH＝2，则sin∠FDH＝，∵∠HDF+∠HFD＝90°，∠FPG+∠PFG＝90°，∴∠FDH＝∠FPG，在Rt△PGF中，PF＝＝

＝FG，则EF+FG＝EF+PF＝EP，设点P（x，），则点E（x，），则EF+FG＝EF+PF＝EP＝，∵﹣＜0，故EP有最大值，此时x＝﹣＝﹣3，最大值为；

当x＝时，故点P（，）；

（3）存在，理由：

设点M的坐标为（m，n），则，点N（0，s），①当∠MNB为直角时，如图，过点N作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点H，交过点M与y轴的平行线于点G，∵∠MNG+∠BNH＝90°，∠MNG+∠GMN＝90°，∴∠GMN＝∠BNH，∵∠NGM＝∠BHN＝90°，MN＝BN，∴△NGM≌△BHN（AAS），∴GN＝BH，MG＝NH，即且，联立并解得：（舍去正值），故，则点M（，）；

②当∠NBM为直角时，如图，过点B作y轴的平行线交过点N与x轴的平行线于点G，交过点M与x轴的平行线于点H，同理可证：△MHB≌△BGN（AAS），则BH＝NG，即，当时，解得：（舍去正值），故，则点M（，）；

综上，点M的横坐标为或．

【点睛】

本题考查二次函数的综合题，涉及三角形面积的求解，用胡不归原理求最值，等腰直角三角形的存在性问题，解题的关键是需要掌握这些特定题型的特定解法，熟练运用数形结合的思想去解决问题．

20．（2020·天津中考真题）已知点是抛物线（为常数，）与x轴的一个交点．

（1）当时，求该抛物线的顶点坐标；

（2）若抛物线与x轴的另一个交点为，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，．

①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且时，求点F的坐标；

②取的中点N，当m为何值时，的最小值是？

【答案】（1）抛物线的顶点坐标为；（2）①点F的坐标为或；②当m的值为或时，MN的最小值是．

【分析】

（1）根据，则抛物线的解析式为，再将点A（1，0）代入，求出b的值，从而得到抛物线的解析式，进一步可求出抛物线的顶点坐标；

（2）①首先用含有m的代数式表示出抛物线的解析式，求出，点.过点A作于点H,在Rt中，利用勾股定理求出AE的值，再根据，可求出m的值，进一步求出F的坐标；

②首先用含m的代数式表示出MC的长，然后分情况讨论MN什么时候有最值.【详解】

解：（1）当，时，抛物线的解析式为．

∵抛物线经过点，．解得．

抛物线的解析式为．，抛物线的顶点坐标为．

（2）①∵抛物线经过点和，，即．，．

抛物线的解析式为．

根据题意，得点，点．

过点A作于点H．

由点，得点．

在Rt中，，．，．解得．

此时，点，点，有．

点F在y轴上，在Rt中，．

点F的坐标为或．

②由N是EF的中点，得．

根据题意，点N在以点C为圆心、为半径的圆上．

由点，点，得，．

在中，．

当，即时，满足条件的点N落在线段MC上，MN的最小值为，解得；

当，时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为，解得．

当m的值为或时，MN的最小值是．

【点睛】