凸轮滚子

2024-05-11

凸轮滚子（精选三篇）

凸轮滚子篇1

关键词：FOCKE机,齿轮箱,共轭双凸轮,滚子

1 前言

FOCKE350型硬盒包装机组是我国从德国佛克公司引进的具有1990年代先进水平的烟草包装设备。整个机组采用模块化设计, 结构紧凑明了, 各机组由多个功能块组成, 各个功能块分别完成相关的工序, 在操作和维修方面都较为方便。其每个功能块就是一个齿轮箱, 在齿轮箱内部普遍使用的共轭双凸轮及滚子和弧齿圆锥齿轮, 提高了整个机组的运行稳定性, 降低了噪音。

2 双凸轮及驱动辊的调整维修

德国生产的双凸轮从中心分为两半, 依靠螺栓夹持在传动轴上, 为双凸轮的定时调整提供了方便。其主副凸轮在一起同时加工完成, 不能分离安装;两从动杆变异成“V”型, 一端用直销安装滚子, 一端用偏心销安装滚子, 从而实现双凸轮在运转过程中主副凸轮表面始终和“V”型从动杆两滚子接触。“V”型臂固定安装在功能执行件的传动轴上。

从图1可以看到, 安装在从动摇臂两端与双凸轮工作面接触的滚子, 它的装配销一端为直销, 一端为可调偏心销 (最大偏心量为2mm) 。因此, 双凸轮驱动滚子的维修就涉及两个方面:一方面是偏心销调整的旋转方向;另一方面是双凸轮驱动辊的径向力。

2.1 偏心销调整的旋转方向确定

齿轮箱内所有安装滚子的偏心销 (350.11.0004) 的最大偏心量为2mm。从图1可以看出, 假定直销固定的滚子的中心与摇臂Z的安装中心距离为X, 滚子受径向力为Fx;可调偏心销固定的滚子与摇臂Z的安装中心距离为Y, 滚子受径向力为Fy;那么直销固定的滚子径向力Fx对摇臂Z的力矩为FxX;偏心销固定的滚子径向力Fy对摇臂Z的力矩为FyY;根据力矩的平衡原理FxX=FyY。因此, 当Y的变化趋于增大时, Fy的变化则趋于减小。为此偏心销的调整旋转方向必须如图1所示。假如我们刻意的改变了偏心销的调整旋转方向, 那么为了保证摇臂Z所驱动的执行件在任何角度时都无游动量, 就必须使可调偏心销上安装的滚子在任何角度时紧贴双凸轮工作面, 从而造成径向力Fy的数值趋于增大, 必然出现可调偏心销上安装的滚子在运行短期内破裂。因此得出结论:无论双凸轮的旋转方向如何, 偏心销的调整旋转方向都必须如图1所示。

2.2 滚子受径向力的确定

理论上, 共轭双凸轮在运转中凸轮表面应始终和两从动杆滚子接触。即滚子与双凸轮工作面的间隙应该是零, 如果间隙大于零, 当驱动力换向时, 不但使摇臂执行件有游隙, 并且会引起噪音和机械振动, 久而久之造成双凸轮表面凹陷;如果间隙过小, 滚子与凸轮表面配合过紧, 除了可能出现滚子外圈破裂以外, 还有可能造成双凸轮的过度磨损。

查阅机械设计手册可知:

n-轴承转速, r/min, 以分配齿轮箱的3组凸轮滚子为例, 转速最快的滚子转速是双凸轮的3.4倍, 即车速400包/min时滚子转速为1360r/min;Lh-轴承寿命, h, 在15000～16000h之间, 取15000h;ε-寿命指数, 该轴承ε=3;C-滚子额定动载荷, 8300N;P-当量载荷。

代入公式求得P=775N。考虑到该滚子承受径向力远远大于轴向力, 以及滚子运行过程中的寿命系数fh, 负荷系数fF, 温度系数fT后, 在寿命周期内, 滚子承受的最大径向力不足700N。

反映在实际维修中就是:转动双凸轮一周, 在任何角度, 凸轮与滚子都能均匀接触, 即滚子随凸轮转动而转动;而用搭口钳夹住滚子时, 滚子不随凸轮转动。

3 结论

凸轮滚子篇2

弧面分度凸轮机构是一种新型、高效的传动机构,具有结构紧凑、性能可靠等诸多优点,现已成为许多机械设备中的核心传动装置[1],尤其在数控机床、加工中心、自动化流水生产线等领域应用日益普遍。但是由于其轮廓面是空间不可展曲面,在加工之前很难想象出其具体的形状[2,3],而且根据设计者的要求,其轮廓面曲线具有一定的函数关系,使用目前的通用CAD软件对其建模很不方便,因此有必要建立弧面凸轮通用的CAD系统。

随着计算机辅助设计在机械行业的应用,已有一些文献介绍弧面凸轮CAD软件的设计与开发,在实际生产中也取得了一定的应用[4]。但是大多数文献所开发的系统都是针对某一类型从动件滚子,如单一的圆柱滚子或单一的圆锥滚子从动件[5,6,7,8,9,10,11],而缺乏针对不同滚子类型建立的弧面凸轮CAD集成系统,因而未能形成较完整的设计造型软件,所设计的弧面凸轮在类型上不能适合各种场合应用需求。

针对以上情况,本文从建立基于不同类型从动件滚子的弧面凸轮廓面统一综合方程出发,为圆柱滚子、圆锥滚子、球锥滚子、鼓型滚子等四种弧面分度凸轮机构,创建统一的弧面凸轮CAD系统。具体研究内容阐述如下。

2 弧面凸轮廓面统一综合方程的建立

弧面凸轮的工作廓面是空间不可展曲面,很难用常规的机械制图方法进行测绘,也不能用展成平面轮廓线的方法设计,而其从动件滚子的曲面方程建立相对容易。针对弧面分度凸轮机构实际啮合过程中滚子曲面与弧面凸轮廓面互为共轭曲面的特点,可通过共轭曲面原理和从动件滚子的曲面方程推导出弧面凸轮的廓面方程。

2.1 滚子曲面统一方程的建立

弧面分度凸轮机构滚子从动件类型通常来说有圆柱滚子、圆锥滚子、鼓型滚子及球锥滚子四种[6],如图1所示。

其中圆柱滚子侧面为一个圆柱曲面,而圆锥滚子侧面为一个圆锥曲面。球锥滚子则是在圆锥滚子的基础上,以和圆锥滚子母线相切的一个大半径圆弧为母线形成的滚子球锥曲面。鼓型滚子则是在圆柱滚子的基础上,以和圆柱滚子母线相切的一个大半径圆弧为母线的滚子鼓型曲面。

由以上四种滚子曲面的定义,以其中一种类型滚子为基础,通过改变其曲面参数,如图2所示,可以将各种滚子曲面统一于一个数学模型。以下以球锥滚子为基础,建立四种不同类型滚子曲面半径的统一方程如下:

其中:h和r为滚子曲面参数,分别代表滚子内端面到接触点的距离和滚子曲面半径值;a为滚子母线圆半径;γ为滚子锥角(0<γ<90°);δm为滚子母线圆弧与滚子母线相切点处的滚子深度(0≤δm≤gt,gl为滚子长度);rf为最大滚子截圆半径(对于球锥滚子,为最大滚子圆锥母线半径)。

在此方程中,只要对参数a和γ作出不同的取值选择,就可转化为不同形式滚子的截圆半径方程,即求得四种滚子的截圆半径的统一方程。

1)当滚子母线圆半径a趋于无穷大,同时滚子锥角γ=0时,则滚子的截圆半径的统一方程为圆柱滚子的截圆半径方程,得:

2)当滚子母线圆半径a趋于无穷大,同时滚子锥角γ为任一常量时,由于母线圆变为直线,这时δm与h相等,则滚子的截圆半径的统一方程为圆锥滚子的截圆半径方程,得:

3)当滚子母线圆半径a为任一常量,同时滚子锥角γ=0时,δm为滚子长度gl的一半,则滚子的截圆半径的统一方程为鼓型滚子的截圆半径方程:

4)当滚子母线圆半径a、滚子深度h、滚子锥角γ及δm都在其有效范围内取任意值配合时,则滚子的截圆半径的统一方程为球锥滚子的截圆半径方程,得:

2.2 弧面凸轮统一廓面方程

根据共轭曲面理论,弧面凸轮廓面方程为:

其中R22为共轭接触点在与凸轮固联的坐标系中的位矢,l为从动盘中心到滚子内端面的距离;C为从动盘至凸轮的中心距;β为描述滚子曲面参数上的共轭接触点的曲面坐标,称之为接触角;θ1、θ2分别为从动盘和凸轮的角位移。

弧面凸轮机构的啮合方程为:

弧面凸轮为左旋时上式取正号,为右旋时取负号,停歇期内β=0°或180°。

3 弧面凸轮CAD集成系统功能与结构

3.1 系统功能和结构分析

一般来说,对于一个集成系统,其集成主要体现在两个方面,一是用户界面的集成;二是程序内核的集成。本系统将四种不同类型从动件滚子集成在同一个界面中,用户通过选择不同类型滚子来激活相应的参数输入框。而在程序内部,以弧面凸轮廓面方程为核心,通过读入用户界面输入的参数来识别凸轮廓面类型,并调用相应的滚子曲面参数r的计算公式,最后统一于弧面凸轮廓面方程进行轮廓曲面数据的计算,并建立其三维实体模型输出。

3.2 系统功能的实现

本文所开发的系统以弧面凸轮廓面方程为核心,选用UG NX4.0作为开发平台,VC++6.0和UG/OpenAPI联合开发,通过凸轮毛坯与凸轮槽实体相减的方法实现弧面凸轮的精确建模。系统首先利用UG的UIStyler模块创建了滚子类型选择界面和弧面凸轮参数输入界面,如图3所示。

利用UF_MODL_create_revolution函数可方便地建立凸轮的毛坯,而凸轮槽的建立过程如下。

1)在分度期内按选定的运动规律由凸轮转角θ求出相应的从动盘的角位移θ1及凸轮机构的瞬时传动比i。一般取θ=1°~2°为一个计算步长,其中θ1=φf+sφ0,i=vφ0/θf,φf为滚子的起始位置角;s和v为所选运动规律的量纲;φ0为分度期从动盘转位角;θf则为分度期凸轮转角。而在停歇期内,从动盘的角位移始终保持不变,凸轮角位移继续以θ为步长增加,i值恒为0。

2)把求得的θ1和i代入弧面凸轮机构的啮合方程,联合滚子曲面方程中滚子半径r和h的关系,得到凸轮每一个位置共轭圆柱面上曲面参数h和β的制约关系。

3)每一个凸轮角位移处设定一系列的l值,根据上述步骤可求得相同l时凸轮每一个位置时θ2、θ1及β值。此时β有两个值,分别用于凸轮槽的两工作廓面,停歇段内β值恒为0°或180°。

4)将以上所得数据代入弧面凸轮廓面方程即可求得一系列弧面凸轮工作廓面上的坐标点。利用UG/API中通过点创建样条曲线的函数UF_CURVE_create_spline_thru_pts得到不同h值的轮廓曲线,再利用自由曲面造型函数UF_MODL_create_thru_curves得到凸轮槽的两工作侧面。

5)利用UG/API中有关自由曲面造型函数创建凸轮槽的两底面与两侧面,然后调用UF_MODL_create_sew函数将此六个曲面缝合成实体,即得所求的凸轮槽实体。调用UF_MODL_subtract_bodies_with_retained_options函数,用毛坯减去凸轮槽实体,即可获得弧面凸轮实体。

3.3 设计实例

设弧面凸轮结构参数为:中心距80mm、从动转盘齿数9、许用压力角35°、凸轮停歇角240°、修正正弦加速度运动规律、左旋。滚子参数分别如表1所示,表中斜线部分表示不需要输入。

将以上参数输入系统,即可实现各类型滚子从动件弧面凸轮的自动设计和三维实体造型,结果输出如图4所示。

4 结论

基于四种不同滚子从动件类型的曲面参数方程和共轭曲面原理,只要通过改变滚子曲面参数r值,就可以将不同滚子从动件类型的弧面凸轮廓面统一于一个方程,并以此方程为核心,利用UG/API和VC++6.0联合开发了弧面凸轮CAD集成系统。用户可以通过更改用户界面上的参数设计出满足不同需求的弧面凸轮,并通过UG界面输出三维实体模型,为后续数控加工刀位数据的生成和运动学分析等奠定基础。

参考文献

[1]彭国勋,肖正扬.自动机械的凸轮机构设计[M].北京:机械工业出版社,1990.

[2]胡自化,杨冬香,徐宏,等.弧面凸轮多轴数控加工编程系统的研究[J].湘潭大学自然科学学报,2007,29(2):105-110.

[3]杨冬香,胡自化,徐宏,等.基于数据采样的弧面凸轮自适应直接插补算法[J].机械科学与技术,2008,27(3):390-394.

[4]张玲爱.用于数控加工中心的弧面凸轮的理论研究[D].北京:北京工业大学,2005.

[5]Jie-Shing Lo,Ching-Haun Tseng,Chung-Biau Tsay.A study on the bearing contact of roller gear cams[J].Computer methods in applied mechanics and engineering,2001(190):4649-4662.

[6]曹巨江,徐光中,王茜,等.空间凸轮机构滚子从动件研究[J].机械科学与技术,2006,25(10):1238-1240.

[7]H.S.Yan,H.H.Chen.Geometry design and machinging of roller gear cams with cylindrical rollers[J].Mechanism and Machine Theory,1994,29(6):803-812.

[8]H.S.Yan,H.H.Chen.Geometry design of roller gear cams with conical rollers[J].Journal of the CSME,1994,15(5):479-485.

[9]H.S.Yan,H.H.Chen.Geometry design of roller gear cams with hyperboloidal rollers[J].Math.Comput.Model,1995,22(8):107-117.

[10]王其超,马丽敏,肖正扬.新型点啮合式弧面分度凸轮机构的设计与制造[J].机械科学与技术,1996,15(2):203-206.

凸轮滚子篇3

做平面运动的滚子从动件盘形凸轮机构[1-4]结构复杂, 设计参数多且错综耦合, 故其分析综合理论和方法更为复杂而繁琐;此机构不仅具有凸轮结构紧凑[5-6]的一般特点, 且易实现满足工程中运动规律、运动轨迹和刚体导引等输出特性要求。国内外已有许多学者[7-14]以压力角为评价指标, 对平面盘形凸轮机构进行了尺寸综合, 而对做平面运动的滚子从动件凸轮机构的综合问题的研究还不多。

2010年笔者对某进口高速印刷机机构进行消化、吸收工作时, 将做平面运动的滚子从动件盘形凸轮机构的尺寸综合问题概括和归纳为Ⅰ、Ⅱ两大类机构综合问题, 对后者给出如下准确表述[1]:该类机构综合问题就是已知从动连杆构件系统的运动学尺寸、输出件推程起始/终止位置和 (角) 位移规律、许用压力角、凸轮轴心位置以及滚子中心处在做平面运动的连杆上的某一方位线上等条件, 求解滚子中心的容许选择区段、盘形凸轮基圆半径的许用取值范围等。

2012年笔者提出“往程、返程”和“向径刻划线”等新概念, 研究解决了理论上具有复杂性和特殊性、应用上具有广泛性和重要性的槽道、共轭和等径等形锁合凸轮机构的第 Ⅱ 类机构综合问题[2]。

某进口高速印刷机机构[1?2]具有如下显著形态特征:摇块3、凸轮1与机架0构成固定复合铰链O1, 摇块3、连杆2的移动副导路方位线即连杆方位线过O2和O1点, 即恰好沿O2O1方位。

若将上述连杆方位线“过O2和O1点”的限定变换为“过O2而不必过O1点”, 即适当放宽研究讨论的前提框架, 将滚子中心C的选择由局限于“唯一一条方位线”拓展、延伸为“无穷多条方位线”, 即将问题研究投放在一个更一般、更宽泛的前提框架下, 则应该会得到更具普遍性意义和价值的理论研究成果。

文献[1?2]的对象任务是“正置式机构”及其第 Ⅱ 类综合问题, 对象/解答皆是“唯一性”的;本文的对象任务是“偏置式机构”及其第 Ⅱ 类综合问题, 对象/解答之覆盖面皆是“无穷性”的。

我们据前述研究思路, 分别将文献[1?2]和本文讨论的第 Ⅱ 类机构综合问题定义为“狭义第Ⅱ 类机构综合问题”和“广义第 Ⅱ 类机构综合问题”。

本文以更具一般性的偏置式机构为研究对象, 以文献[1?2]研究成果为基础, 对于一维情形, 提出“瞬时/整程区间套”的求解原理和区间套存在性 (态) 的判定方法, 并求解其劣解/非劣解区间套和区间最优解;对于二维情形, 提出“有解区间套”、“整程区域套/机构解全域”的求解原理和区域套存在性 (态) 的判定方法, 并求解其劣解/非劣解区域套和全域最优解等, 圆满解决了广义第 Ⅱ 类机构综合问题解的存在性 (态) 判定及其求解理论和方法。提出的概念、理论和方法对滚子位于连杆上的凸轮- 连杆组合机构皆适用, 同时开发了可自动、快速求解生成{C}[α]存在性态的通用软件CALRFCY。

将源于高速印刷机机构提取得到的第Ⅱ类机构综合问题, 由“一维问题”上升为“二维问题”, 拓展延伸了问题的解空间。通过两个机构综合实例, 阐释论证了偏置式机构较正置式机构具有“你无我有, 你有我优”的固有潜质和显著优越性。

1 广义第 Ⅱ 类机构综合问题的描述

图1所示为某进口高速印刷机机构 (正置式机构[1]) 的拓展/引伸构型 (偏置式机构) 。该机构由凸轮1、连杆2、摇块3、滚子4、摇杆5和机架0组成, 凸轮1、摇杆5分别为输入件和输出件。

该机构的机构综合问题描述如下:

已知机架和摇杆长度l0、l5, 偏距e, 摇杆推程起始/终止位置O20A、O2mA, 摇杆的行程角βm、初位角θ50和推程运动规律β=β (θ1) , 推程运动角φ0和许用压力角[α], 凸轮1、摇块3皆与机架0在O1点处铰接, 从动滚子4中心C位于连杆2方位线O2B上 (点B为自点O1引连杆方位线O2z垂线所得垂足) 。① 对于一维情形 (e=ec, ec为常数, 表示某一偏置值) , 判定整程区间套、滚子中心C、凸轮理论基圆半径r0的存在性 (态) 以及求解劣解/非劣解区间套、区间最优解等;② 对于二维情形, 求解有解区间套、整程区域套/机构解全域{C}[α]、劣解/非劣解区域套、全域最优解等并判定其区域套的存在性 (态) 。

显而易见, 偏置式机构综合问题已由一维问题[1]上升为二维问题, 进而归入广义第 Ⅱ 类机构综合问题的概念范畴。

2 预备公式建立和旋浮数轴概念的引入

2.1 预备公式的建立

建立直角坐标系O1xy如图1所示。选凸轮轴心与原点O1重合, x轴正向与O1A一致, θ2、θ5分别为连杆O2B、摇杆AO2与x轴正向夹角, θ1为原动凸轮1转角。

建立机构封闭矢量方程 (略) , 连杆2的时变长度、角位置分别为

其中, θ2|e=0= ∠O2O1A, 简记为θ2|0:

如图1所示, 共有正偏置 (e>0, λ>0) 、零偏置 (e=0, λ=0) 和负偏置 (e<0, λ<0) 三种情形。负/正偏置分别对应于上/下偏置。显然, 文献[1]讨论的是零偏置即正置式 (e=λ=0) 的情形。

连杆2的类角速度为

其中

如图2所示, 绝对瞬心和相对瞬心P20、P21的坐标分别为

其中, “±”号中的“+”号表示同摆式机构, “-”号表示异摆式机构。

绝对瞬心和相对瞬心P20、P21至P10 (O1) 点的距离分别为

lP20P10、lP21P10简记为l20 (>0) 和l21 (>0) , l20=l20 (θ1) 、l21=l21 (θ1) 皆是θ1的一元函数。

2.2 旋浮数轴的概念

旋浮数轴指固结于连杆2上, 以O2为原点、以O2到B的方向为正向, 随连杆做平面运动的数轴O2z, 如图1所示。

本文称旋浮数轴而非浮动数轴[1]是因为:文献[1]研究对象是单一机构, 而本文研究对象是偏距e可取无数个值的机构群, 连杆上导路方位线O2B宛如绕O2旋转而成, 有无数种情况 (λ∈[-90°, 90°]) , 其运动为“旋转+ 浮动”, 故称旋浮数轴。

建立起旋浮数轴O2z, 导路方位线O2B上的点C可用其坐标zC表示。

2.3 P２０、P２１位于导路方位线O２B同侧/异侧的判定方法

2.3.1 凸轮顺时针转动 (图2)

整个推程中, 无论e>0、e=0还是e<0, 相对瞬心P21始终位于导路方位线O2B上O1点的上方区段, 即恒有yP21>0。

(1) P0、P21位于O2B同侧的判定。对于负 (上) 偏置 (e<0) , 当存在 ①yP20>0且l20+e<0、②yP20>0且l21+e>0、③yP20<0且l21+e<0三种情况时, P20、P21位于O2B同侧;对于正 (下) 偏置 (e>0) , 当存在 ④yP20>0、⑤yP20<0且-l20+e>0二种情况时, P20、P21位于O2B同侧。

(2) P20、P21位于O2B异侧的判定。对于负 (上) 偏置 (e<0) , 当存在 ⑥yP20>0且l20+e>0且l21+e<0、⑦yP20<0且l21+e>0二种情况时, P20、P21位于O2B异侧;对于正 (下) 偏置 (e>0) , 当存在 ⑧yP20<0且-l20+e<0情况时, P20、P21位于O2B异侧。

不难理解:一旦e、θ1给定, 则可算得yP20、l20和l21的值, 进而可判定上述 ① ~ ⑧ 种情况的对应情形。

2.3.2 凸轮逆时针转动

同理, 从略。

3 一维情形 — 瞬时/整程区间套、劣解/非劣解区间套和区间最优解等的求解

3.1 凸轮顺时针转动 (图2)

3.1.1 瞬时/整程区间套的求解原理

(1) P20、P21位于导路方位线O2B同侧 (图2a) 。任一瞬时位置, 以P20P21为弦, 朝旋浮数轴O2z负向作优弧, 使满足∠P20sCsmajorP21s=90°-[α], 理论上存在三种情况:优弧与O2z相交、优弧与O2z相切和优弧与O2z相离。

(2) P20、P21位于导路方位线O2B异侧 (图2b) 。任一瞬时位置, 以P20P21为弦, 朝旋浮数轴O2z负向分别作优弧、劣弧, 使满足∠P20dCdmajorP21d=90°-[α]、∠P20dCdminorP21d=90°+[α], 仅存在一种可能性:优弧、劣弧必分别与O2z相交。

优弧、劣弧交割O2z得C1d、C2d两点, 自然满足∠P20dC1dP21d=90°-[α]、∠P20dC2dP21d=90°+[α], 任一瞬时位置, 满足α≤ [α]条件的滚子中心C的解集为:导路方位线O2B上、居于C1 (含C1s、C1d) 和C2 (含C2s、C2d) 之间的瞬时区间套[zC1, zC2]。

整个推程, 满足α≤ [α]条件的滚子中心C的解集为:导路方位线O2B上, 无数个瞬时区间套[zC1, zC2]的交集, 即整程区间套[zC1max, zC2min]。其中, zC1max和zC2min分别是无数个 “瞬时区间套”[zC1, zC2]中zC1、zC2的最大和最小者。

节省篇幅起见, 图2中仅给出负偏置机构瞬时区间套的求解原理, 正偏置机构的求解原理同理。

3.1.2 整程区间套[zＣ１ｍａｘ, zＣ２ｍｉｎ]ｅｃ［α］的存在性和存在性态

如图2a所示, 设τC=lBC (>0) , 于是zC1=s2-τC1、zC2=s2-τC2 (τC1>τC2, zC1

(1) P20、P21位于导路方位线O2B同侧时, 有

化简整理得

判别式

是θ1的一元函数。Δs (θ1) 存在大于0、等于0、小于0三种可能性, 与前述的“优弧与O2z相交、相切和相离”对应。

式 (12) 有两个解:

在整程θ1∈[0°, Φ0]中对θ1进行一维搜索, 解得所有zC1s中的最大者zC1smax= (s2-τC1) smax和所有zC2s中的最小者zC2smin= (s2-τC2) smin。

(2) P20、P21位于导路方位线O2B异侧时, 有

整理得

判别式

亦是θ1的一元函数。因前述优弧、劣弧必与O2z相交, 故恒有Δd (θ1) >0。

式 (16) 有两解, 取τC1>0 (舍τC1<0) 情况, 有

同理, 设τC2=lBC2 (>0) , 则有

整理得

其判别式同式 (17) 。

同理, 取τC2>0 (舍τC2<0) 情况, 有

在θ1∈[0°, Ф0]内对θ1进行一维搜索, 解得所有zC1d中的最大者zC1dmax= (s2-τC1) dmax和所有zC2d中的最小者zC2dmin= (s2-τC2) dmin。进而, 求解得到

于是, 滚子中心C的容许选择区段即整程区间套为zC∈[zC1max, zC2min][α]。

分析滚子中心C、凸轮理论基圆半径r0的存在性和存在性态, 得到两条重要结论:

(1) θ1∈[0°, Ф0], 若存在Δs (θ1) <0成立的解θ1, 则[zC1max, zC2min][α]=Ω (空集) , 满足α≤ [α]条件的机构解不存在即无解。其几何直观解释为:前述优弧或劣弧与旋浮数轴O2z相离。

(2) θ1∈[0°, Ф0], 若恒有Δs (θ1) ≥0, 则其对应的几何直观解释为:Δs (θ1) >0、Δs (θ1) =0分别表示前述优弧和 (或) 劣弧与旋浮数轴O2z相交和相切。在此情形下又可分为三种情况:① 若zC1max>zC2min且[zC1max, zC2min][α]=Ω (空集) , 则满足α≤ [α]条件的机构解不存在即无解;② 若zC1max=zC2min且[zC1max, zC2min][α]=Λ (独集) , 则满足α = [α]条件的机构解存在且唯一;③ 若zC1max

整程区间套与整程区域套如图3所示。

当机构满足zC1max

(1) 如图3a所示, 若[α]1>[α]2且[zC1max, zC2min]ec[α]1∩[zC1max, zC2min]ec[α]2=[zC1max, zC2min]ec[α]2, 则表明, 随[α]减小, [zC1max, zC2min]ec[α]不断收缩, [α]值小者对应的区间套一定嵌套在[α]值大者的内部。

C*|ec的涵义为:e=ec时, C*|ec就是对应的收缩、聚敛点。

据上可知, 整程区间套[zC1max, zC2min]ec[α]由左右两端点C1[α]、C2[α]封闭而成, 内部存在一个“脊点”C*|ec, 如图3a所示。

显然, C*|ec将[zC1max, zC2min]ec[α]一分为二, 划分成由C1[α]、C*|ec和C*|ec、C2[α]作为左右端点的两个整程子区间套[zC1max, zC*]ec[α]和[zC*, zC2min]ec[α], 如图3a所示。

3.1.3 劣解/非劣解区间套[zＣ１ｍａｘ, zＣ＊]ｅｃ［α］和[zＣ＊, zＣ２ｍｉｎ]ｅｃ［α］的求解

众所周知, 基圆半径r0、压力角α是表征和衡量机构紧凑性、传动性能优劣的两个重要评价指标, 故讨论r0和α两参数具有重要意义。

满足[zC1max, zC2min]ec[α]1∩[zC1max, zC2min]ec[α]2=[zC1max, zC2min]ec[α]2时存在如下三种情况:

(1) 对于[zC1max, zC*]ec[α], 由C1[α]开始沿C1[α]到C*|ec选取C, 靠近C*|ec者r0、α皆占优;远离C*|ec者r0、α皆居劣。

(2) 对于[zC*, zC2min]ec[α], 由C*|ec开始沿C*|ec到C2[α]选取C, 靠近C*|ec者r0居劣、α占优, 远离C*|ec者α居劣、r0占优。

(3) 对于[zC1max, zC*]ec[α]和[zC*, zC2min]ec[α], 相同[α]条件下, 前者r0居劣、后者r0占优。

于是, 得到如下结论:[zC1max, zC*]ec[α]、[zC*, zC2min]ec[α]分别是整程区间套[zC1max, zC2min]ec[α]的劣解区间套和非劣解区间套即多目标优化的Patero解集[15?16], 如图3a所示。

3.1.4 区间最优解C２[α]|ｅｃ、C＊|ｅｃ求解

满足zC1max=zC2min时, 凸轮唯一理论基圆半径为

式中, s20|ec为推程起始位置s2|ec的值。

据式 (1) 有

凸轮最小、最大理论基圆半径为

对应r0min|ec、r0max|ec的滚子中心点分别记为C2[α]|ec和C1[α]|ec, 如图3a所示。

满足α≤[α]时, r0的许用取值范围为

凸轮最优理论基圆半径为

此处的“最优”是指传动性能指标达到最优。

综上可得r0min|ec

一般地, 因回程取[α]r[70°, 80°], 推程整程区间套一般皆嵌套于回程整程区间套中, 故回程可免予考虑。

3.2 凸轮逆时针转动

研究思路和方法同3.1节, 从略。

本文式 (1) ~式 (25) 虽由偏置式机构推得, 亦适用于正置式机构, 是偏置/正置式机构的通用公式, 例如, e=0、λ=0时, 本文式 (1) 、式 (5) 、式 (8) 和式 (9) 则演变为文献[1]式 (1) ~式 (6) 。

4 二维情形 ——— 有解区间套、整程区域套/ 机构解全域{C}［α］和全域最优解C＊|｛Ｃ｝、C＊＊|｛Ｃ｝等的求解

4.1 凸轮顺时针转动

4.1.1 有解区间套[eｍｉｎ, eｍａｘ]［α］的求解

本研究中, e是一个具有牵引功能的重要变量。e的理论取值范围分析如下:

无论正偏置 (e>0) 、负偏置 (e<0) , 据图1a、图1b中直角三角形ΔO1O2B的推程起始位置, 有O1B

给定[α]值, 称对应机构有解的e的实际取值范围为有解区间套, 记为e∈{[emin, emax][α]}。

分析{[emin, emax][α]}的存在性和存在性态, 得到如下重要结论:

(1) 若e∈{[emin, emax][α]}=Ω (空集) , 则满足α≤ [α]条件的e不存在, 如图4a所示。

(2) 若e∈{[emin, emax][α]}=Λ (独集) , 则满足α= [α]条件的e存在且唯一, 如图4b所示。

(3) 若

e∈ {[emin, emax][α]}=Γ (无穷集) (26)

则满足α≤ [α]条件的e存在且有无数个, 如图3b和图4c~图4f所示。

满足式 (26) 时, 可细分为如下两种情况:

(1) 第一种情况为

{[emin, emax][α]}= [eminI, emaxI][α] (27)

即完整的有解区间套由单一连通的有解区间套构成, 如图4c~图4f所示。

(2) 第二种情况为

且有emaxⅠ [α]

此时, 当e∈ (emaxⅠ[α], eminⅡ[α]) 时, 优弧和 (或) 劣弧与旋浮数轴O2z相离, 即无解。

4.1.2 整程区域套/机构解全域{C}［α］的求解

4.1.2.1 {C}［α］的概念及若干特征性质

若满足式 (26) , 则可得到无数个e值和满足Δs (θ1) ≥0且zC1max=zC2min的整程区间套简记为[zC1max, zC2min]e[α]。实际上, 这是由无数一维整程区间套构成的二维整程区域套。

机构解全域就是满足α≤ [α]条件的滚子中心C的完全解集{C}[α]e∈, 简记为{C}[α]。{C}[α]即为二维整程区域套。

几何直观上, {C}[α]可视为两条边界线{C2[α]}和{C1[α]}封闭成的二维平面区域, 如图3b中涂色区域所示。

进一步研究发现, 满足式 (26) 时, 有如下3种情形:

(1) 如图3b所示, 若[α]1>[α]2, 则有

式 (29) 、式 (30) 表明:随[α]减小, [emin, emax][α]和[zC1max, zC2min]e[α]“同步”收缩, 且[α]值小者一定嵌套于[α]值大者的内部。

(2) 当[α]逐渐减至[α]**时, [emin, emax][α]和[zC1max, zC2min]e[α]同时收缩、聚敛为同一点C**|{C}, 此时有e*|e=em*in|e=em*ax|e, z*|e=zC*1max|e=zC*2min|e, 如图3b所示。

(3) 对应[emin, emax][α], 有无数个脊点C*|ec构成{C}[α]内部的一条脊线{C*|e∈}, 如图3b所示。

沿{C*|e∈}, 随e由emin[α]渐增至e**时, 压力角许用值由[α]单调减至[α]**;由e**渐增至emax[α]时, 压力角许用值又由[α]**单调增至[α]。[α]**为无数个[α]*|ec中的最小者, 即[α]**=min{[α]*|e}。

不难证明:前述的C**|{C｝点就是e**、[α]**的对应出现点。于是称C**|{C｝点为“谷底特征点”, 这是因为该点的[α]*|ec值是{C*|e∈}上取得的[α]*|e的最小值, 宛如谷底。C**|{C｝点有如下特征:e=e**, zC=zC**, r0=r0**, [α]= [α]**。

C**|{C｝的物理意义或内涵为:C**|{C｝是{C}[α]中具有全局最小 (或最优) 传动角的机构解。

4.1.2.2 {C}［α］的求解

选取e为牵引变量, 用一维搜索方法求解。为方便求解, 对e作等间距/离散化处理, 具体步骤如下:

(1) 取搜索步长Δe=10-k (mm) (k=1, 2, 3, 据精度要求而定) 。

(2) 取整数int (-s20) 、int (s20) 作为e的搜索初值和终值。

(3) i←1, 计算e的各离散值:

得到e的离散序列{ei}。由此, 将对e的搜索转化为对i的一维搜索。

(4) 依次取i=1, 2, …, imax, 据第2、第3章理论和公式, 逐个 (组) 计算所有对应的Δsi、zC1maxi和zC2mini的具体值。

(5) 逐个判断各整程区间套存在性 (态) 。分别记有解、无解的i为iy和in, 取前者而弃后者。对于解序列{iy}, 必存在iy的最小、最大值iymin和iymax。

由式 (27) 、式 (28) , 再据{iy}, 得到其解域有如下两种情况:

① 解域为单一连续序列{iy}Ⅰ。此时其对应偏距集合为, 区间套为, 对应的基圆半径值为{[r0miniy, r0maxiy]}Ⅰ。

②解域为彼此分离、非连通的两个连续序列{iy}Ⅰ、{iy}Ⅱ, 满足iyⅡmin-iyⅠmax≥2。对应的两区域的偏距集合分别为{eiy}Ⅰ和{eiy}Ⅱ对应的两区域的区间套分别为

对应的基圆半径值分别为

值得指出的是, {eiy}Ⅰ、{eiy}Ⅱ分别存在eiy的最小和最大值, 即

图4e、4f所示案例印证了上述情况的真实存在性。

值得指出的是, C*Ⅱ点 (类似“彗核”) 对应的r0*minⅡ的数值大, 甚至接近l0。显然, 此解乃至彗星状的整个子区域套 Ⅱ 仅具有理论意义而不具有工程实用价值。

与子区域套 Ⅰ 相比, 子区域套 Ⅱ 因不具有竞争力而被“整体性淘汰出局”。

满足α≤[α]条件、离散形式表述的机构解全域为{C}[α]。

为清楚表达{C}[α]和{C*|e∈}等, 选取固定“标定基准”即机构推程初始位置O1O20A, 将式 (31) 整体、全貌性地呈现于机构图中, 得到{C}[α]等的几何直观图示, 见图3b或图4c~图4f所示的涂色区域。

据理论公式, 开发出可自动、快速求解生成{C}[α]等的通用软件CALRFCY。本文中图3b和图4b、图4c~图4f即源自该软件。

4.1.3 劣解、非劣解区域套{C}１［α］和{C}２［α］的求解

{C}[α]由两条边界线{C1[α]}、{C2[α]}封闭而成, 内部还存在一条脊线{C*|e∈}, 如图3b或图4c~ 图4f所示。显然, {C*|e∈}将{C}[α]划分为以{C1[α]}和{C*|e∈}以及{C*|e∈}和{C2[α]}为边界的两部分即子区域套{C}1[α]和{C}2[α]。显见, 对于所有的e值 (e=ec) 有如下三种情况:

(1) 对于{C}1[α], 由{C}1[α]开始沿{C}1[α]到{C*|e∈}选取C, 靠近{C*|e∈}者r0、α皆占优, 远离{C*|e∈}者r0、α皆居劣。

(2) 对于{C}2[α], 由{C*|e∈}开始沿{C*|e∈}到{C}2[α]选取C, 靠近{Ce*∈}者r0居劣、α占优, 远离{C*|e∈}者r0占优、α居劣。

(3) 对于{C}1[α]和{C}2[α], 相同[α]条件下, 前者r0居劣, 后者r0占优。

根据多目标优化理论[15?16], 得到如下结论:{C}1[α]和{C}2[α]分别为{C}[α]中的劣解区域套和非劣解区域套即Patero解集。故图3b、图4c~图4f中, {C}2[α]、{C}1[α]分别用深色、浅色区域标示。

显而易见, 劣解区域套{C}1[α]理论上已淘汰出局, 机构综合时, 实际仅需考虑非劣解区域套{C}2[α]。

4.1.4 全域最优解C＊|｛Ｃ｝、C＊＊|｛Ｃ｝的求解

(1) C*|{C｝的求解。全域最优解C*|{C｝系指{C}1[α]中对应取得r0min最小值 (r0min) min的那组机构解。其几何直观解释为:分别以O1、r0*min为圆心和半径画弧, 得到的与边界线{C}2[α]相切的切点C2*[α], 如图4c~图4f所示。

比较所有r0miniy的值, 筛得最小者, 即

记与r*0min对应的r0miniy为r0minp, 即iy=p。于是, 全域最优解C*|{C｝在e*=ep时取得, 对应的区间套缩为一点, 即zC*2min=zC2minp, 对应的基圆半径为r0*min=r0minp。

(2) C**|{C｝的求解。全域最优解C**|{C｝系指{C}[α]中具有全局最小 (或最优) 传动角的机构解。

对所有有解的偏距值{eiy｝进行搜索, 可得任一偏距上的最小压力角值, 其集合为

对应的zC值的集合为{zC*iy｝，对应的基圆半径值集合为{r0*iy｝。

据此, 比较所有的[α]miniy值, 筛得最小者, 记与[α]**对应的[α]miniy为[α]minq, 即iy=q, 于是, 全域最优解C**|{C｝对应的偏距值为e**=eq, 对应zC值为zC**=zCq, 对应的基圆半径为r0**=r0*q, 对应的压力角为[α]**=[α]minq。

4.2 凸轮逆时针转动

研究思路和方法同4.1节, 略。

5 机构综合示例

例1已知l0=140mm, l5=50mm, θ50=140°, βm=90°, 凸轮顺时针转动, 摇杆推程符合摆线运动规律, Ф0=150°, [α]=40°, 求解:①e=0 (正置式) 对应的r0min|0值;②e=-10mm (偏置式) 对应的r0min|-10值, 并比较讨论①、②的求解结果;③机构解全域{C}[α]并讨论之。

求解过程如下:①e=0。据本文或文献[1]理论公式, 解得zC1max=62.9794mm, zC2min=59.9528mm, 属于zC1max>zC2min的情况, 机构解不存在, 如图4c所示。②e=-10mm。解得zC2min=73.2145mm, 凸轮的最小基圆半径r0min=34.4542mm。比较①和②可知, 仅偏置式机构有解, 正置式机构无解。以上表明:较正置式, 采取适当偏置 (此时负偏置) , 可以实现 “你无我有”。③ 取k=2, Δe=0.01mm, 解得所有的eiy、[zC1max, zC2min]iy和[r0min, r0max]iy, 计算所有的eiy、s20iy、zC1maxiy、zC2miniy和r0miniy、r0maxiy, 并将具有代表性的数值列于表1。

由表1清楚可见, i∈[7308, 8437]对应有解区域, i∈[1, 7307]和i∈[8438~18 000]对应无解区域, 如CALRFCY自动生成的图4c所示。

例2 除βm=80°外, l0、l5、θ50、Ф0、[α]、凸轮运动规律函数、摇杆运动规律等前提已知条件皆与例1相同, 求解:①e=0 (正置式) 对应的r0min|0、[α]*|0和r0*|0值。②e= -20mm (负偏置) 时的r0min|-20、[α]*|-20、r0*|-20值和e=20mm (正偏置) 时的r0min|20、[α]*|20和r0*|20值并比较讨论 ①、②的求解结果。③ 全域最优解C*|{C｝、C**|{C｝并比较讨论 ①、③ 的求解结果。

求解过程如下:

(1) 对于e=0 (正置式) , 采用文献[1]的求解结果即zC2min|0=64.4518mm, 对应的r0min|0=42.2036mm, 如图4d中C*|0点所示。

比较上述结果可知:r0min|-20< r0min|0

由上显见, 上偏置对应的机构解优于正置式的机构解, 正置式对应的机构解优于下偏置对应的机构解。

以上表明:相对正置式, 选取适当负 (上) 偏置, 可以实现“你有我优”。

(3) 取k=3, Δe=0.001mm, 解得所有的, 算出所有的值。解得C*|{C}对应的解:

如图4d中的C*|{C｝点所示。

据式 (33) ~式 (34) , 解得C**|{C｝对应的解:

如图4d中的C**|{C｝点所示。

6 结论

(1) 提出“狭义、广义第Ⅱ类机构综合问题”的概念, 跳脱正置式机构的局限, 拓展了机构对象的范围, 丰富了第Ⅱ类机构综合问题的内涵和外延。

(2) 将第Ⅱ类机构综合问题, 由一维问题上升为二维问题, 拓展延伸了问题的解空间, 为机构的优化综合提供了理论依据。

(3) 通过引入“有解区间套”、“整程区域套/机构解全域”和“非劣解区域套”等概念, 系统提出了二维情形的求解理论和方法, 且此方法对滚子位于连杆上的凸轮-连杆组合机构皆适用。

(4) 在相同前提条件下, 偏置式机构较正置式机构具有“你无我有、你有我优”的固有潜质和显著优越性。

摘要：提出了“狭义、广义第Ⅱ类机构综合问题”的概念;通过建立预备公式、引入“旋浮数轴”概念等, 对于一维情形, 提出“瞬时/整程区间套”的求解原理和区间套存在性 (态) 的判定方法, 并求解其“劣解/非劣解区间套”和“区间最优解”;对于二维情形, 提出“有解区间套”、“整程区域套/机构解全域”的求解原理和区域套存在性 (态) 的判定方法, 并求解其“劣解/非劣解区域套”和“全域最优解”等;基于Visual Basic6.0软件开发了具有可视化、规律发掘功能的通用软件CALRFCY, 从而解决了“广义第Ⅱ类机构综合”解的存在性 (态) 判定及其求解方法的问题。通过两个机构综合实例论证了偏置式机构较正置式机构具有“你无我有, 你有我优”的固有潜质和显著优越性。

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