高考考点

2024-05-17

高考考点（精选十篇）

高考考点篇1

电磁感应是高考的必考内容, 在历年高考中所占的分值比较高.仔细研究高考对电磁感应内容的考查, 发现本章的考查重点主要有感应电流产生的条件、感应电流方向的判断、法拉第电磁感应定律的应用、对自感现象和涡流的理解、电磁感应的图象问题、电磁感应的电路问题、电磁感应的动力学问题、电磁感应的能量问题.本文例说、点评总结电磁感应的高考考点, 抛砖引玉, 希望对同学们的学习有所启发.

一、感应电流产生的条件

当穿过闭合电路的磁通量发生变化时, 电路中有感应电流产生的现象.产生感应电流的条件是穿过闭合电路的磁通量发生变化.

【例1】在如下所示的各种运动情形中, 金属线框或线圈里能产生感应电流的有 ()

解析:选项A中线框的磁通量没有发生变化, 选项B中的线框的磁通量正在减少, 选项C中的线框的磁通量正在增大, 选项D中的线圈的磁通量先增大后减小, 选项BCD中的金属线框或线圈里均能产生感应电流.

点评:闭合回路产生感应电流的条件是回路的磁通量发生变化, 而不是看回路中有没有导体在切割磁感线, 如本题选项A中线框的左右两边均切割磁感线, 但是整个回路磁通量不变化, 没有感应电流产生.

二、感应电流方向的判断———楞次定律右手定则

1.楞次定律

感应电流具有这样的方向, 即感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化, 适用于一切电磁感应中感应电流方向的判断.

【例2】电阻R、电容C与一线圈连成闭合回路, 条形磁铁静止于线圈的正上方, N极朝下, 如图1所示.现使磁铁开始自由下落, 在N极接近线圈上端的过程中, 流过R的电流方向和电容器极板的带电情况是 ()

A.从a到b, 上极板带正电

B.从a到b, 下极板带正电

C.从b到a, 上极板带正电

D.从b到a, 下极板带正电

解析:条形磁铁接近线圈的过程中, 线圈中的磁通量增大, 原磁场的方向向下, 则感应电流的磁场方向向上, 由安培定则知线圈中感应电流方向从上向下看为逆时针, 流过R的电流方向为从b向a, 电容器下极板带正电, 故选项D正确, 选项A、B、C错误.

【总结】应用楞次定律判断线圈中感应电流方向的步骤:

(1) 确定原磁场的方向;

(2) 明确回路中磁通量变化情况;

(3) 应用“增反减同”, 确定感应电流磁场的方向;

(4) 根据安培定则, 判定感应电流的方向.

2.右手定则

伸开右手, 使拇指与其余四个手指垂直, 并且都与手掌在同一个平面内;让磁感线从掌心进入, 并使拇指指向导线运动的方向, 这时四指所指的方向就是感应电流的方向.该定则适用于导体切割磁感线产生感应电流方向的判断.

【例3】如图2所示, 在竖直向下的匀强磁场中, 将一水平放置的金属棒ab以水平速度v0抛出.设在整个过程中, 棒的取向不变且不计空气阻力, 则在金属棒运动过程中产生的感应电动势大小变化情况是 ()

A.越来越大

B.越来越小

C.保持不变

D.无法判断

解析:金属棒水平抛出后, 在垂直于磁场方向上的分速度v0不变, 由E=BLv0可知, 感应电动势的大小保持不变, 选项C正确.

【总结】楞次定律和右手定则的关系:

(1) 研究对象不同.楞次定律研究的是整个闭合回路, 右手定则研究的是做切割磁感线运动的一段导体.

(2) 适用范围不同.楞次定律可应用于磁通量变化引起感应电流的各种情况 (包括一部分导体切割磁感线运动的情况) , 右手定则只适用于一段导体在磁场中做切割磁感线运动的情况.

三、法拉第电磁感应定律

1.感应电动势

在电磁感应现象中产生的电动势叫感应电动势, 产生感应电动势的条件为穿过回路的磁通量发生改变, 感应电动势的方向用楞次定律或右手定则判断.

2.法拉第电磁感应定律

闭合电路中感应电动势的大小, 跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比, 公式表示为E=nΔΦ/Δt, 其中n为线圈匝数.

【例4】如图3所示, A、B两个闭合线圈用同样的导线制成, 匝数都为10匝, 半径RA=2RB, 图示区域内磁感应强度随时间的变化规律为B=0.2+0.1t, 则A、B线圈中产生的感应电动势之比和线圈中的感应电流之比分别为多少?

解析:A、B两闭合线圈中磁通量变化率均为ΔB/Δt=0.1T/s, 线圈匝数均为10匝, 线圈在磁场范围内的有效面积S相同, 由E=nSΔB/Δt, 可得EA∶EB=1∶1;又因为R=ρl/S, 则RA∶RB=2∶1, 由I=E/R, 所以IA∶IB=1∶2.

【总结】用公式E=nSΔB/Δt, 求感应电动势时, ΔB/Δt为B-t图象中图线的斜率, n为线圈的匝数, 特别注意S为线圈在磁场范围内的有效面积.

四、自感现象和涡流

1.自感现象

由于通过导体自身的电流发生变化而产生的电磁感应现象.

2.涡流

当线圈中的电流发生变化时, 在它附近的导体中产生感应电流, 这种电流像水的旋涡, 叫涡流.

【例5】在如图4所示的电路中, 两个灵敏电流表G1和G2的零点都在刻度盘中央, 当电流从“+”接线柱流入时, 指针向右摆;电流从“-”接线柱流入时, 指针向左摆.在电路接通后再断开的瞬间, 下列说法中符合实际情况的是 ()

A.G1表指针向左摆, G2表指针向右摆

B.G1表指针向右摆, G2表指针向左摆

C.G1、G2表的指针都向左摆

D.G1、G2表的指针都向右摆

解析:电路接通后线圈中电流方向向右, 当电路断开时, 线圈中电流减小, 产生与原方向相同的自感电动势, 与G1、G2和电阻组成闭合回路, 所以G1中电流方向向右, G2中电流方向向左, 即G1指针向右摆, G2指针向左摆, 选项B项正确.

点评:当线圈中的电流增大时, 线圈产生自感电动势, 自感电动势的方向和原电流的方向相反, 阻碍线圈中电流的增大;当线圈中的电流减小时, 线圈产生自感电动势, 自感电动势的方向和原电流的方向相同, 阻碍线圈中电流的减小.

【例6】光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线, 如图5所示, 抛物线的方程是y=x2, 下半部处在一个水平方向的匀强磁场中, 磁场的上边界是y=a的直线 (图中的虚线所示) , 一个小金属块从抛物线上y=b (b>a) 处以速度v沿抛物线下滑, 假设抛物线足够长, 金属块沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是 ()

A.mgbB.1/2mv2

C.mg (b-a) D.mg (b-a) +1/2mv2

解析:金属块在进出磁场过程中要产生感应电流, 机械能要减少, 上升的最大高度不断降低, 最后刚好飞不出磁场, 在磁场中往复运动, 由能量守恒可得Q=ΔE=1/2mv2+mg (b-a) .

点评:在金属块进入磁场或离开磁场时, 金属块中部分闭合回路的磁通量发生变化, 回路中产生感应电流, 感应电流通过电阻产生焦耳热.当金属块在磁场外或全部进入磁场运动时, 金属块中没有磁通量变化的回路, 不产生感应电流, 不产生焦耳热.

五、电磁感应的图象问题

1.图象类型

(1) 磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图象, 即B-t图象、Φ-t图象、E-t图象和I-t图象.

(2) 对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况, 还常涉及感应电动势E和感应电流I随位移x变化的图象, 即E-x图象和I-x图象.

2.问题类型

(1) 由给定的电磁感应过程判断或画出正确的图象.

(2) 由给定的有关图象分析电磁感应过程, 求解相应的物理量.

(3) 利用给出的图象判断或画出新的图象.

【例7】一矩形线圈位于一随时间t变化的磁场内, 磁场方向垂直线圈所在的平面 (纸面) 向里, 如图6所示.磁感应强度B随时间t的变化规律如图7所示.以I表示线圈中的感应电流, 以图6中线圈上箭头所示方向为电流的正方向, 则以下的I-t图中正确的是 ()

解析:由题干图7可知, 在0~1s的时间内, 磁感应强度均匀增大, 由楞次定律判断出感应电流的方向为逆时针方向, 和题干图6中所示电流相反, 所以为负值, 选项B、C均错误;根据法拉第电磁感应定律, 其大小E=ΔΦ/Δt=ΔB·S/Δt, I=E/R=ΔB·S/Δt·R为一定值, 在2~3s和4~5s时间内, 磁感应强度不变, 磁通量不变化, 无感应电流, 选项A正确、D错误.

【总结】电磁感应图象问题的解决方法:

(1) 明确图象的种类, 即判断是B-t图象还是Φ-t图象, 或者还是E-t图象、I-t图象等.

(2) 分析电磁感应的具体过程, 判断对应的图象是否分段, 共分几段.

(3) 用右手定则或楞次定律确定感应电流的方向.

(4) 结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿定律等规律写出函数关系式.

(5) 根据函数关系式, 进行数学分析.

(6) 画图象或判断图象

六、电磁感应的电路问题

1.电磁感应的电源

(1) 电源电动势的大小可由E=Blv或E=nΔΦ/Δt求得.

(2) 电源的正、负极可用右手定则或楞次定律判定.

2.电磁感应的电路

(1) 在电磁感应电路中, 相当于电源的部分把其他形式的能通过电流做功转化为电能.

(2) “电源”两端的电压为路端电压, 而不是感应电动势.

【例8】如图8所示, 在磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中, 有一等边三角形ABC的固定裸导体框架, 框架平面与磁感线方向垂直, 裸导体DE能沿着导体框架滑动, 且滑动时一直能与框架保持良好的接触.已知三角形的边长为0.2m, 且三角形框架和导体DE的材料、横截面积相同, 它们单位长度的电阻均为每米10Ω, 当导体DE以v=4.2m/s的速度 (速度方向与DE垂直) 下滑至AB、AC的中点M、N时, 求:

(1) M、N两点间感应电动势的大小;

(2) 流过导体框底边BC的电流多大?方向如何?

解析: (1) 该位置处, MN=0.1m.

E=BLv=0.5×0.1×4.2V=0.21V.

(2) 该位置处等效电路如图9所示.

据右手定则, 结合电路, 电流由B流向C.

【总结】解决电磁感应中的电路问题的三个步骤:

(1) 确定电源.切割磁感线的导体或磁通量发生变化的回路将产生感应电动势, 该导体或回路就相当于电源, 利用E=nΔΦ/Δt或E =Blvsinθ求感应电动势的大小, 利用右手定则或楞次定律判断电流方向.

(2) 分析电路结构 (内、外电路及外电路的串、并联关系) , 画出等效电路图.

(3) 利用电路规律求解.主要应用欧姆定律及串、并联电路的基本性质等列方程.

七、电磁感应的动力学问题

1.两种状态及处理方法

2.动力学问题的分析思路

磁场对电流的安培力是联系电磁感应与力学问题的桥梁, 由于导体切割磁感线运动产生的感应电流与导体的加速度有着相互制约关系, 因此导体一般不做匀变速直线运动, 而是经历一个动态变化过程再趋于一个稳定状态.

【例9】如图10所示, 质量为M的导体棒ab, 垂直放在相距为l的平行光滑金属导轨上, 导轨平面与水平面的夹角为θ, 并处于磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场中, 左侧是水平放置、间距为d的平行金属板, R和Rx分别表示定值电阻和滑动变阻器的阻值, 不计其他电阻.

(1) 调节Rx=R, 释放导体棒, 当棒沿导轨匀速下滑时, 求通过棒的电流I及棒的速率v.

(2) 改变Rx, 待棒沿导轨再次匀速下滑后, 将质量为m、带电荷量为+q的微粒水平射入金属板间, 若它能匀速通过, 求此时的Rx.

解析: (1) 导体棒匀速下滑时, 有

Mgsinθ=BIl

设导体棒产生的感应电动势为E0, 则

E0=Blv

由闭合电路欧姆定律得

I=E0/R+Rx

(2) 改变Rx, 由棒ab匀速下滑时有Mgsinθ=BIl, 可知电流不变.设带电微粒在金属板间匀速通过时, 板间电压为U, 电场强度大小为E, 则有

【总结】

1.电磁感应动力学问题中, 要做好受力情况、运动情况的动态分析.

2.抓住“速度变化引起安培力变化”这个关系, 这是解题的关键.

八、电磁感应的能量问题

1.电磁感应中的能量转化特点

外力克服安培力做功, 把机械能或其他形式的能量转化成电能;感应电流通过电路做功又把电能转化成其他形式的能 (如内能) .

2.能量转化途径可表示为:

【例10】如图11所示, 一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内, 导轨间距l=0.5m, 左端接有阻值R=0.3Ω的电阻.一质量m =0.1kg, 电阻r=0.1Ω的金属棒MN放置在导轨上, 整个装置置于竖直向上的匀强磁场中, 磁场的磁感应强度B=0.4T.棒在水平向右的外力作用下, 由静止开始以a=2m/s2的加速度做匀加速运动, 当棒的位移x=9m时撤去外力, 棒继续运动一段距离后停下来, 已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比Q1∶Q2=2∶1.导轨足够长且电阻不计, 棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触.求:

(1) 棒在匀加速运动过程中, 通过电阻R的电荷量q;

(2) 撤去外力后回路中产生的焦耳热Q2;

(3) 外力做的功WF.

解析: (1) 设棒匀加速运动的时间为Δt, 回路的磁通量变化量为ΔΦ, 回路中的平均感应电动势为, 由法拉第电磁感应定律得

【总结】电磁感应现象中电能的三种计算方法:

(1) 利用克服安培力做功求解.电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功.

(2) 利用能量守恒求解.机械能的减少量等于产生的电能.

(3) 利用电路特征求解.通过电路计算所产生的电能.

九、配套检测题

1.在如下所示的各种运动情形中, 金属线框或线圈中产生感应电流的是 ()

2.如图12所示, 导轨间的磁场方向垂直于纸面向里, 当导线MN在导轨上向右加速滑动时, 正对电磁铁A的圆形金属环B中 ()

A.有感应电流, 且B被A吸引

B.无感应电流

C.可能有, 也可能没有感应电流

D.有感应电流, 且B被A排斥

3.如图13所示, 两根足够长的光滑金属导轨水平平行放置, 间距为L=1m, cd间、de间、cf间分别接着阻值为R=10Ω的电阻.一阻值为R=10Ω的导体棒ab以速度v=4m/s匀速向左运动, 导体棒与导轨接触良好, 导轨所在平面存在磁感应强度大小为B=0.5T, 方向竖直向下的匀强磁场.下列说法中正确的是 ()

A.导体棒ab中电流的流向为由b到a

B.cd两端的电压为1V

C.de两端的电压为1V

D.ef两端的电压为1V

4.如图14 (a) 、 (b) 所示的电路中, 电阻R和自感线圈L的电阻值都很小, 且小于灯A的电阻, 接通S, 使电路达到稳定, 灯泡A发光, 则 ()

A.在电路 (a) 中, 断开S后, A将逐渐变暗

B.在电路 (a) 中, 断开S后, A将先变得更亮, 然后逐渐变暗

C.在电路 (b) 中, 断开S后, A将逐渐变暗

D.在电路 (b) 中, 断开S后, A将先变得更亮, 然后逐渐变暗

5.矩形导线框abcd固定在匀强磁场中, 磁感线的方向与导线框所在平面垂直.规定磁场的正方向垂直纸面向里, 磁感应强度B随时间变化的规律如图15所示, 若规定顺时针方向为感应电流i的正方向, 下列i-t图中正确的是 ()

6.如图16所示, 直角三角形导线框abc固定在匀强磁场中, ab是一段长为L、电阻为R的均匀导线, ac和bc的电阻可不计, ac长度为L/2.磁场的磁感应强度为B, 方向垂直纸面向里.现有一段长度为L/2, 电阻为R/2的均匀导体棒MN架在导线框上, 开始时紧靠ac, 然后沿ab方向以恒定速度v向b端滑动, 滑动中始终与ac平行并与导线框保持良好接触, 当MN滑过的距离为L/3时, 导线ac中的电流为多大?方向如何?

7.如图17所示, 足够长的光滑平行导轨MN、PQ倾斜放置, 两导轨间距离为L=1.0m, 导轨平面与水平面间的夹角为θ=30°, 磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向上, 导轨的M、P两端连接阻值为R=3.0Ω的电阻, 金属棒ab垂直于导轨放置并用细线通过光滑定滑轮与重物相连, 金属棒ab的质量m=0.20kg, 电阻r=0.50Ω, 重物的质量M=0.60kg, 如果将金属棒和重物由静止释放, 金属棒沿斜面上滑的距离与时间的关系如下表所示, 不计导轨电阻, g取10m/s2.求:

(1) ab棒的最终速度是多少?

(2) 磁感应强度B的大小是多少?

(3) 当金属棒ab的速度v=2m/s时, 金属棒ab上滑的加速度大小是多少?

8.如图18所示, 质量m1=0.1kg, 电阻R1=0.3Ω, 长度l=0.4m的导体棒ab横放在U型金属框架上, 框架质量m2=0.2kg, 放在绝缘水平面上, 与水平面间的动摩擦因数μ=0.2, 相距0.4m的MM′、NN′相互平行, 电阻不计且足够长.电阻R2=0.1Ω的MN垂直于MM′.整个装置处于竖直向上的匀强磁场中, 磁感应强度B=0.5T.垂直于ab施加F=2N的水平恒力, ab从静止开始无摩擦地运动, 始终与MM′、NN′保持良好接触.当ab运动到某处时, 框架开始运动.设框架与水平面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力, g取10m/s2.

(1) 求框架开始运动时ab速度v的大小;

(2) 从ab开始运动到框架开始运动的过程中, MN上产生的热量Q=0.1J, 求该过程ab位移x的大小.

【配套检测题参考答案】

1.答案:B

解析:选项A中线圈没闭合, 无感应电流;选项B中磁通量增大, 有感应电流;选项C中导线在圆环的正上方, 不论电流如何变化, 穿过线圈的磁感线相互抵消, 磁通量变化量恒为零, 也无感应电流;选项D中的磁通量不变化, 无感应电流;故选项B正确.

2.答案:D

解析:MN向右加速滑动, 根据右手定则, MN中的电流方向从N流向M, 且电流在增大, 根据安培定则知, 电磁铁A的左端为N极, 且磁场强度逐渐增强, 根据楞次定律知, B环中的感应电流产生的内部磁场方向向右, B被A排斥, 选项D正确.

3.答案:BD解析:导体棒ab以速度v=4m/s匀速向左运动, 由右手定则可判断出导体棒ab中电流的流向为由a到b, 选项A错误;由法拉第电磁感应定律, 产生的感应电动势E=BLv=2V, 感应电流I=E/2R=0.1A, cd两端的电压为U1=IR=1V, 选项B正确;由于de、cf间没有电流, de、cf两端的电压均为零, 则ef两端的电压为1V, 选项C错误、D正确.

4.答案:AD

解析: (a) 电路中, 灯A和线圈L串联, 电流相同, 断开S时, 线圈上产生自感电动势, 阻碍原电流的减小, 通过R、A形成回路, A将逐渐变暗, 选项A正确、B错误; (b) 电路中, 电阻R和灯A串联, 灯A的电阻大于线圈L的电阻, 线圈L中的电流大于灯A的电流, 断开S时, 线圈产生自感电动势阻碍电流的减小, 通过A、R形成回路, 灯A中电流比原来大, A将先变得更亮, 然后逐渐变暗, 选项C错误、D正确.

5.答案:D

解析:由楞次定律可判断出在前四个1s内感应电流的方向分别为负方向、正方向、正方向、负方向.由题图可知, 在每1s内, 磁感应强度的变化率ΔB/Δt的大小相同, 导体框中产生的感应电动势E=ΔΦ/Δt=ΔB/Δt·S恒定, 感应电流大小恒定, 故选项A、B、C错误, D正确.

6.解析:MN滑过的距离为L/3时, 它与bc的接触点为P, 等效电路图如图19所示.

由几何关系可知MP长度为L/3, MP中的感应电动势为E=1/3BLv;

MP段的电阻为r=1/3R;

MacP和MbP两电路的并联电阻为

由欧姆定律, PM中的电流为I=E/r+r并;

ac中的电流Iac=2/3I;

解得Iac=2BLv/5R.

根据右手定则, MP中的感应电流的方向由P流向M, 所以电流Iac的方向由a流向c.

答案:2BLv/5R;由a流向c.

7.解析: (1) 由表中数据可以看出最终ab棒将匀速运动vm=Δx/Δt=3.5m/s.

(2) 棒受力如图20所示, 由平衡条件可得

(3) 当速度为2m/s时, 安培力

对金属棒ab有:FT-F-mgsin30°=ma;

对重物有:Mg-FT=Ma;

联立上述各式, 代入数据得a=2.68m/s2.

答案: (1) 3.5m/s; (2T; (3) 2.68m/s2.

8.解析: (1) ab对框架的压力为FN1=m1g;

框架受水平面的支持力为FN2=m2g+FN1;

高考考点标语篇2

2. 轻装上阵仔细作答该出手时就出手，广开思路认真分析想得分时就得分。

3. 都准备好了，我还怕什么?

4. 杏坛翘楚依实力激扬文字，巴蜀精英凭诚信指点江山。

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6. 遵循生活规律，保持良好心态。

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9. 微笑迎考，成功在望。

10. 考试，不仅是智力的竞争，更是意志态度精神的竞争。

11. 不放过一点疏漏，不放弃一分希望。

12. 你易他也易，就看谁细心;你难他也难，就看谁专心。

13. 看清楚，想透彻，答准每道题。

14. 易题不丢失半分，难题不放弃努力。

细说考点备战高考篇3

矩阵是线性代数（高等代数）的基础和核心.高中数学选修42矩阵与变换，是高中阶段新增内容之一，也是江苏新课标高考中理科附加卷中必做题.“矩阵与变换”这一选修专题，以二维矩阵为载体，目的是让同学们初步了解矩阵的“运算”规律，理解二维空间中的变换可以用矩阵表示，可以从几何变换的角度来学习矩阵.这将为我们以后学习高等数学作铺垫.问题是高考对此内容有何要求？会考什么？怎么考？这是同学们迫切想知道的.在此，结合课程标准与近几年的高考谈谈矩阵与变换，供同学们在复习迎考时参考.

一、细说考点

选修42是通过平面图形的变换讨论二阶矩阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，以变换为主线贯穿于整个教材，要求通过图形变换理解并掌握初等变换，理解矩阵对向量的作用.考试的重点是初等变换与矩阵的乘法、矩阵的特征值和特征向量.具体要求如下：1.了解以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义，如求一个二阶矩阵与一列向量相乘的结果；理解矩阵可表示如下常见的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影，如一个矩阵将已知图形（或方程表示的图形）变成了什么图形，并指出表示什么变换？2.了解矩阵与矩阵的乘法的意义，会通过具体的几何图形变换说明矩阵乘法，如求两个二阶矩阵相乘的结果，并指出表示什么样的复合变换.3.理解逆矩阵的意义；会用二阶行列式求逆矩阵.4.会用系数矩阵的逆矩阵解方程组，会用二阶行列式解方程组.5.会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形），会用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示.

二、典例解析

1.二阶矩阵的运算

例1（2013年江苏卷）已知矩阵A=-10

02，B=12

06，求矩阵A-1B.

解析一：设矩阵A的逆矩阵为ab

cd，则-10

02ab

cd=10

01，即-a-b

2c2d=10

01，故a=-1，b=0，c=0，d=12.

∴矩阵A的逆矩阵为A-1=-10

012，

∴A-1B=-10

01212

06=-1-2

03.

解析二：因为A=-10

02，所以A-1=-10

012（依据逆矩阵公式），

∴A-1B=-10

01212

06=-1-2

03.

评注：本题要求A-1B，应先求A-1，再借助二阶矩阵乘法运算法则求得.其中求一矩阵的逆矩阵可以根据A-1A=10

01，利用待定系数法（如解析一）；也可以直接运用逆矩阵公式（如解析二）.

例2（2011年江苏卷）已知矩阵A=11

21，向量β=1

2，求向量α，使得矩阵A2α=β.

解析：A2=11

2111

21=32

43，

设α=x

y，由A2α=β，得32

43x

y=1

2，从而3x+2y=1

4x+3y=2，

解得x=-1，y=2，所以α=-1

评注：本题先利用二阶矩阵乘法运算法则求得A2，再设出α，根据矩阵与向量乘法的意义，利用待定系数法，求出α.

2.求特征值和特征向量

例3（2012年江苏卷[选修42：矩阵与变换]）已知矩阵A的逆矩阵A-1=-1434

12-12，求矩阵A的特征值.

解析：∵A-1A=E，∴A=（A-1）-1.

∵A-1=-1434

12-12，

∴A=（A-1）-1=23

21.

∴矩阵A的特征多项式为f（λ）=λ-2-3

-2λ-1 =λ2-3λ-4.

令f（λ）=0，解得矩阵A的特征值λ1=-1，λ2=4.

评注：由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，利用特征多项式求出矩阵A的特征值，正确地写出矩阵A特征多项式是解决本题的关键（设A=ab

cd是一个二阶矩阵，λ∈R，则称行列式f（λ）=λ-a-b

-cλ-d为特征多项式）.

例4已知矩阵M=3-2

-41，求矩阵M的特征值和特征向量.

解析：解特征方程f（λ）=λ2-（3+1）λ+3-（-2）（-4）=0，

解得λ1=-1，λ2=5，

将λ1=-1代入方程组（-1-3）x-（-2）y=0

-（-4）x+（-1-1）y=0，即2x-y=0，取得非零向量1

2，则矩阵M属于λ1=-1的一个特征向量为1

2，

所以向量2

4也是属于λ1=-1的一个特征向量，

同理求得矩阵M属于λ2=5的一个特征向量为1

-1.

评注：本题首先由特征方程求出特征值，再根据二阶矩阵的特征值与特征向量定义，即Mα=λα求得特征向量.要提醒的是当向量α是一矩阵的特征向量时，则tα（t≠0）也为矩阵的特征向量.

3.平面变换与矩阵的关系

例5（2010年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，A（0，0），B（-2，0），C（-2，1），设k≠0，k∈R，M=k0endprint

01，N=01

10，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A1，B1，C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值.

解析：由题设得MN=k0

0101

10=0k

10.

由0k

100

0=0

0，0k

10-2

0=0

-2，0k

10-2

1=k

-2，

可知A1（0，0），B1（0，-2），C1（k，-2），

经计算可得△ABC面积是1，而△A1B1C1的面积为|k|，

又因为△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，

所以实数k的值为2或-2.

评注：二阶矩阵作用在一个向量上可以得到一个新的向量，实际上它是平面到平面的映射.本题首先求MN，再根据矩阵与向量乘法法则求出A1，B1，C1的坐标即可.主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点及同学们的运算求解能力.

例6（2008年江苏卷[选修42：矩阵与变换]）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=20

01对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程.

解析：设P（x0，y0）是椭圆上任意一点，点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′（x′0，y′0）则有

x′0

y′0=20

01x0

y0，即x′0=2x0

y′0=y0，

所以x0=x′02

y0=y′0，

又因为点P在椭圆上，故4x20+y20=1，从而（x′0）2+（y′0）2=1，

所以，曲线F的方程是x2+y2=1.

评注：通过变换矩阵建立已知曲线上点与所求曲线上的对应点的坐标之间的关系是解决这类问题的关键.矩阵与变换的关系是什么？一方面几何变换赋予了矩阵运算的一种几何解释；另一方面，矩阵又是几何变换的一种代数表示，是研究平面图形变换的基本工具.另外，由本题说明当知道“变换矩阵、已知曲线和变换后的曲线”中两个可以求第三个，即知二求一.

4.矩阵的乘方运算

例7已知矩阵A有特征向量i=1

1和j=3

-2，且它们的特征值分别为λ1=6，λ2=1，若向量α=4

-1，求Anα.

解析：设α=mi+nj，不难解得m=1，n=1，即α=i+j

Anα=An（i+j）=λn1i+λn2j=6n1

1+3

-2=3+6n

-2+6n.

评注：矩阵的平方可以直接进行矩阵相乘，更高次的运算可运用矩阵的特征向量与特征值进行计算.研究矩阵对任意非零向量连续变化结果的方法，通常是利用矩阵的特征向量与特征值将矩阵的乘方转化为实数的乘方与向量的积，简化运算.

通过上述典型例题的分析可以看出，在“矩阵与变换”复习中要重点理解二阶方阵对向量的作用，理解矩阵几何意义即矩阵与常见变换的关系；能进行二阶矩阵乘法的运算；会求二阶矩阵的逆矩阵；会求简单二阶矩阵的特征值和特征向量；会用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示；知道“变换矩阵、已知曲线和变换后的曲线”中两个要会求第三个，即知二求一.另外，二阶行列式也不要忘记，会用二阶行列式解方程组.以上是矩阵与变换的考点透视，望同学们在复习时有的放矢，进行针对性训练，提高学习的效率，迎战高考.

尝试练习

1.已知矩阵A=12

01，B=01

10，求点P（2，3）在矩阵AB对应的变换下得到的点坐标.

2.已知可逆矩阵M=12-32

3212，求矩阵M的逆矩阵M-1.

3.若x2y2

-11=xx

y-y，求x+y的值.

4.求函数f（x）=2cosx

sinx-1的值域.

5.若矩阵A有特征向量i=1

0和j=1

-1，且它们的特征值分别为λ1=2，λ2=-1，求矩阵A.

6.设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=a0

b1（a>0）对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.

（1）求实数a，b的值.

（2）求A2的逆矩阵.

7.已知直线l：ax+y=1在矩阵A=12

01对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1.

（1）求实数a，b的值；

（2）若点P（x0，y0）在直线上，且Ax0

y0=x0

y0，求点P的坐标.

8.已经矩阵M=40

05.

（1）求直线4x-10y=1在M作用下的方程；

（2）求M的特征值与特征向量.

参考答案

1.矩阵B对应的变换为：以直线y=x为反射轴的反射变换，此变换将点P（2，3）变换为P1（3，2），

矩阵A对应的变换为：纵坐标不变，横坐标按纵坐标比例增加，即（x，y）→（x+2y，y）的切变变换，因而将P1（3，2）变换为P2（7，2），

所以点P（2，3）在矩阵AB对应的变换下得到的点坐标为（7，2）.

2.∵矩阵M所对应的变换为：把坐标平面内的点绕原点逆时针旋转π3；endprint

∴它的逆变换为：把坐标平面内的点绕原点顺时针旋转π3.

∴M-1=cos（-π3）-sin（-π3）

sin（-π3）cos（-π3）=1232

-3212.

3.x+y=0.

4.f（x）=-2-sinxcosx=-2-12sin2x∈[-52，-32].

5.解：设A=ab

cd，则ab

cd1

0=21

0，ab

cd1

-1=-1

-1，

解得a=2，b=3，c=0，d=-1，所以A=23

0-1.

6.解析：（1）设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵A对应的变换下的像是P′（x′，y′），由x′

y′=a0

b1x

y=ax

bx+y，得x′=ax

y′=bx+y，因为P′（x′，y′）在圆x2+y2=1上，所以（ax）2+（bx+y）2=1，化简可得（a2+b2）x2+2bxy+y2=1，

依题意可得（a2+b2）=2，2b=2a=1，b=1或a=-1，b=1，

而由a>0可得a=b=1.

（2）由（1）A=10

11，∴A2=10

1110

11=10

21，∴（A2）-1=10

-21.

7.解：（Ⅰ）设直线l：ax+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用下的像是M′（x′，y′），

由x′

y′=12

01x

y=x+2y

y，得x′=x+2y

y′=y，

又点M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′=1，即x+（b+2）y=1，

依题意a=1

b+2=1，解得a=1

b=-1.

（Ⅱ）由Ax0

y0=x0

y0，得x0=x0+2y0

y0=y0解得y0=0，

又点P（x0，y0）在直线上，所以x0=1，

故点P的坐标为（1，0）.

8.（1）因为M=40

05.设直线4x-10y=1上任意一点P′（x′，y′）在40

05作用下对应点P（x，y），则40

05x′

y′=x

y，即x=4x′

y=5y′，

所以x′=14x

y′=15y，代入4x-10y=1，

得4×14x-10×15y=1，即x-2y=1，

所以所求曲线的方程为x-2y=1.

（2）矩阵M的特征多项式f（λ）=λ-40

0λ-5=（λ-4）（λ-5）=0，

所以M的特征值为λ1=4，λ2=5.

当λ1=4时，由Mα1=λ1α1，得特征向量α1=1

0；

当λ2=5时，由Mα2=λ2α2，得特征向量α2=0

（作者：张瑞祥、花奎，江苏省仪征中学）endprint

∴它的逆变换为：把坐标平面内的点绕原点顺时针旋转π3.

∴M-1=cos（-π3）-sin（-π3）

sin（-π3）cos（-π3）=1232

-3212.

3.x+y=0.

4.f（x）=-2-sinxcosx=-2-12sin2x∈[-52，-32].

5.解：设A=ab

cd，则ab

cd1

0=21

0，ab

cd1

-1=-1

-1，

解得a=2，b=3，c=0，d=-1，所以A=23

0-1.

6.解析：（1）设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵A对应的变换下的像是P′（x′，y′），由x′

y′=a0

b1x

y=ax

bx+y，得x′=ax

y′=bx+y，因为P′（x′，y′）在圆x2+y2=1上，所以（ax）2+（bx+y）2=1，化简可得（a2+b2）x2+2bxy+y2=1，

依题意可得（a2+b2）=2，2b=2a=1，b=1或a=-1，b=1，

而由a>0可得a=b=1.

（2）由（1）A=10

11，∴A2=10

1110

11=10

21，∴（A2）-1=10

-21.

7.解：（Ⅰ）设直线l：ax+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用下的像是M′（x′，y′），

由x′

y′=12

01x

y=x+2y

y，得x′=x+2y

y′=y，

又点M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′=1，即x+（b+2）y=1，

依题意a=1

b+2=1，解得a=1

b=-1.

（Ⅱ）由Ax0

y0=x0

y0，得x0=x0+2y0

y0=y0解得y0=0，

又点P（x0，y0）在直线上，所以x0=1，

故点P的坐标为（1，0）.

8.（1）因为M=40

05.设直线4x-10y=1上任意一点P′（x′，y′）在40

05作用下对应点P（x，y），则40

05x′

y′=x

y，即x=4x′

y=5y′，

所以x′=14x

y′=15y，代入4x-10y=1，

得4×14x-10×15y=1，即x-2y=1，

所以所求曲线的方程为x-2y=1.

（2）矩阵M的特征多项式f（λ）=λ-40

0λ-5=（λ-4）（λ-5）=0，

所以M的特征值为λ1=4，λ2=5.

当λ1=4时，由Mα1=λ1α1，得特征向量α1=1

0；

当λ2=5时，由Mα2=λ2α2，得特征向量α2=0

（作者：张瑞祥、花奎，江苏省仪征中学）endprint

∴它的逆变换为：把坐标平面内的点绕原点顺时针旋转π3.

∴M-1=cos（-π3）-sin（-π3）

sin（-π3）cos（-π3）=1232

-3212.

3.x+y=0.

4.f（x）=-2-sinxcosx=-2-12sin2x∈[-52，-32].

5.解：设A=ab

cd，则ab

cd1

0=21

0，ab

cd1

-1=-1

-1，

解得a=2，b=3，c=0，d=-1，所以A=23

0-1.

6.解析：（1）设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P（x，y）在矩阵A对应的变换下的像是P′（x′，y′），由x′

y′=a0

b1x

y=ax

bx+y，得x′=ax

y′=bx+y，因为P′（x′，y′）在圆x2+y2=1上，所以（ax）2+（bx+y）2=1，化简可得（a2+b2）x2+2bxy+y2=1，

依题意可得（a2+b2）=2，2b=2a=1，b=1或a=-1，b=1，

而由a>0可得a=b=1.

（2）由（1）A=10

11，∴A2=10

1110

11=10

21，∴（A2）-1=10

-21.

7.解：（Ⅰ）设直线l：ax+y=1上任意一点M（x，y）在矩阵A对应的变换作用下的像是M′（x′，y′），

由x′

y′=12

01x

y=x+2y

y，得x′=x+2y

y′=y，

又点M′（x′，y′）在l′上，所以x′+by′=1，即x+（b+2）y=1，

依题意a=1

b+2=1，解得a=1

b=-1.

（Ⅱ）由Ax0

y0=x0

y0，得x0=x0+2y0

y0=y0解得y0=0，

又点P（x0，y0）在直线上，所以x0=1，

故点P的坐标为（1，0）.

8.（1）因为M=40

05.设直线4x-10y=1上任意一点P′（x′，y′）在40

05作用下对应点P（x，y），则40

05x′

y′=x

y，即x=4x′

y=5y′，

所以x′=14x

y′=15y，代入4x-10y=1，

得4×14x-10×15y=1，即x-2y=1，

所以所求曲线的方程为x-2y=1.

（2）矩阵M的特征多项式f（λ）=λ-40

0λ-5=（λ-4）（λ-5）=0，

所以M的特征值为λ1=4，λ2=5.

当λ1=4时，由Mα1=λ1α1，得特征向量α1=1

0；

当λ2=5时，由Mα2=λ2α2，得特征向量α2=0

“点击”高考考点省略句篇4

1.并列句中的省略

在并列句中, 第二分句 (或第三、第四分句) 往往可以省略与前句相同的成分。如:

Some b ooks a re to b e ta s te d, othe rs to b e s wa llowe d, a nd s ome fe w to b e c he we d a nd d ig e s te d.

2.简单句中的省略

(1) 省略主语、主谓语、宾语、表语。如:

(You wa lk) This wa y.p le a s e.

—Have you finished your work?

— (I have) Not (finished my work) yet.

(2) 省略作宾语的不定式短语, 只保留不定式符号to, 否定形式的省略用not to。如:

I me a nt to write to you, b ut I forg ot to.

I a s ke d him to s e e the film, b ut he d id n’t wa nt to.

但是如果不定式中含有be, have, have been, 通常保留be, ha ve和ha ve b e e n。如:

—Are you a sailor?

—No, but I used to be.

—He hasn’t finished the work yet.

—Well, he ought to have.

3.复合句中的省略

(1) 定语从句中作宾语的关系代词that, which, whom常可以省略。

定语从句的谓语动词是进行时态或被动语态时, 可以省略关系代词和be动词。如:

Do you know the g irl (tha t/who is) s ta nd ing a t the g a te?

(2) 在when, while, once, until, as, where, if, unless, as if, e ve n if, (a l) thoug h, whe the r等引导的表示时间、地点、方式、让步状语从句中, 如果含有动词be, 主语又和主句的主语一致, 或者主语是it, 就可以把从句中的主语和谓语的一部分 (特别是动词be) 省略掉。如:

He hurrie d le ft the ha ll a s if (he wa s) a ng ry.

I a m not p la nning to g o to he r p a rty unle s s (I a m) invite d.

Onc e (he wa s) a te a c he r, he now works in a b a nk.

While d riving (a c a r) , d on’t forg e t the tra ffic lig hts.

(3) 引导宾语从句的连接词that可以省。但如果that所引导的宾语从句有两个以上时, 则第二个从句以下的that不可省略。如:

He s a id (tha t) the re we re lots of thing s to d o a nd tha t he would n’t g o with us.

(4) 倒装的条件句可省去if。如:

Ha d he worke d ha rd e r, he would ha ve g ot throug h the e xa m.

(5) 有些固定用法学习时要多加注意。如:

a s us ua l, tha n e ve r/b e fore, he n/if ne c e s s a ry/p os s ib le, if a ny, wha t if, how c ome, why not.

Ans we r the s e q ue s tions, if p os s ib le, without re fe rring to the b ook.

Errors, if a ny, mus t b e c orre c te d.

练一练

He is only too re a d y to he lp othe rs, s e ld om______, re fusing the m whe n the y turn to him.

A.if ne ve r B.if e ve r C.if not D.if s o

“点击”高考试题

1.Would you like to join us in the g a me?

____for I ha ve s ome thing imp orta nt to a tte nd to. (08福建)

A.I will B.I’d love to C.I won’t D.I’m a fra id not

2.A c oug h is us ua lly nothing to worry a b out unle s s it la s ts for te n d a ys___. (08四川)

A.or more B.ins te a d C.a t mos t D.only

3.Have you got any particular plans for the coming holiday?

Ye s, _____, I’m g oing to vis it s ome home s for the old in the c ity. (08安徽)

A.If e ve r B.If b us y C.If a nything D.If p os s ib le

4.Do you know Anna's telephone number?

____.As a ma tte r of fa c t, I d on't know a ny Anna, e ithe r. (08全国)

A.I think s o B.I'm a fra id not C.I hop e s o D.I'd ra the r not

5.Would you like to join me for a q uic k lunc h b e fore c la s s?

_____, b ut I p romis e d Na nc y to g o out with he r. (08全国)

A.I'd like to B.I like it C.I d on't D.I will

_____ (06全国) .

练一练答案B

高考考点欢迎标语篇5

2. 胸有成竹进考场，先易后难答试题。

3. 微笑迎考，成功在望。

4. 考试，不仅是智力的竞争，更是意志态度精神的竞争。

5. 不放过一点疏漏，不放弃一分希望。

6. 你易他也易，就看谁细心;你难他也难，就看谁专心。

7. 看清楚，想透彻，答准每道题。

8. 易题不丢失半分，难题不放弃努力。

9. 成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

10. 不放过每一点疏漏，不放弃每一分希望。

11. 沉着应战，哪怕考题深似海;

12. 笑对人生，抖擞精神向未来。

13. 我难人也难，我不畏难;人易我也易，我不大意。

14. 相信自己，我能行!自信是成功的第一秘诀。

15. 静静心，易发挥;动动脑，考得好。

16. 练习就是高考，高考就是练习!

17. 将信心带到考场，把捷报送回家中。

18. 有实力莫怯场俯首笑答试卷，讲诚信不舞弊抬头直面挑战。

19. 放飞你的心灵，播撒你的希望

聚焦高考概率统计考点篇6

考点二：独立性检验

倒2（2014年安徽卷文科）某高校共有15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）。

（1）应收集多少位女生样本数据？

（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如

点评：超几何分布的前提是“自然分层”的两类对象，如正品和次品，男生与女生等。但是，若从两类对象中有放回地抽取n个元素，相当于做了n次独立重复试验，此时取到其中一类对象的数量x服从二项分布；若从两类对象中不放回地抽取”个元素，当两类对象的总数量很多或无限时，每类对象中的每一个个体被抽取的概率相等，此时取到其中一类对象的数量X也服从二项分布。

考点四：特殊限制条件的正确理解

例4（2015年福建卷）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定。小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试。若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定。

简说高考函数综合问题考点篇7

纵观多年高考函数综合试题, 结合考纲及命题新趋向, 其高考考点大致为:

一、考查函数与不等式交汇问题

例1 设0<a<1, 函数 f (x) =loga (a2x-2ax-2) , 则使 f (x) <0的 x 的取值范围是 ( )

(A) (-∞, 0) (B) (0, +∞)

解析:因为0<a<1,

由 loga (a2x-2ax-2) <0有

a2x-2ax-2>1,

即 (ax-3) (ax+1) >0,

所以 ax>3, 得 x<loga3.故选 (C) .

评注:这里考查的就是对数函数、指数函数的单调性和不等式相结合的问题, 体现了知识的融合与交汇.

二、考查反函数、单调性与不等式交汇问题

例2 设 f-1 (x) 是函数 $f (x) = \frac{1}{2} (a^{x} - a^{- x}) (a ＞ 1)$ 的反函数, 则使 f-1 (x) >1成立的 x 的取值范围为 ( )

解析:反函数 y=f-1 (x) >1, 求 x 范围, 即在原函数中 x>1, 求 y 的范围.考虑到 f (x) 是R上的增函数,

又 $f (1) = \frac{1}{2} (a - a^{- 1}) = \frac{a^{2} - 1}{2 a}$ ,

所以 $y ＞ \frac{a^{2} - 1}{2 a}$ , 故选 (A) .

评注:上述解题中利用反函数性质和单调性, 避免了求反函数, 使解题过程简明扼要.

三、考查函数与方程交汇问题

例3 f (x) 是定义在R上的以3为周期的奇函数, 且 f (2) =0, 则方程 f (x) =0在区间 (0, 6) 内解的个数的最小值是 ( )

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

解析:由 f (2) =0, T=3,

所以 f (-1) =f (5) =0.

又因为 f (x) 是定义在R上的奇函数, 则

f (0) =0, f (1) =0,

所以 f (1) =f (2) =f (3) =f (4) =f (5) =0, 故选 (D) .

评注:本题考查的是函数周期性、奇偶性和方程根的综合问题.

四、考查函数性质的挖掘与延伸

例4 在 y=2x, y=log2x, y=x2, y=cos2x 这四个函数中, 当0<x1<x2<1时, 使 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) ＞ \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 恒成立的函数的个数是 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

解析:如图1, 满足 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) ＞ \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 性质的是凸函数, 分别作出这四个函数的图象, 在 (0, 1) 上为凸函数的有 y=log2x.而 y=2x, y=x2 为 (0, 1) 上的凹函数, y=cos2x 在 $(0 ‚ \frac{π}{4}]$ 上为凸函数, 在 $[\frac{π}{4} ‚ 1)$ 上为凹函数.故选 (B) .

评注:函数的凹凸性是函数的一个基本性质, 是近年高考常考的一个性质.

五、考查函数相关的新定义新情境问题

例5 对定义域是Df、Dg 的函数 y=f (x) 、y=g (x) , 规定:函数

$h (x) = {\begin{cases} f (x) g (x) ‚ 当 x \in D_{f} ‚ 且 x \in D_{g} ‚ \\ f (x) ‚ 当 x \in D_{f} 且 x \notin D_{g} ‚ \\ g (x) ‚ 当 x \notin D_{f} 且 x \in D_{g} . \end{cases}$

(1) 若函数 $f (x) = \frac{1}{x - 1} ‚ g (x) = x^{2}$ , 写出函数 h (x) 的解析式;

(2) 求问题 (1) 中函数 h (x) 的值域;

(3) 若 g (x) =f (x+α) , 其中α是常数, 且α∈[0, π], 请设计一个定义域为R的函数 y=f (x) , 及一个α的值, 使得 h (x) =cos4x, 并予以证明.

$\begin{array}{l} 解析 ∶ (1) \\ h (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2}}{x - 1} ‚ x \in (- \infty ‚ 1) \cup (1 ‚ + \infty) ‚ \\ 1 ‚ x = 1 . \end{cases} \\ (2) 当 x \neq 1 时 ‚ \end{array}$

$h (x) = \frac{x^{2}}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x - 1} + 2 .$

①若 x>1时, 则 h (x) ≥4, 其中等号当 x=2时成立;②若 x<1时, 则 h (x) ≤0, 其中等号当 x=0时成立.

综上, 函数 h (x) 的值域是 (-∞, 0]∪{1}∪[4, +∞) .

(3) 令 $f (x) = \sin 2 x + \cos 2 x ‚ α = \frac{π}{4}$ , 则

$\begin{array}{l} g (x) = f (x + α) \\ = \sin 2 (x + \frac{π}{4}) + \cos 2 (x + \frac{π}{4}) \\ = \cos 2 x - \sin 2 x ‚ \end{array}$

于是 h (x) =f (x) f (x+α)

= (sin2x+cos2x) (cos2x-sin2x)

=cos4x.

评注:这是一个新定义和新情境问题, 需要有较强的阅读理解能力、猜想能力和创新能力.

六、考查函数类型的应用题

例6 某食品厂定期购买面粉, 已知该厂每天需要面粉6吨, 每吨面粉的价格为1800元, 面粉的保管等其他费用为每吨每天3元, 购面粉每次需支付运费900元. (1) 多少天购买一次面粉, 才能使平均每天所支付的总费用最少; (2) 若面粉公司规定:当一次购买面粉不少于210吨时, 其价格可享受9折优惠, 问该厂是否考虑利用此优惠条件?说明理由.

解析: (1) 设该厂应每隔 x 天购买一次面粉, 其购买量为6x 吨, 由题意知面粉的保管等其他费用为

3[6x+6 (x-1) +…+6×2+6×1]=9x (x+1) (元) .

设平均每天所支付的总费用为 y1 元, 则

$\begin{array}{l} y_{1} = \frac{1}{x} [9 x (x + 1) + 900] + 6 \times 1800 \\ = \frac{900}{x} + 9 x + 10809 \\ \geq 2 \sqrt{\frac{900}{x} \cdot 9 x} + 10809 \\ = 10989 ‚ \end{array}$

当且仅当 $9 x = \frac{900}{x}$ , 即 x=10时取等号.

即该厂应每隔10天购买一次面粉, 才能使平均每天所支付的总费用最少.

(2) 若该厂利用此优惠条件, 则至少每隔35天购买一次面粉, 平均每天所支付的总费用为 y2 元, 则

$\begin{array}{l} y_{2} = \frac{1}{x} [9 x (x + 1) + 900] + 6 \times 1800 \times 0.9 \\ = \frac{900}{x} + 9 x + 9729 (x \geq 35) . \end{array}$

令 $f (x) = \frac{100}{x} + x (x \geq 35)$ , 设35≤x1<x2, 则

$f (x_{1}) - f (x_{2}) = \frac{(x_{2} - x_{1}) (100 - x_{1} x_{2})}{x_{1} x_{2}} .$

因为35≤x1<x2,

所以 x2-x1>0, x2x1>1225, 100-x2x1<0,

所以 f (x1) <f (x2) ,

即当 x≥35时, $f (x) = \frac{100}{x} + x$ 为增函数, 所以当 x=35时, f (x) 有最小值, 此时 y2≈10069.7<10989.

所以该厂应该接受此优惠条件.

评注:本题主要考查函数的基本知识, 考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.

七、考查三次函数的问题

例7 f (x) =ax3+bx2-3x 在 x=±1处取得极值. (1) 讨论 f (1) 和 f (-1) 是函数 f (x) 的极大值还是极小值; (2) 过点A (0, 16) 作曲线 y=f (x) 的切线, 求此切线方程.

解析: (1) f ′ (x) =3ax2+2bx-3, 依题意

f ′ (1) =f ′ (-1) =0,

即

${\begin{cases} 3 a + 2 b - 3 = 0 ‚ \\ 3 a - 2 b - 3 = 0 ‚ \end{cases}$

解得

${\begin{cases} a = 1 ‚ \\ b = 0 . \end{cases}$

所以 f (x) =x3-3x, f ′ (x) =3x2-3.

令 f ′ (x) =0, 解得 x=-1, x=1.

若 x∈ (-∞, -1) ∪ (1, +∞) , 则 f ′ (x) >0, 故 f (x) 在 (-∞, -1) 上是增函数, f (x) 在 (1, +∞) 上是增函数.若 x∈ (-1, 1) , 则 f ′ (x) <0, 故 f (x) 在 (-1, 1) 上是减函数.

所以 f (-1) =2是极大值, f (1) =-2是极小值.

(2) 曲线方程为 y=x3-3x, 点A (0, 16) 不在曲线上.

设切点为M (x0, y0) , 则M的坐标满足 y0=x $_{0}^{3}$ -3x0.

因 f ′ (x0) =3 (x $_{0}^{2}$ -1) , 故切线方程为

y-y0=3 (x $_{0}^{2}$ -1) (x-x0) .

又点A (0, 16) 在切线上, 有

16- (x $_{0}^{3}$ -3x0) =3 (x $_{0}^{2}$ -1) (0-x0) ,

化简为 x $_{0}^{3}$ =-8, 解得 x0=-2.

所以切点为M (-2, -2) , 切线方程为

9x-y+16=0.

评注:本题主要考查函数的极值和曲线的切线方程, 进而考查了学生运用导数研究函数性质, 运用导数及函数求切线的知识, 从而更进一步考查了学生的抽象思维能力, 及分析问题解决问题的能力.这类问题的难度设置比较灵活, 而且具有内容新、背景新和方法新等特点.

八、考查向量切入的问题

例8 设平面向量 $a = (\frac{\sqrt{3}}{2} ‚ - \frac{1}{2}) ‚ b = (\frac{1}{2} ‚ \frac{\sqrt{3}}{2})$ , 若存在不同时为零的两个整数 s、t 及实数 k, 使 x=a+ (t2-k) b, y=-sa+tb, 且 x⊥y. (1) 求函数关系式 s=f (t) ; (2) 若函数 s=f (t) 在[1, +∞) 上是单调函数, 求 k 的取值范围.

解析: (1) 因为 $a = (\frac{\sqrt{3}}{2} ‚ - \frac{1}{2}) ‚ b = (\frac{1}{2} ‚ \frac{\sqrt{3}}{2})$ , 所以

|a|=|b|=1, a·b=0.

又 x⊥y, 知 x·y=0,

即 [a+ (t2-k) b]· (-sa+tb) =0,

-sa2+t (t2-k) b2+ (t-st2+sk) a·b=0,

化为 -s+ (t2-k) t=0,

所以 s=f (t) =t3-kt.

(2) f ′ (t) =3t2-k.因为 f (t) 在[1, +∞) 上是单调函数, 所以在[1, +∞) 上恒有 f ′ (t) ≥0或恒 f ′ (t) ≤0.

由 f ′ (t) ≥0⇒3t2-k≥0⇒k≤ (3t2) min⇒k≤3.

由 f ′ (t) ≤0⇒3t2-k≤0⇒k≥3t2.

因为3t2 在[1, +∞) 上是增函数且无上界, 所以不存在 k, 使 k≥3t2 在[1, +∞) 上恒成立.

综上, k 的取值范围是 (-∞, 3].

评注:本题融向量、函数、导数、不等式等知识于一体, 解题思路是:将向量的几何关系数量化, 再利用导数研究函数的单调性.由于向量具有几何表示和代数表示的特点, 这就使其成为表述函数问题的重要载体.

2010年高考“静电场”考点扫描篇8

一、高度重视对库仑定律、电场强度、电势、电势能等基础概念的考查

例1 (海南) 如图1所示, M、N和P是以MN为直径的半圆弧上的三点, O点为半圆弧的圆心, ∠MOP=60°.电荷量相等、符号相反的两个电荷分别置于M、N两点, 这时O点电场强度的大小为E1;若将N点处的点电荷移至P点, 则O点的场强大小变为E2.E1与E2之比为 ()

解析:设半圆弧半径为R, 两电荷电量的绝对值为Q, 则E1=.由于移到P点后, 两电荷在O点产生的场强大小相等, 夹角为120°, 所以合场强等于每一个电荷产生的场强, 即E2=.因此E1=2E2, 故 (B) 正确.

点评:本题主要考查了点电荷的场强计算式和场强的矢量叠加, 同学们一定要记清正、负点电荷的场强分布特征和场强叠加遵循平行四边形定则.

例2 (全国Ⅰ) 关于静电场, 下列结论普遍成立的是 ()

(A) 电场中任意两点之间的电势差只与这两点的场强有关

(B) 电场强度大的地方电势高, 电场强度小的地方电势低

(D) 将正点电荷从场强为零的一点移动到场强为零的另一点, 电场力做功为零

解析:在正电荷的电场中, 离正电荷近, 电场强度大, 电势高, 离正电荷远, 电场强度小, 电势低;而在负电荷的电场中, 离正电荷近, 电场强度大, 电势低, 离负电荷远, 电场强度小, 电势高, (A) 错.电势差的大小决定于两点间距和电场强度, (B) 错;沿电场方向电势降低, 而且速度最快, (C) 正确;场强为零, 电势不一定为零, 如从带正电荷的导体球上将正电荷移动到另一带负电荷的导体球上, 电场力做正功, (D) 错.

点评:本题考查静电场中电场强度和电势的特点, 应根据所学知识举例逐个排除.但举例必须考虑全面, 防止以点带面, 以偏概全.

例江苏空间有一沿轴对称分布的电场, 其电场强度E随x变化的图像如图2所示.下列说法正确的是 () .

(A) O点的电势最低

(B) x2点的电势最高

(D) x1和x3两点的电势相等

解析:由图象得x轴负向的电场强度方向水平向左, x轴正向的电场强度方向水平向右, 由沿电场线方向电势逐渐降低得O点的电势最高, 故 (A) 错;x2点的电场强度最大, O点的电势最高, 故 (B) 错;E随x变化的图线与x轴所围的面积等于该点与O点两点间的电势差, 由对称性得, 关于O点对称的两点电势差相等, 故关于原点O对称的两点电势相等, 即x1和-x1两点的电势相等, 故 (C) 正确;又因为沿电场线的方向电势逐渐降低, 所以-x1点的电势大于x3点的电势, 故 (D) 错.

点评:审清题意是解题的关键, “沿着”x轴表明场强方向水平, 在x轴负向图象位于x轴下方, 说明场强方向与x轴方向相反, 因此向左, 同理在x轴正向场强方向向右.而图象的轮廓反映了各处对应的场强大小.

二、突出对电荷在电场线、等势线中运动分析能力的考查

例4 (山东) 某电场的电场线分布如图3所示, 以下说法正确的是 ()

(A) c点场强大于b点场强

(B) a点电势高于b点电势

(D) 若在d点再固定一点电荷-Q, 将一试探电荷+q由a移至b的过程中, 电势能减小

解析:由于电场线的疏密反映场强的大小, 故 (A) 错;沿电场线的方向电势降低, 故 (B) 正确;假设电荷+q从a沿电场线运动到b, 则出现电场力与运动速度始终同向, 由于是曲线运动, 显然这是不可能的, 因为曲线运动中合力和速度不可能在一条直线上, 故 (C) 错;+q在独立的原电场中由a移至b, 电场力做正功, 电势能减小.在独立的-Q场中, 由于b离d较a近, 因此在独立的-Q场中将a移至b, 电场力做正功, 电势能也是减小的.两者综合电势能是减小的, 故 (D) 正确.

点评: (C) 选项有时“可意会不可言传”, 实际上是方法问题, 换个角度用假设法就可以顺利作答. (D) 选项需要灵活思考.如果从场“共同存在”出发分析, 将陷入困境;如果根据矢量的叠加原理, 先分别讨论, 再合成则比较简单.

例5 (四川) 如图4所示, 圆弧虚线表示正点电荷电场的等势面, 相邻两等势面间的电势差相等.光滑绝缘直杆沿电场方向水平放置并固定不动, 杆上套有一带正电的小滑块 (可视为质点) , 滑块通过绝缘轻弹簧与固定点O相连, 并以某一初速度从M点运动到N点, OM

(A) 滑块从M到N的过程中, 速度可能一直增大

(B) 滑块从位置1到2的过程中, 电场力做的功比从位置3到4的小

(D) 在M、N之间可能存在只由电场力确定滑块加速度大小的三个位置

解析:在N点如果电场力不小于弹簧弹力的分力则滑块一直加速故正确在点如果电场力小于弹簧弹力的分力, 则滑块先加速后减速, 就可能有两个位置的速度相同, 故 (C) 正确;1、2与3、4间的电势差相等, 电场力做功相等, 故 (B) 错;由于M点和N点弹簧的长度不同但弹力相等, 说明在M点时弹簧是压缩的, 在N点时弹簧是拉长的, 在弹簧与水平杆垂直和弹簧恢复原长的两个位置滑块的加速度只由电场力决定, 故 (D) 错.

点评:本题属于开放型试题.根据点电荷电场线的特点, 电荷在M点的场强大于N点的场强, 因此在M点的电场力是整个过程中最大的, N点是最小的.弹簧弹力在M、N两点相等, 这个值在MN方向上的分量与电荷在M点和N点电场力的大小关系, 存在各种可能, 这就决定了运动的多种可能.只有明确开放型试题的特点, 才会创设开放性条件, 从而能够快速准确地解决问题.

三、对平行板电容器动态分析的考查

例6 (北京) 用控制变量法, 可以研究影响平行板电容器的因素 (如图5) .设两极板正对面积为S, 极板间的距离为d, 静电计指针偏角为θ.实验中, 极板所带电荷量不变, 若 ()

(A) 保持S不变, 增大d, 则θ变大

(B) 保持S不变, 增大d, 则θ变小

(D) 保持d不变, 增大S, 则θ不变

解析:首先要明白静电计反映的是平行板电容器两极板的电势差.其次由C=知d增大, C减小, 又由U=知U增大, 故 (A) 对 (B) 错;由C=知S增大, C增大, 又由U=知U减小, 故 (C) 对, (D) 错.

点评:电容器的动态分析问题可分为两类情况一类是给电容器充完电后与电源断开极板所带电量不变;另一类是电容器与电源始终相连, 极板间电势差不变.

四、关注静电场中STS知识

例7 (浙江) 请用学过的电学知识判断下列说法正确的是 ()

(A) 电工穿绝缘衣比穿金属衣安全

(B) 制作汽油桶的材料用金属比用塑料好

(D) 打雷时, 呆在汽车里比呆在木屋里要危险

解析:电力工人高压带电作业, 全身穿戴金属丝网制成的衣、帽、手套、鞋, 可以对人体起到静电屏蔽作业, 使人安全作业.因为塑料和油摩擦容易起电, 产生的静电荷不易泄漏, 形成静电积累, 造成爆炸和火灾事故.一辆金属车身的汽车也是最好的“避雷所”, 一旦汽车被雷击中, 它的金属构架会将闪电电流导入地下, 所以打雷时呆在汽车里比呆在木屋里安全.所以 (A) 、 (C) 、 (D) 错, 本题选 (B) .

点评:物理学科与其他自然科学和工程技术学科的结合、渗透、综合应用, 使物理学科理论联系实际有了广阔的天地, 这类问题要求学生综合应用所学过的知识把问题解决.

五、结合图象的知识综合考查

例8 (江苏) 制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d的两平行极板, 如图6甲所示, 加在极板A、B间的电压UAB作周期性变化, 其正向电压为U0, 反向电压为-kU0 (k>1) , 电压变化的周期为2T, 如图6乙所示.在t=0时, 极板B附近的一个电子, 质量为m、电荷量为e, 受电场作用由静止开始运动.整个运动过程中, 电子未碰到极板A, 且不考虑重力作用.

(1) 若k=, 电子在0～2T时间内不能到达极板A, 求d应满足的条件;

(2) 若电子在～T时间内未碰到极板B, 求此运动过程中电子速度v随时间t变化的关系;

(3) 若电子在第N个周期内的位移为零, 求k的值.

解析: (1) 电子在0～T时间内做匀加速运动, 加速度的大小

在T～2T时间内先做匀减速运动, 后反向做匀加速运动,

初速度的大小v1=a1T, (4)

匀减速运动阶段的位移

(2) 在2nT～ (2n+1) T (n=0, 1, 2, ……, 99) 时间内

速度增量Δv1=a1T. (7)

在 (2n+1) T～2 (n+1) T (n=0, 1, 2, ……, 99) 时间内

速度增量Δv2=-a2T. (9)

(a) 当0≤t-2nT

电子的运动速度

(b) 当0≤t- (2n+1) T

(3) 电子在2 (N-1) T～ (2N-1) T时间内的位移

电子在 (2N-1) T～2NT时间内的位移

依据题意

点评:这是一道比较难的计算题, 分析过程相当复杂, 对能力要求较高, 另一方面此题对应用数学处理物理问题的能力也有较高的要求.这种题的特点是电场力不变, 加速度不变, 运动具有对称性.

“静电场”在今后高考中仍是重点, 命题趋于综合能力考查, 且结合力学的平衡问题、运动学、牛顿运动定律、功和能、交变电流及图象等知识, 来考查理解推理能力、分析综合能力、用数学方法解决物理问题的能力.

刍议高考英语定语从句常见考点篇9

关键词：高考英语,定语从句,常见考点

众所周知, 定语从句既是高中英语语法教学的重点和难点, 也是高考热门考点之一。纵观近几年高考试题, 我们不难发现定语从句有下列常见考点:

1. 考查选择恰当的关系代词或关系副词

关系代词在定语从句中充当主语、宾语、定语、表语, 关系副词充当状语。选择什么关系代引导定语从句, 首先要看该词在定语从句中充当什么成分, 然后再根据先行词来确定具体关系词。请看下列表格:

注意:关系代词作宾语时一般可以省略, 但是非限制性定语从句中作宾语的关系代词不能省略, 介词后面作宾语的关系代词也不能省略。在近几年高考试题中, which引导非限制性定语从句是最常见考点之一。

2. 考查“介词+关系代词”引导的定语从句

“介词+关系代词”引导的定语从句一直都是高考考查的热点, 其中介词的选择是关键。在“介词+关系代词”结构中, 关系代词指人时只能用whom, 指物时用which;其次, 如果“介词+关系代词”在定语从句中作时间状语用on、in、by等表示时间的介词, 作地点状语用on、in、at等表示地点的介词, 作原因状语用for, 作方式状语用in、by、with等。

3. 考查“名词、代词、数词等+of+关系代词”引导的定语从句

“名词、代词、数词等+of+关系代词”结构常常出现在非限定性定语从句中, 表示一种所属关系。如果先行词是人关系代词用whom, 先行词是物关系代词用whom。可以用于这种结构的代词有some、all、none、both、neither、many、most、each、few等。注意:由“名词+of+关系代词”引导的定语从句可转换成“whose+名词”引导的定语从句。

4. 考查定语从句和其它相似易混结构的比较

为了考查学生定语从句的实际运用和应变能力, 命题人经常将定语从句和并列句、名词性从句、状语从句或强调句型混在一起考查。解题时, 首先要弄清是什么从句, 再根据所选择的的词在句中的作用作出最佳选择。

5. 考查分隔式定语从句

所谓分隔就是指定语从句和它所修饰的先行词之间被其他句子成分隔开。此时, 解题的关键是要找到定语从句所修饰的先行词, 然后删除插入语, 最好再根据关系词在从句中的成分确定最佳选择。

另外, 在复习定语从句时, 我们还必须注意以下两点:

1.注意关系代词that和which引导定语从句的异同。

当先行词是物时, 关系代词that和which在一般情况下可换用, 但在以下几种情况下一般用that, 不用which:

1) 当先行词是all、everything、something、anything、nothing、none、few、little、much、the one等不定代词, 或先行词被all、every、some、any、no、few、little等修饰时;

2) 当先行词被形容词最高级或序数词the first、the second、the last等修饰时;

3) 当先行词被the only、the very、the right修饰时;

4) 当先行词既有人又有物时;

5) 在疑问词who、which、what开头的句子中, 为避免重复, 定语从句常用that引导。

注意:在下列场合关系代词通常用which, 而不用that。

1) 在非限制性定语从句中, 如果先行词是物, 只能用which;

2) 先行词是物, 定语从句中的介词提前时, 只能用which。

2.注意as和which引导定语从句的异同。

1) 在限制性定语从句中, 如果先行词前有the same、such、as, so修饰时, 要用as代替who (m) 、which或that引导的定语从句。

2) as引导的非限制性定语从句与which引导的非限制性定语从句的异同:

共同点:which和as都可以指代主句中的一部分或整个句子的内容, 有时可以互换。

区别:as引导的非限制性定语从句可以放在主句前面、插在主句中间或放在主句末尾, 而which引导的非限制性定语从句只能放在主句后面;as引导的从句常有“正如”、“正像”之意。

参考文献

[1]章振邦.2003《.新编英语语法教程》[M].上海外语教育出版社

[2]李陆桂等.2005《.高中英语语法大全》[M].广西师范大学出版社

[3]李艳荣.2009.定语从句的教法探索[J].中小学英语教学与研究. (10)

[4]韩小庆.2011.研析2011高考试题, 归纳定语从句考查热点[J].中学生英语. (11)

[5]石晓娜.2011.解析2011年高考英语定语从句五大考点[J].青苹果高中版. (11)

高考数学高频考点归纳与分析(中) 篇10

考点1 由数列的前几项求通项公式

根据数列的前几项求它的一个通项公式, 通过观察每一项的特点, 分析出项与n之间的关系、规律, 可使用添项、通分、分割等办法, 转化为一些常见数列的通项公式来求.对于正负符号的变化, 可用 (-1) n或 (-1) n+1来调整.

例1写出下面各数列的一个通项公式:

(2) 3, 33, 333, 3333, ….

解析: (1) 奇数项为负, 偶数项为正, 因此通项公式的符号为 (-1) n;各项绝对值的分母组成数列2, 4, 6, 8, …;而各项绝对值的分子组成的数列中, 奇数项为1, 偶数项为3, 即奇数项为2-1, 偶数项为2+1, 所以该数列的一个通项公式为.

(2) 这个数列的前4 项可以写成 (1/3) (10-1) , (1/3) (100-1) , (1/3) (1 000-1) , (1/3) (10 000-1) , 所以该数列的一个通项公式为.

考点2 由an与Sn的关系求通项公式

有些数列给出{an}的前n项和Sn与an的关系式Sn=f (an) , 利用该式写出Sn-1=f (an-1) (n≥2) , 两式作差, 再利用an=Sn-Sn-1导出an与an-1 (n≥2) 的递推式, 从而求出an.请注意:对n=1时的情况的讨论.

例2 若各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn, 且, 其中a1=1, 求an.

因为an≠0, 所以an+1-an-1=2.

从而a2 m+1=1+2 (m+1-1) =2m+1, a2 m=2+2 (m-1) =2m, m∈N*.

综上可知, an=n (n∈N*) .

考点3 由递推公式求通项公式

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法, 它们都可以确定数列中的任意一项, 只是由递推公式确定数列中的项时, 不如通项公式直接.由递推公式求通项公式常见的方法有:累加法、累乘法以及构造法等.

例3已知数列{an}中, a1=1, an+1=2an+3, 求an.

所以{bn}是以b1=4为首项, 2为公比的等比数列, 则bn=4×2n-1=2n+1.

所以an=2n+1-3.

考点4 等差数列的基本运算

等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1, an, d, n, Sn, 如果知道其中三个就能求另外两个.

例4已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 且满足, 则数列{an}的公差是____.

考点5 等差数列的判断和证明

判断数列{an}为等差数列的常见方法有四种:

(1) 定义法:对于n≥2的任意自然数, 验证an-an-1为同一常数. (2) 等差中项法:验证2an-1=an+an-2 (n≥3, n∈N*) 成立. (3) 通项公式法:验证an=pn+q. (4) 前n项和公式法:验证Sn=An2+Bn.其中在解答题中常应用定义法和等差中项法, 而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断.

又, 所以数列{bn}是以为首项, 1为公差的等差数列.

考点6 等差数列的性质

等差数列的常见性质有: (1) an=am+ (n-m) d (n, m∈N*) . (2) 若{an}为等差数列, 且k+l=m+n (k, l, m, n∈N*) , 则ak+al=am+an. (3) 若{an}是等差数列, 公差为d, 则ak, ak+m, ak+2m, … (k, m∈N*) 是公差为md的等差数列. (4) 数列Sm, S2m-Sm, S3m-S2m, … 也是等差数列.

例6已知等差数列{an}中a4=2, an+2+an+5=2an+1+10, 则{an}的通项公式an=_____.

解析:令数列{an}的公差为d.

由an+2+an+5=2an+1+10, 得an+1+d+an+1+4d=2an+1+10, 即5d=10, 得d=2.

又a4=2, 所以an=a4+ (n-4) d=2+ (n-4) ×2=2n-6.

考点7 等差数列前n项和的最值

求等差数列前n项和Sn的最值的两种方法: (1) 函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn, 通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解. (2) 邻项变号法:①当a1>0, d<0时, 满足的项数m使得Sn取得最大值Sm;②当a1<0, d>0时, 满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.

例7 已知数列{an}的通项公式是an= (1-k) n+13k-3, bn=an2-a2n+1.若数列{bn}的前n项和为Sn, 是否存在实数k, 使Sn当且仅当n=12时取得最大值?若存在, 求出k的取值范围;若不存在, 说明理由.

解析:存在满足题意的实数k.

由题意, 得bn=a2n-a2n+1= (an+an+1) (an-an+1) =-2 (1-k) 2n+25k2-30k+5.

由题意知, 当且仅当n=12时Sn最大, 则b12>0, b13<0,

故k的取值范围为 (- ∞, -19) ∪ (21, +∞) .

考点8 等比数列的基本运算

等比数列中有五个量a1, n, q, an, Sn, 一般可以“知三求二”, 通过列方程 (组) 求关键量a1和q, 问题可迎刃而解.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论, 当q=1时, {an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时, {an}的前n项和.

例8 设数列{an}是等比数列, 前n项和为Sn, 若S3=3a3, 则公比q=____.

解析:当q=1时, 满足S3=3a1=3a3.

当q≠1时, S3=a1 (1+q+q2) =3a1q2, 解得.

综上, 或q=1.

考点9 等比数列的判定与证明

等比数列的常用判定方法有: (1) 定义法:若 (q为非零常数, n∈N*) 或 (q为非零常数, 且n≥2, n∈N*) , 则{an}是等比数列. (2) 等比中项法:若数列{an}中, an≠0且a2n+1=an·an+2 (n∈N*) , 则数列{an}是等比数列. (3) 通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn-1 (c, q均是不为0的常数, n∈N*) , 则{an}是等比数列. (4) 前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k (k为常数且k≠0, q≠0且q≠1) , 则{an}是等比数列.其中前两种方法是判定等比数列的常用方法, 常用于证明, 而后两种方法常用于选择题、填空题中的判断.

例9 已知数列{an}中, a1=1, , 又bn=a2n+a2n-1, n∈N*.判断数列{bn}是否为等比数列.

又, 所以{bn}是以3/2为首项, 1/2为公比的等比数列.

考点10 等比数列的性质

等比数列的常用性质有: (1) 若m+n=p+q=2k (m, n, p, q, k∈N*) , 则am·an=ap·aq=ak2; (2) 若数列{an}, {bn} (项数相同) 是等比数列, 则{λan} (λ≠0) , , {an2}, {an·bn}等仍然是等比数列; (3) 在等比数列{an}中, 等距离取出若干项也构成一个等比数列, 即an, an+k, an+2k, an+3k, … 为等比数列, 公比为qk; (4) 公比不为-1 的等比数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn, S2n-Sn, S3n-S2n仍成等比数列, 其公比为qn, 当公比为-1时, Sn, S2n-Sn, S3n-S4n不一定构成等比数列.

例10 等比数列{an}中, 前n项和为Sn, 且S10=10, S30=70, 则S20=____.

解析:易得等比数列{an}中, q≠ -1, S10, S20-S10, S30-S20成等比数列,

所以 (S20-S10) 2=S10 (S30-S20) , 即 (S20-10) 2=10 (70-S20) , 解得S20=30或-20.

又S20= (1+q10) S10>0, 所以S20=30.

考点11分组法求和

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成, 则求和时可用分组求和法, 分别求和后再相加减.

例11 等比数列{an}中, a1, a2, a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数, 且a1, a2, a3中的任何两个数不在下表的同一列.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 若数列{bn}满足bn=an+ (-1) nln an, 求数列{bn}的前n项和Sn.

解析: (1) 当a1=3时, 不合题意;当a1=2时, 当且仅当a2=6, a3=18时, 符合题意;当a1=10时, 不合题意.

因此a1=2, a2=6, a3=18, 所以公比q=3.

故an=2·3n-1 (n∈N*) .

(2) 因为bn=an+ (-1) nln an=2·3n-1+ (-1) nln (2·3n-1) =2·3n-1+ (-1) n[ln 2+ (n-1) ln 3]=2·3n-1+ (-1) n (ln 2-ln 3) + (-1) nnln 3,

所以Sn=2 (1+3+…+3n-1) +[-1+1-1+…+ (-1) n]· (ln 2-ln 3) +[-1+2-3+…+ (-1) nn]ln 3.

综上所述,

考点12错位相减法求和

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的, 那么这个数列的前n项和即可用此法来求, 如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的.在应用错位相减法求和时, 若等比数列的公比为参数, 应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

例12 已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 且满足a2=3, S6=36.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 若数列{bn}是等比数列且满足b1+b2=3, b4+b5=24, 设数列{an·bn}的前n项和为Tn, 求Tn.

解析: (1) 因为数列{an}是等差数列, 所以S6=3 (a1+a6) =3 (a2+a5) =36, 则a2+a5=12.

由于a2=3, 所以a5=9, 从而d=2, a1=a2-d=1, 所以an=2n-1.

(2) 设数列{bn}的公比为q.

因为b1+b2=3, b4+b5=24, 所以, 得q=2.

从而b1+b2=b1 (1+q) =3b1=3, 所以b1=1, bn=2n-1.

所以an·bn= (2n-1) ·2n-1.

所以Tn=1×1+3×2+5×22+…+ (2n-3) ·2n-2+ (2n-1) ·2n-1,

则2Tn=1×2+3×22+5×23+ … + (2n-3) ·2n-1+ (2n-1) ·2n.

两式相减, 得 (1-2) Tn=1×1+2×2+2×22+…+2·2n-2+2·2n-1- (2n-1) ·2n,

即-Tn=1+2 (21+22+ … +2n-1) - (2n-1) ·2n=1+2 (2n-2) - (2n-1) ·2n= (3-2n) ·2n-3.

所以Tn= (2n-3) ·2n+3.

考点13裂项相消法求和

裂项相消法是指把数列的通项拆成两项之差, 在求和时中间的一些项可以相互抵消, 从而求得其和. 常见的裂项方法有:.

例13 已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn, 且满足a2·a4=65, a1+a5=18.设, 是否存在一个最小的常数m, 使得b1+b2+…+bn<m对于任意的正整数n均成立?若存在, 求出常数m;若不存在, 说明理由.

解析:因为{an}为等差数列, 所以a1+a5=a2+a4=18.

又a2·a4=65, 所以a2, a4是方程x2-18x+65=0的两个根.

又数列{an}的公差d>0, 所以a2<a4.所以a2=5, a4=13.可知a1=1, d=4.

所以Sn=2n2-n.

所以存在m=1/2使得b1+b2+…+bn<m对于任意的正整数n均成立.

考点14 等差数列与等比数列的综合问题

解决等差数列与等比数列的综合问题, 关键是厘清两个数列的关系.如果同一数列中部分项成等差数列, 部分项成等比数列, 就要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来, 研究这些项与序号之间的关系;如果两个数列是通过运算综合在一起的, 就要从分析运算入手, 把两个数列分割开, 再根据两个数列各自的特征进行求解.

例14 已知{an}是等差数列, 满足a1=3, a4=12, 数列{bn}满足b1=4, b4=20, 且{bn-an}为等比数列.

(1) 求数列{an}和{bn}的通项公式;

(2) 求数列{bn}的前n项和.

解析: (1) 设等差数列{an}的公差为d.

所以an=a1+ (n-1) d=3n.

设等比数列{bn-an}的公比为q.

所以bn-an= (b1-a1) qn-1=2n-1.从而bn=3n+2n-1.

(2) 由 (1) 知bn=3n+2n-1.

令cn=3n, dn=2n-1.

数列{cn}的前n项和为, 数列{dn}的前n项和为.

所以数列{bn}的前n项和为.

考点15 等差数列与等比数列的实际应用

数列应用题的常见模型有:等差模型、等比模型以及递推数列模型等.建模思路是:从实际出发, 通过抽象概括建立数学模型, 通过对模型的解析, 再返回实际中去.

例15 为了加强环保建设, 提高社会效益和经济效益, 某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车.每更换一辆新车, 则淘汰一辆旧车, 更换的新车为电力型车和混合动力型车.第一年年初投入了电力型公交车128辆, 混合动力型公交车400辆, 计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50% , 混合动力型车每年比上一年多投入a辆.

(1) 求经过n年, 该市被更换的公交车总数S (n) ;

(2) 若该市计划用7年的时间完成全部更换, 求a的最小值.

解析: (1) 设an, bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量.

依题意知, 数列{an}是首项为128, 公比为1+50% =3/2的等比数列;数列{bn}是首项为400, 公差为a的等差数列.

数列{bn}的前n项和.

所以经过n年, 该市更换的公交车总数

又a∈N*, 所以a的最小值为147.

配套练习:

1.若数列{an}的前n项和, 则{an}的通项公式是an=____.

2.若数列{an}中, a1=3 且an+1=an2 (n是正整数) , 则它的通项公式是an=____.

3.设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和, 若a1=2a8-3a4, 则.

4.已知数列{an}中, 若a1=1, (n ∈ N*) , 则该数列的通项为.

5.设等差数列{an}的前n项和为Sn, 若a1=-11, a4+a6= -6, 当Sn取最小值时, n=____.

6.已知{an}是等差数列, a1=1, 公差d≠0, Sn为其前n项和, 若a1, a2, a5成等比数列, 则S8=____.

7.已知等比数列{an}的首项a1=1, 公比q=2, 则a12+a22+…+an2=___.

8.写出下面各数列的一个通项公式:

(2) a, b, a, b, a, b, … (其中a, b为实数) .

9.设{an}是等差数列, 且a1-a4-a8-a12+a15=2, 求a3+a13及S15的值.

10.已知{an}是等比数列, Sn是其前n项和, a1, a7, a4成等差数列, 求证:2S3, S6, S12-S6成等比数列.

11.已知等比数列{an}中, 首项a1=3, 公比q>1, 且3 (an+2+an) -10an+1=0 (n∈N*) .

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 设是首项为1, 公差为2的等差数列, 求数列{bn}的通项公式和前n项和Sn.

12.设等差数列{an}的公差为d, 点 (an, bn) 在函数f (x) =2x的图象上 (n∈N*) .

(1) 若a1=-2, 点 (a8, 4b7) 在函数f (x) 的图象上, 求数列{an}的前n项和Sn;

(2) 若a1=1, 函数f (x) 的图象在点 (a2, b2) 处的切线在x轴上的截距为, 求数列的前n项和Tn.

13.正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn2- (n2+n-1) Sn- (n2+n) =0.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 令, 数列{bn}的前n项和为Tn, 证明:对于任意的n∈N*, 都有Tn< (5/64) .

14.设数列{an}的前n项和为Sn, 点 (an, Sn) 在直线上.

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 在an与an+1之间插入n个数, 使这n+2个数组成公差为dn的等差数列, 求数列的前n项和Tn.

15.自祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来, 在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园, 台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务.某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂, 第一年各种经费12万美元, 以后每年增加4万美元, 每年销售蔬菜收入50万美元, 设f (n) 表示前n年的纯利润 (f (n) =前n年的总收入-前n年的总支出-投资额) .

(1) 从第几年开始该台商获利?

(2) 若干年后, 该台商为开发新项目, 有两种处理方案:①年平均利润最大时以48万美元出售该厂;②纯利润总和最大时, 以16万美元出售该厂, 问哪种方案最合算?

参考答案:

8. (1) 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数, 且奇数项为正, 偶数项为负, 所以它的一个通项公式为.

(2) 这是一个摆动数列, 奇数项是a, 偶数项是b,

所以此数列的一个通项公式为

9.a3+a13=-4, S15=-30.

10.证明略.

12. (1) 由已知, 得.解得d=a8-a7=2.

所以.

(2) 函数f (x) =2x在 (a2, b2) 处的切线方程为, 它在x轴上的截距为.由题意, 得, 解得a2=2.

所以d=a2-a1=1.从而an=n, bn=2n.

13. (1) 由Sn2- (n2+n-1) Sn- (n2+n) =0, 得[Sn- (n2+n) ] (Sn+1) =0.

由于{an}是正项数列, 所以Sn+1>0.所以Sn=n2+n.

当n≥2时, an=Sn-Sn-1=2n,

当n=1时, a1=S1=2适合上式.

所以an=2n.

14. (1) 由Sn=23an-1, 得.

两式相减, 得, 即an=3an-1 (n∈N*, n≥2) .

又, 得a1=2.

所以数列{an}是首项为2, 公比为3 的等比数列.

所以an=2·3n-1 (n∈N*) .

(2) 由 (1) 知an+1=2·3n, an=2·3n-1.

因为an+1=an+ (n+1) dn,

15.由题意知, 每年的经费是以12为首项, 4为公差的等差数列.

由题意, 得.

(1) 获取纯利润就是要求f (n) >0, 因此有-2n2+40n-72>0, 解得2<n<18.

又n∈N*, 可知从第三年开始获利.

(2) ①平均利润为, 当且仅当n=6时取等号.

故此方案共获利-2×62+40×6-72+48=144 (万美元) , 此时n=6.

②f (n) =-2n2+40n-72=-2 (n-10) 2+128, 当n=10时, [f (n) ]max=128.

故此方案共获利128+16=144 (万美元) , 此时n=10.

比较两种方案, 第①种方案只需6年, 第②种方案需要10年, 故选择第①种方案.

(安徽余其权)

六、不等式部分

考点1 比较两个数的大小

作差比较法的目的是判断差的符号, 而作商比较法的目的是判断商与1的大小, 两种方法的解题关键是变形.

例1 设a, b∈[0, +∞) , , 则A, B的大小关系是 ( ) .

(A) A≤B (B) A≥B

解析:由题意, 得, 且A≥0, B≥0, 可得A≥B.故选B.

考点2 不等式的性质

不等式的性质是判断不等式是否成立的重要依据.

例2 若a>b>0, c<d<0, e<0, 求证:.

证明:因为c<d<0, 所以-c>-d>0.

又因为a>b>0, 所以a-c>b-d>0.

所以 (a-c) 2> (b-d) 2>0.

考点3 一元二次不等式的解法

若一元二次不等式含有参数, 则需要进行分类讨论, 讨论的顺序是:二次项的系数、根的存在、两根的大小关系.

例3 关于x的不等式x2- (a+1) x+a<0的解集中, 恰有3个整数, 则a的取值范围是 ( ) .

(A) (4, 5)

(B) (-3, -2) ∪ (4, 5)

(D) [-3, -2) ∪ (4, 5]

解析:原不等式可能为 (x-1) (x-a) <0, 当a>1时, 得1<x<a, 则4<a≤5;当a<1时, 得a<x<1, 则-3≤a< -2.所以a∈[-3, -2) ∪ (4, 5].故选D.

考点4一元二次不等式恒成立问题

一元二次不等式恒成立的条件:

(1) 不等式ax2+bx+c>0 (a≠0) 对任意实数x恒成立, 则

(2) 不等式ax2+bx+c<0 (a≠0) 对任意实数x恒成立, 则

例4 “0<a<1”是“ax2+2ax+1>0 的解集是实数集R”的 ( ) .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

解析:当a=0时, 1>0, 显然成立;

所以ax2+2ax+1>0的解集是实数集R的充要条件为0≤a<1.

所以“0<a<1”是“ax2+2ax+1>0的解集是实数集R”的充分不必要条件.故选A.

考点5 二元一次不等式 (组) 表示的平面区域

确定二元一次不等式 (组) 表示的平面区域的方法是“直线定界, 特殊点定域”;注意:当不等式中带等号时, 边界为实线, 不带等号时, 边界应画为虚线, 特殊点常取原点.

考点6 求目标函数的最值

求目标函数的最值的一般步骤为:一画、二移、三求.常见的目标函数有: (1) 截距型:形如z=ax+by. (2) 距离型:形如z= (x-a) 2+ (y-b) 2. (3) 斜率型:形如.

解析:由约束条件所得的可行域如图2所示, 而z=x2+y2+2x +2y +2= (x+1) 2+ (y+1) 2表示可行域内一点 (x, y) 到点 (-1, -1) 的距离的平方.由图易知点A (1, 2) 是满足条件的最优解, 则z= (x+1) 2+ (y+1) 2的最小值为13.

考点7 线性规划的实际应用

解线性规划应用题的基本步骤是: (1) 转化———设元, 写出约束条件和目标函数, 从而将实际问题转化为线性规划问题; (2) 求解———解这个纯数学的线性规划问题; (3) 作答———将数学问题的答案还原为实际问题的答案.

例7 某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元, 每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中, 要求每天消耗A, B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划, 从每天生产的甲、乙两种产品中, 公司共可获得的最大利润是 ( ) .

(A) 1 800元 (B) 2 400元

解析:设某公司生产甲产品x桶, 生产乙产品y桶, 获利为z元, 则x, y满足的线性约束条件为目标函数z=300x+400y.

作出可行域, 如图3中四边形OABC的边界及其内部整点.作直线l0:3x+4y=0, 平移直线l0经可行域内点B时, z取最大值.由得B (4, 4) , 满足题意.

所以zmax=4×300+4×400=2 800.故选C.

考点8 利用基本不等式证明不等式

利用基本不等式证明不等式时要从整体上把握运用基本不等式, 对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换, 常见的变形技巧有:拆项, 并项, 也可乘上一个数或加上一个数, “1”的代换法等.

例8 已知a>0, b>0, a+b=1, 求证:.

证明:因为a+b=1, a>0, b>0,

考点9 利用基本不等式求最值

利用基本不等式求最值时应注意“一正、二定、三相等”, 即: (1) 非零的各数 (或式) 均为正, (2) 和或积为定值, (3) 等号能否成立, 这三个条件缺一不可.

例9 若点A (1, 1) 在直线2mx+ny-2=0 上, 其中mn > 0, 则的最小值为____.

解析:因为点A (1, 1) 在直线2mx+ny-2=0上, 所以2m+n=2.

考点10 基本不等式的实际应用

利用基本不等式求解实际应用题需认真阅读, 从中提炼出有用信息, 建立数学模型, 转化为数学问题求解.当运用基本不等式求最值时, 若等号成立的自变量不在定义域内时, 就不能使用基本不等式求解, 此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.

例10 在一个交通拥挤及事故易发生路段, 为了确保交通安全, 交通部门规定, 在此路段内的车速v (单位:km/h) 的平方和车身长l (单位:m) 的乘积与车距d成正比, 且最小车距不得少于半个车身长.假定车身长均为l (单位:m) 且当车速为50km/h时, 车距恰为车身长, 问交通繁忙时, 应规定怎样的车速, 才能使在此路段的车流量Q最大? (车流量=车速/ (车距+车身长) )

解析:由题意, 得d=kv2l.因为当v=50时, d=l, 所以l=k×502l, 得.所以.又当.

综上所述, 当且仅当v=50km/h时, 车流量Q取得最大值.

配套练习:

1.已知c>0, 0<b<a<1, 且M=abc, N=bac, 则M, N的大小关系是 ( ) .

(A) M>N (B) M<N

2.已知函数f (x) = (x-2) (ax+b) 为偶函数, 而且在 (0, +∞) 上单调递增, 则f (2-x) >0的解集为 ( ) .

(A) {x|x>2或x<-2}

(B) {x|-2<x<2}

(D) {x|0<x<4}

3.已知存在实数a满足ab2>a>ab, 则实数b的取值范围是____.

4.在平面直角坐标系中, 不等式组 (a为常数) 表示的平面区域的面积是9, 那么a=____.

5.实数x, y满足不等式组, 则z=|x+2y-4|的最大值为____.

6.已知A, B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品.已知A产品需要在甲机器上加工3小时, 在乙机器上加工1小时;B产品需要在甲机器上加工1小时, 在乙机器上加工3小时.在一个工作日内, 甲机器至多只能使用11小时, 乙机器至多只能使用9小时.A产品每件利润300元, B产品每件利润400元, 则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是____元.

7.已知不等式mx2-2x-m+1<0, 是否存在实数m对所有的实数x, 不等式恒成立?若存在, 求出m的取值范围;若不存在, 请说明理由.

8.设a, b∈R+, 且a+b=1, 求证:.

9.已知x>0, y>0, 且满足3x+2y=12, 求lg x+lg y的最大值.

10.小王大学毕业后, 决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查, 生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元, 每生产x万件, 需另投入流动成本W (x) 万元, 在年产量不足8万件时, ;在年产量不小于8万件时, .每件产品售价为5元, 通过市场分析, 小王生产的商品能当年全部售完.

(1) 写出年利润L (x) (万元) 关于年产量x (万件) 的函数解析式 (注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本) .

(2) 年产量为多少万件时, 小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?

参考答案:

1.A. 2.C. 3.b<-1.

4.1.在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域, 如图1.

直线x+y=0与直线x-y+4=0的交点坐标是 (-2, 2) , 点 (-2, 2) 到直线x=a (其中a>-2) 的距离为a+2.

直线x=a与x+y=0, x-y+4=0的交点坐标分别是 (a, -a) , (a, 4+a) .

结合图形及题意知, 即 (a+2) 2=9.又易知a>-2, 因此a=1.

5.21.作出不等式组表示的平面区域, 如图2中阴影部分所示.

, 即其几何含义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0 的距离的槡5倍.由得点B的坐标为 (7, 9) , 显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大, 此时zmax=21.

6.1 700.设生产A产品x件, B产品y件, 则x, y满足约束条件生产利润为z=300x+400y.画出可行域, 如图3中阴影部分 (包含边界) 内的整点.

显然z=300x+400y在点A处取得最大值, 由方程组解得则zmax=300×3+400×2=1 700.故最大利润是1 700元.

7.不存在满足题意的m (理由略) .

8.因为a, b∈R+, 且a+b=1,

故原不等式得证.

9.lg x+lg y的最大值是lg 6.

10. (1) 已知每件商品售价为5元, 则x万件商品销售收入为5x万元.

依题意得, 当0<x<8 时, ;

此时, 当x=6时, L (x) 取得最大值L (6) =9万元.

此时, 当且仅当时, 即x=10 时, L (x) 取得最大值15万元.

因为9<15, 所以当年产量为10 万件时, 小王在这一商品的生产中所获利润最大, 最大利润为15万元.

(安徽王刚)

七、立体几何部分

考点1 考查空间几何体的结构特征

主要考查柱、锥、台等几何体的结构特征或其中基本的线面关系, 题型一般为选择题或填空题.求解时, 须严格依据相关几何体的结构特征.

例1 如图1, 若 Ω 是长方体ABCD -A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHC1B1后得到的几何体, 其中E为线段A1B1上异于B1的点, F为线段BB1上异于B1的点, 且EH∥A1D1, 则下列结论中不正确的是 ( ) .

(A) EH∥FG

(B) 四边形EFGH是矩形

(D) Ω 是棱台

分析:判断选项A是否正确, 只需依据线面平行的判定和性质定理.运用其中判定出的位置关系和棱柱的结构特征, 进而可以判定选项C正确.判断选项B是否正确, 需运用空间垂直关系.判断选项D是否正确, 可依据棱台的结构特征.

解:因为EH ∥A1D1, B1C1∥A1D1, 所以EH ∥B1C1.因为B1C1平面BCC1B1, 所以EH∥平面BCC1B1.因为平面EFGH ∩ 平面BCC1B1=FG, 所以EH∥FG.因此A正确.又由棱柱的结构特征, 易知C也正确.

易知四边形EFGH是平行四边形.因为A1D1⊥ 平面ABB1A1, 所以A1D1⊥EF.因为EH ∥ A1D1, 所以EH ⊥ EF, 所以四边形EFGH是矩形.因此B正确.

无论 Ω 怎么放置, 都不能做到所有的侧棱交于一点, 所以 Ω 不是棱台.所以D不正确.

故选D.

评注:研究几何体的结构和截面问题, 一要依据相关几何体的结构特征;二要依据空间位置关系的判定和性质定理.

考点2 考查三视图

三视图是高中数学的新增内容, 因而其中的考查题型也比较丰富, 主要有:简单几何体的三视图问题、三视图的识别问题、三视图的应用问题.其中, 运用三视图求几何体的表 (侧) 面积、体积是三视图中的一类热点题型.求解上述问题的主要依据是三视图的画法规则, 主要运用的数学思想是转化思想和数形结合思想.

例2 某三棱锥的三视图如图2所示, 则该三棱锥最长棱的棱长为____.

分析:依据三视图画出该三棱锥的直观图, 即可确定最长棱的棱长, 进而依据空间位置关系, 运用勾股定理求解.

解:观察三视图, 可知该三棱锥的直观图如图3 所示, 其最长棱为VC.

由三视图中的数据可知, .

例3某几何体的三视图如图4所示, 则它的体积是 () .

分析:先由三视图确定几何体的形状, 然后由三视图中的长度得出几何体中的相应长度, 即可运用相关几何体的体积公式求这个几何体的体积.

解:观察三视图可知, 该几何体为一个组合体, 它是一个四棱柱正中挖去一个圆锥, 如图5所示.

又由三视图可知, 四棱柱与圆锥的高都是2, 四棱柱的底面是边长为2的正方形, 圆锥的底面是半径为1的圆.

所以该几何体的体积是.故选A.

考点3 考查几何体的表面积和体积

主要考查求柱、锥、台、球或简单组合体的表 (侧) 面积、体积或其他特征量问题, 题型多为选择题或填空题, 有时也作为解答题的一步.解答此类问题的主要依据是相应的计算公式, 主要的求解方法是代入法和解方程法.

例4 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1, S2, 体积分别为V1, V2.若它们的侧面积相等, 且.

分析:先由侧面积相等, 得出两个圆柱底面半径与高之间的关系式, 进而由底面积之比得出两底面半径之间的关系式, 即可求出它们的体积之比.

解:设甲圆柱的半径和高分别为r1, h1, 乙圆柱的半径和高分别为r2, h2.依题意, 可得2πr1h1=2πr2h2, 所以r1h1=r2h2.由.

例5 一个六棱锥的体积为2 槡3, 其底面是边长为2的正六边形, 侧棱长都相等, 则该六棱锥的侧面积为____.

分析:先求出六棱锥的底面积, 进而求出它的高, 再求出它的斜高 (即侧面等腰三角形的底边上的高) , 即可求其侧面积.

解:该六棱锥的底面积为, 所以它的高h=.它的侧面是由6个全等的等腰三角形组成的, 其中每个三角形底边上的高, 所以该六棱锥的侧面积为.

例6 圆柱形容器内盛有高度为8cm的水, 若放入三个相同的球 (球的半径与圆柱的底面半径相同) 后, 水恰好淹没最上面的球 (如图6所示) , 则球的半径是____cm.

分析:先设出球的半径, 然后根据球的体积与水的体积之和等于圆柱的体积, 列方程求半径.

解:设球的半径为r, 依题意, 得, 即, 解得r=4cm.所以球的半径是4cm.

考点4 考查异面直线

主要考查异面直线的判断和两条异面直线所成的角的求解, 题型多为选择题或填空题, 有时也命制解答题.求解的主要依据是相关的定义, 运用的主要数学思想是转化思想.

例7 直三棱柱ABC-A1B1C1中, 若∠BAC=90°, AB =AC=AA1, 则异面直线BA1与AC1所成的角等于 ( ) .

(A) 30° (B) 45°

分析:作出图形, 并在其中作出两条异面直线所成的角, 进而运用三角形知识求解.

解:作出直三棱柱ABC-A1B1C1, 如图7所示.

延长CA至点D, 使得AD=CA, 连结BD, A1D.

因为C1A1=AD, C1A1∥AD, 所以四边形ADA1C1是平行四边形.所以A1D∥C1A.所以∠DA1B (或它的补角) 就是异面直线BA1与AC1所成的角.

设AB=AC=AA1=a, 则可求得, 所以△A1BD是正三角形.所以∠DA1B=60°.

所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.故选C.

评注:求两条异面直线所成的角的一般步骤是:找 (作) ———说———求.若所给的图形中有两条异面直线所成的角, 则要先把它找出来, 若没有, 则需先作出来, 然后再说明哪个角是两条异面直线所成的角, 最后根据平面几何知识把它求出来.两条异面直线所成的角的范围是 (0, π/2], 即两条异面直线所成的角只能是锐角或直角.求解时, 一定要注意依据此范围, 准确确定两条异面直线所成的角.

考点5 考查空间中点、直线、平面位置关系的判定

主要考查空间平行与垂直的判定, 题型多为选择题, 多以判断命题正误的形式出现.判断时, 可以依据相关位置关系的定义、判定或性质定理, 也可以依据其他已被证明了的正确的结论.

例8 设l, m是两条不同的直线, α是一个平面, 则下列命题正确的是 ( ) .

分析:先把题中的符号语言翻译成文字语言, 然后借助空间想象进行判定.

解:选项A中命题可叙述为:若一条直线垂直于一个平面内的一条直线, 则这条直线垂直于这个平面.这个命题显然错误, 因为这条直线有可能在平面内、与平面平行或相交但不垂直.选项B中命题可叙述为:若两条平行线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于同一平面.这个命题正确.选项C中命题可叙述为:若一条直线平行于一个平面, 则它与这个平面内的任意一条直线都平行.这个命题不正确, 因为这两条直线还有可能是异面直线.选项D中命题可叙述为:平行于同一个平面的两条直线平行.这个命题不正确, 因为这两条直线还有可能相交或是异面直线.故选B.

考点6 考查空间中点、直线、平面位置关系的证明

主要考查空间平行与垂直的证明, 题型为解答题, 这类问题是高考立体几何解答题的一个考查热点.解答此类问题主要依据空间平行与垂直的定义、性质、判定和性质定理, 运用的主要数学思想是转化思想.

例9 如图8, 正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EF∥AC, , CE=EF=1.

(1) 求证:AF ∥ 平面BDE;

(2) 求证:CF⊥平面BDE.

分析: (1) 欲证AF∥平面BDE, 只需在平面BDE内找到一条与AF平行的直线即可. (2) 欲证明CF⊥平面BDE, 只需证明CF垂直于平面BDE内的两条相交直线, 可用菱形的性质和面面垂直的性质定理寻找这两条直线.

证明: (1) 如图8, 设AC ∩BD =O, 连结OE.

因为, 所以AC=2.所以OA=1.所以EF=OA.

又因为EF∥OA, 所以四边形OAFE是平行四边形.所以AF∥OE.

因为AF平面BDE, OE平面BDE, 所以AF∥平面BDE.

(2) 连结OF.

因为EF =OC, EF ∥OC, 所以四边形OFEC是平行四边形.又因为CE=EF, 所以四边形OFEC是菱形.所以CF⊥OE.

因为平面ACEF ⊥ 平面ABCD, 平面ACEF∩平面ABCD=AC, BD⊥AC, 所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.

因为OE∩BD=O, 所以CF⊥平面BDE.

考点7 考查空间位置关系的证明与计算的综合问题

主要考查空间平行与垂直关系的证明与几何体表 (侧) 面积或体积的计算, 大都是这两类问题的拼盘问题, 各个击破即可.题型一般为解答题.

例10 在如图9所示的几何体中, 四边形ABCD是正方形, MA⊥平面ABCD, PD∥MA, E, G, F分别为MB, PB, PC的中点, 且AD=PD=2 MA.

(1) 求证:平面EFG⊥平面PDC;

(2) 求三棱锥P - MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比.

分析:要证明平面EFG⊥平面PDC, 根据面面垂直的判定定理, 只需在一个平面内找到一条与另一个平面垂直的直线.经考察, 平面EFG中的直线GF可当此任.四棱锥P-ABCD的体积易求, 求三棱锥P-MAB体积的关键是找出它的高, 找高时, 需用定理:若一条直线与一个平面平行, 则该直线上所有的点到平面的距离相等.

解: (1) 证明:因为MA⊥平面ABCD, PD∥MA, 所以PD⊥平面ABCD.所以BC⊥PD.

又因为四边形ABCD是正方形, 所以BC⊥CD.

因为PD∩CD=D, 所以BC⊥平面PDC.

因为G, F分别为PB, PC的中点, 所以GF∥BC.所以GF⊥平面PDC.

因为GF平面EFG, 所以平面EFG⊥平面PDC.

(2) 设MA=a.

因为PD⊥平面ABCD, 所以.

因为DA⊥AB, DA⊥MA, MA∩AB=A, 所以DA⊥平面AMB.

易知PD∥平面AMB, 所以DA等于三棱锥P-MAB的高.

所以三棱锥P - MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比为1/4.

考点8 考查空间角的求解

主要考查求两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角 (三角函数值) , 题目多为解答题, 偶尔也命制填空题或选择题, 其中二面角是个考查重点.求空间角, 一般常用向量法, 即把空间角转化为相关向量所成的角.具体转化途径如下:设直线l, m的方向向量分别为a, b, 平面α, β的法向量分别为u, v.如果l, m是两条异面直线, 那么它们所成的角θ (余弦值) 可用cosθ=|cos〈a, b〉|求解, 此处之所以取cos〈a, b〉的绝对值, 是因为两条异面直线所成的角只能是锐角或直角, 而两个方向向量所成的角有可能是钝角, 故只有加上绝对值, 才能确保求出的角 (余弦值) 是两条异面直线所成的角 (余弦值) ;直线l与平面α 所成的角θ (正弦值) 可用sinθ=|cos〈a, u〉|求解, 此处取绝对值的理由同前;平面α, β构成的二面角θ 可用cosθ=±|cos〈u, v〉|求解, 取“+”号还是“-”号, 要视二面角是锐角还是钝角来确定.

例11 如图10, 在长方体ABCD -A1B1C1D1中, E, F分别是棱BC, CC1上的点, CF=AB=2CE, AB∶AD∶AA1=1∶2∶4.

(1) 求异面直线EF与A1D所成角的余弦值;

(2) 证明:AF ⊥ 平面A1ED;

(3) 求二面角A1-ED-F的正弦值.

分析:建立空间直角坐标系. (1) 异面直线EF与A1D所成角的余弦值是它们的方向向量夹角的余弦值的绝对值. (2) 先证明与平面A1ED内的两个不共线的向量垂直, 进而依据线面垂直的判定定理证明AF⊥ 平面A1ED. (3) 先求出二面角A1-ED-F的两个半平面所在平面的法向量, 进而求出这两个法向量的夹角的余弦值, 再将其转化为二面角的余弦值, 最后求其正弦值.

解:建立如图10所示的空间直角坐标系.不妨设AB=1, 则A (0, 0, 0) , D (0, 2, 0) , E (1, 3/2, 0) , F (1, 2, 1) , A1 (0, 0, 4) .

(1) 设异面直线EF与A1D所成的角为α.

由 (2) 可知是平面A1ED的一个法向量.

考点9 考查空间位置关系的探索性问题

主要考查空间平行或垂直的探索性问题, 题型多为解答题.立体几何中常见的探索性问题有四类: (1) 条件反溯型.此类问题是根据某一结论, 反溯应具备的条件.即具备什么条件 (如:点在何处、某线段多长或某数值是多少) 时, 才能有某平行或垂直关系.解法是先以结论为条件, 反向分析, 分析出条件后, 再正向论证. (2) 结论探索型.即在某些条件下, 能否推出某一结论或具有怎样的结论.解法是直接推证或检验. (3) 存在判断型. (4) 条件重组型.即给出一些条件, 把它们组成一个真命题.解法是依据有关定理进行试验、重组.

例12 如图11, 在正方体ABCD -A1B1C1D1中, E是棱DD1的中点.

(1) 求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值.

(2) 在棱C1D1上是否存在一点F, 使B1F∥ 平面A1BE?证明你的结论.

分析:建立空间直角坐标系. (1) 直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值, 是直线BE的方向向量与平面ABB1A1的法向量夹角的余弦值的绝对值. (2) 先假设点F存在, 并设出其坐标.因为当B1F∥平面A1BE时, 与平面A1BE的法向量垂直, 据此可求点F坐标中的参数.若能求出适合题意的坐标, 说明存在;否则, 不存在.

解:建立如图11所示的空间直角坐标系.不妨设AB=2, 则A (0, 0, 0) , B (2, 0, 0) , D (0, 2, 0) , E (0, 2, 1) , A1 (0, 0, 2) , B1 (2, 0, 2) .

(1) 易知是平面ABB1A1的一个法向量, .设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ, 则.

所以直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为2/3.

设在棱C1D1上存在一点F (t, 2, 2) (0≤t≤2) , 使B1F∥平面A1BE, 则有.

因为, 所以 (t-2, 2, 0) · (1, 1/2, 1) =0, 即, 解得t=1.所以F (1, 2, 2) , 即点F是棱C1D1的中点.

所以在棱C1D1上存在一点F, 使B1F∥平面A1BE, 它是棱C1D1的中点.

评注:本题是一个存在判断型的探索性问题, 解答此型问题的一般思路是:假设存在, 然后采用反探法探求.反探法的起点可以是已知条件, 也可以是要探求的位置关系.总之, 从哪儿开始探求方便, 就从哪儿开始.

配套练习:

1.如图1, 已知点E, F分别是正方体ABCD -A1B1C1D1的棱AB, AA1的中点, 点M, N分别是线段D1E与C1F上的点, 则与平面ABCD垂直的直线MN有 ( ) .

(A) 0条 (B) 1条

2.已知平面α, β和直线l, 若α⊥β, α∩β=l, 则 ( ) .

(A) 垂直于平面β的平面一定平行于平面α

(B) 垂直于直线l的直线一定垂直于平面α

(D) 垂直于直线l的平面一定与平面α, β都垂直

3.在空间中, 已知直线a, b和平面α, β, 下列命题中正确的是 ( ) .

(A) 若a∥α, b∥a, 则b∥α

4.一个几何体的三视图如图2所示, 其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆, 则这个几何体的体积是 () .

5.如图3, 在四面体ABCD中, 若截面PQMN是正方形, 则下列命题中错误的是 () .

(A) AC⊥BD

(B) AC∥平面PQMN

(D) 异面直线PM与BD成45°角

6.在如图4 所示的空间直角坐标系O-xyz中, 一个四面体的顶点坐标分别是 (0, 0, 2) , (2, 2, 0) , (1, 2, 1) , (2, 2, 2) .给出图5所示的四个图, 则该四面体的正 (主) 视图和俯视图分别为 ( ) .

(A) ①和② (B) ③和①

7.如图6, 在平面四边形ABCD中, AB=AD=CD=1, , BD⊥CD, 将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD, 使平面A′BD⊥平面BCD, 若四面体A′-BCD的顶点在同一个球面上, 则该球的体积为 () .

8.如图7, 在直棱柱ABC-A1B1C1中, 点D1, F1分别是A1B1, A1C1的中点, 若BC=CA=CC1, 则BD1与AF1所成角的余弦值是 ( ) .

9.如图8, 在三棱柱ABC-A1B1C1中, AA1⊥平面ABC, AA1=AC=2, BC=1, , 则此三棱柱的侧 (左) 视图的面积为____.

10.如图9, 在四面体ABCD中, E, F分别为AB, CD的中点, 过EF任作一个平面α 分别与直线BC, AD相交于点G, H, 则下列结论正确的是____ (填序号) .

①对于任意的平面α, 都有直线GF, EH, BD相交于同一点;

②存在一个平面β, 使得点G在线段BC上, 点H在线段AD的延长线上;

③对于任意的平面α, 都有S△EFG=S△EFH;

④对于任意的平面α, 当G, H在线段BC, AD上时, 几何体ACEGFH的体积是一个定值.

11.如图10, 在 △ABC中, ∠ABC=45°, ∠BAC=90°, AD是BC上的高, 沿AD把△ABD折起, 如图11, 使∠BDC=90°.

(1) 证明:平面ADB⊥平面BDC;

(2) 设BD=1, 求三棱锥D-ABC的表面积.

12.如图12, AB是圆的直径, PA垂直于圆所在的平面, C是圆上的点.

(1) 求证:平面PAC⊥平面PBC;

(2) 若AB=2, AC=1, PA=1, 求二面角C-PB-A的余弦值.

13.如图13, 在角梯形ABCD中, AB ⊥AD, AD∥BC, F为AD的中点, E在BC上, 且EF∥AB, 已知AB=AD=CE=2, 现沿EF把四边形CDFE折起, 如图14, 使平面CDFE⊥平面ABEF.

(1) 求证:AD∥平面BCE;

(2) 求证:AB⊥平面BCE;

(3) 求三棱锥C-ADE的体积.

14.如图15, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为矩形, PD⊥底面ABCD, AD=PD=2, CD=4, E为CD的中点.

(1) 在棱PB上是否存在一点F, 使得直线EF∥平面PAD;

(2) 求直线AE与平面PAB所成的角.

15.如图16, 正方形ABCD所在的平面与圆O所在的平面相交于CD, 线段CD为圆O的弦, AE垂直于圆O所在的平面, 垂足E是圆O上异于C, D的点, AE=3, 圆O的直径为9.

(1) 求证:平面ABCD⊥平面ADE;

(2) 求二面角D-BC-E的余弦值.

16.如图17, 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱AA1⊥ 底面ABCD, AB∥DC, AA1=1, AB=3k, AD=4k, BC=5k, DC=6k, k>0.

(1) 求证:CD ⊥ 平面ADD1A1;

(2) 若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为6/7, 求k的值.

17.已知某几何体的直观图和三视图如图18所示, 其正 (主) 视图为矩形, 侧 (左) 视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形.

(1) 求证:BN⊥平面C1B1N;

(2) 求二面角C-NB1-C1的余弦值.

18.如图19, 已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2 的正方形, PD ⊥ 底面ABCD, E, F分别为棱BC, AD的中点.

(1) 若PD=1, 求异面直线PB和DE所成角的余弦值.

(2) 若二面角P-BF-C的余弦值为, 求四棱锥P-ABCD的体积.

19.如图20, 在梯形ABCD中, AD=DC=CB=1, ∠ABC=60°, 四边形ACFE为矩形, 平面ACFE⊥平面ABCD, CF=1.

(1) 求证:BC ⊥ 平面ACFE;

(2) 点M在线段EF上运动, 设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ (θ≤90°) , 试求cosθ的取值范围.

参考答案:

1.B. 2.D. 3.D. 4.B. 5.C.

6.D.先在坐标系中作出一个以O为一个直角顶点, 且棱长为2的正方体, 然后在这个正方体中作出这个四面体, 不难发现该四面体的正 (主) 视图和俯视图分别为④和②.

7.A.依题意可知, A′B⊥A′C, 所以BC是外接球的直径, 且.所以球的半径为.所以球的体积为.

8.A.

9 .分别过C, C1点作CD⊥AB, C1D1⊥A1B1于D, D1, 则此三棱柱的侧 (左) 视图与矩形CDD1C1全等.因为AC=2, BC=1, , 所以 △ABC是直角三角形.所以.所以矩形CDD1C1的面积, 即侧 (左) 视图的面积为.

10.③④.

11. (1) 证明略.

(2) 三棱锥D-ABC的表面积为.

12. (1) 证明略.

(2) 二面角C-PB-A的余弦值为.

13. (1) 证明略.

(2) 证明略.

(3) 三棱锥C-ADE的体积为2/3.

14. (1) 建立如图1 所示空间直角坐标系Dxyz, 则E (0, -2, 0) , P (0, 0, 2) , A (2, 0, 0) , B (2, -4, 0) .

假设在棱PB上是否存在一点F, 使得直线EF∥平面PAD, 设.

易知是平面PAD的一个法向量, 所以EF⊥AB.

所以, 解得λ=1/2.

所以在棱PB上存在一点F, 它是棱PB的中点, 使得直线EF∥平面PAD.

(2) 由 (1) 可知, 当点F是PB的中点时, , 所以.所以EF⊥BP.

因为AB∩BP=B, 所以EF⊥平面PAB.所以是平面PAB的一个法向量.

设直线AE与平面PAB所成的角为θ.

所以直线AE与平面PAB所成的角是30°.

15. (1) AE垂直于圆O所在的平面, CD在圆O所在的平面上, 所以AE⊥CD.

又因为CD⊥AD, AD∩AE=A, 所以CD⊥平面ADE.

⊥ADE.因为CD平面ABCD, 所以平面ABCD⊥平面ADE.

(2) 因为CD⊥平面ADE, DE平面ADE, 所以CD⊥DE.

所以CE为圆O的直径, 即CE=9.

设正方形ABCD的边长为a, 则在Rt△CDE中, DE2=CE2-CD2=81-a2, 在Rt△ADE中, DE2=AD2-AE2=a2-9.所以81-a2=a2-9, 解得a2=45.所以.

如图2, 建立空间直角坐标系Dxyz, 则A (-6, 0, 3) , , E (-6, 0, 0) .

设二面角D-BC-E的大小为θ, 观察图2, 易知θ为锐角.

所以二面角D-BC-E的余弦值为.

16. (1) 如图3, 过点B作BE∥AD, 交DC于点E.

因为AB∥DC, BE∥AD, 所以四边形ABED是平行四边形.

所以DE=AB=3k, BE=AD=4k, 所以EC=6k-3k=3k.

所以BE2+EC2=BC2.所以 △BEC是直角三角形, 且∠BEC是直角.所以CD⊥BE.

又因为BE∥AD, 所以CD⊥AD.

因为AA1⊥底面ABCD, 所以CD⊥AA1.

因为AA1∩ AD = A, 所以CD ⊥ 平面ADD1A1.

(2) 建立如图4 所示的空间直角坐标系Dxyz, 则A (4k, 0, 0) , C (0, 6k, 0) , A1 (4k, 0, 1) , B1 (4k, 3k, 1) , 所以.

整理, 得k2=1.

因为k>0, 所以k=1.

17. (1) 如图5, 建立空间直角坐标系Bxyz, 则B1 (0, 8, 0) , C (0, 0, 4) , C1 (0, 8, 4) , N (4, 4, 0) .

所以.所以BN ⊥B1N, BN⊥C1N.

因为B1N ∩C1N = N, 所以BN ⊥ 平面C1B1N.

(2) 由 (1) 可知C1B1N的一个法向量为.

设平面CNB1的一个法向量为n= (x, y, 1) .因为, 所以由解得x=y=1/2.所以.

设二面角C-NB1-C1的大小为θ, 观察图形, 易知θ为锐角.

所以二面角C-NB1-C1的余弦值为.

18.如图6, 建立空间直角坐标系Dxyz, 则B (2, 2, 0) , C (0, 2, 0) , E (1, 2, 0) , F (1, 0, 0) .

(1) 若PD=1, 则P (0, 0, 1) , 所以.

设异面直线PB和DE所成的角为θ, 则.

所以异面直线PB和DE所成角的余弦值为.

(2) 设PD=h, 则P (0, 0, h) , 所以, 它是平面CBF的一个法向量.

所以四棱锥P-ABCD的体积为.

19. (1) 在梯形ABCD中, 因为AB∥CD, AD=DC=CB=1, ∠ABC=60°, 所以AB=2.

所以AB2=AC2+BC2, 则BC⊥AC.

因为平面ACFE ⊥ 平面ABCD, 平面ACFE∩平面ABCD=AC, BC平面ABCD, 所以BC⊥平面ACFE.

(2) 建立如图7 所示的空间直角坐标系Cxyz, 令, 则, B (0, 1, 0) , M (λ, 0, 1) , 所以.

所以.

易知n= (1, 0, 0) 是平面FCB的一个法向量, 所以.

因为, 所以当λ=0时, cosθ取得最小值;当时, cosθ取得最大值1/2.

所以cosθ的取值范围是.

(山东马继峰)

八、平面解析几何部分

考点1 直线与圆的方程

直线与圆的方程是进一步研究圆锥曲线的基础.纵观近年来全国各地高考对该部分内容的考查, 充分体现了课标和考纲的要求, 考查的重点:一是依据给出的几何要素求直线、圆的方程 (多是直线与圆、圆锥曲线的综合) ;二是判断直线与圆、圆与圆的位置关系, 讨论直线与圆的相交、相切问题;三是计算弦长、面积, 考查与圆有关的最值;四是求以圆为载体的曲线轨迹方程等.题型多为考查“三基”的中、低档客观题, 也有难度较大的综合性解答题.注重基础知识之间的内在联系, 注重挖掘基础知识的能力因素, 注重运算推证的准确熟练程度, 注重对数形结合、化归与转化等数学思想方法的考查.

例1过点引直线l与曲线相交于A, B两点, O为坐标原点, 当△AOB的面积取最大值时, 直线l的斜率等于 () .

评注:本题关涉圆的弦长的计算问题, 是直线与圆的方程中的常见题型.弦长可以通过求出直线与圆的交点坐标, 利用两点间的距离公式直接求得;抑或在直线斜率存在的前提下设其为k, 将直线与圆的方程联立消去y后得到关于x的一元二次方程, 则弦长 (x1, x2为方程的两根) , 间接求出;还可以像本例那样, 利用半弦、弦心距及半径构成的直角三角形, 借助勾股定理解得.

例2 过点 (3, 1) 作圆 (x-1) 2+y2=1的两条切线, 切点分别为A, B, 则直线AB的方程为 ( ) .

(A) 2x+y-3=0 (B) 2x-y-3=0

解析:经判断切线的斜率存在, 设切线的方程为y-1=k (x-3) .由圆心 (1, 0) 到切线的距离, 可求得k=0或k=4/3.于是可求得两个切点A, B的坐标分别为 (1, 1) , , 所以直线AB的方程为2x+y-3=0.故选A.

例3 圆心在曲线 (x>0) 上, 与直线2x+y+1=0相切, 且面积最小的圆的方程为 ( ) .

(A) (x-1) 2+ (y-2) 2=25

(B) (x-1) 2+ (y-2) 2=5

(D) (x-2) 2+ (y-1) 2=5

解析:先探求半径最小时的条件, 由此确定圆心和半径即可.设圆心的坐标为 (a>0) , 则半径, 当且仅当, 即a=1时取等号, 也就是当a=1时圆的半径最小, 此时, C (1, 2) , 可得符合条件的圆的方程为 (x-1) 2+ (y-2) 2=5.故选B.

评注:上述求解过程中, 首先根据点到直线的距离公式表示圆的半径, 再利用基本不等式求出半径的最小值, 从而突破了圆的面积最小这一关键要素.如果不能将“直线与圆相切”与“圆的面积最小”二者有机勾连, 就难以找到问题的解决路径, 并且容易陷入盲目与混乱.

例4 已知过点A (0, 1) 且斜率为k的直线l与圆C: (x-2) 2+ (y-3) 2=1交于M, N两点.

(1) 求k的取值范围;

(2) , 其中O为坐标原点, 求|MN|.

解析: (1) 由题意, 可设直线l的方程为y=kx+1, 即kx-y+1=0.因为直线l与圆C: (x-2) 2+ (y-3) 2=1交于M, N两点, 所以圆心C (2, 3) 到直线l的距离小于半径1, 即.解得.所以k的取值范围是.

(2) 设M (x1, y1) , N (x2, y2) .将y=kx+1代入方程 (x-2) 2+ (y-3) 2=1, 整理, 得 (1+k2) x2-4 (k+1) x+7=0, 所以.因为, 所以, 解得k=1.所以l的方程为y=x+1.易知圆心在直线l上, 故|MN|=2.

评注:解决此类问题可通过直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况来探求.

例5 在平面直角坐标系xOy中, 点A (0, 3) , 直线l:y=2x-4.设圆C的半径为1, 圆心在l上.

(1) 若圆心C也在直线y=x-1上, 过点A作圆C的切线, 求切线的方程;

(2) 若圆C上存在点M , 使MA=2 MO, 求圆心C的横坐标a的取值范围.

解析: (1) 易得圆心坐标C (3, 2) , 圆的方程为 (x-3) 2+ (y-2) 2=1.由于切线斜率不存在时, 不合题意, 因此可设切线方程为y=kx+3.所以.解得k=0或.故切线的方程为y=3或.

(2) 设C (a, 2a-4) , 则圆C的方程为 (x-a) 2+ (y-2a+4) 2=1.设M (x0, y0) , 由题意 (x0-a) 2+ (y0-2a+4) 2=1.因为MA =2 MO, 所以x02+ (y0-3) 2=4x02+4y02, 即x02+ (y0+1) 2=4.又因为点M存在, 圆 (x-a) 2+ (y-2a+4) 2=1 与圆x2+ (y+1) 2=4 有交点, 即两圆相交或相切, 所以 (2-1) 2≤d2≤ (2+1) 2, 即1≤ (a-0) 2+[ (2a-4- (-1) ]2≤9, 解得, 即为所求.

评注:这是一道涉及直线与圆、圆与圆位置关系的综合问题.第 (1) 问考查求圆的切线方程的一般方法;第 (2) 问解法比较灵活, 需将几何等式MA=2 MO转化为代数等式 (即一个圆的方程) , 进而把所求问题转化为“已知两圆的位置关系, 通过圆心距变化范围, 探求参数取值范围”问题, 这要求我们熟练掌握知识、技能和相关思想方法.

例6 已知动圆过定点A (4, 0) , 且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(1) 求动圆圆心的轨迹C的方程;

(2) 已知点B (-1, 0) , 设不平行于y轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是"PBQ的角平分线, 证明直线l过定点.

解析: (1) 设圆心C的坐标为 (x, y) , MN的中点为E, 则由CA2=CM2=ME2+EC2, 得 (x-4) 2+y2=42+x2, 即y2=8x.

(2) 证明:设P (x1, y1) , Q (x2, y2) .由题意, 知y1+y2≠0, y1y2<0, 不妨设y2<0.又因为x轴是∠PBQ的角平分线, 所以tan∠PBO=tan∠QBO, 即.又y21=8x1, y22=8x2, 所以y1y2=-8.①

由①和②两式, 解得b=-k, 代入直线l的方程, 得y=k (x-1) .

故直线l恒过 (1, 0) 点, 结论获证.

评注:本例第 (1) 问是以动圆为背景, 探求抛物线的方程.求轨迹方程的常用方法有直接法、待定系数法、定义法、代入法 (相关点法) 、参数法等.第 (2) 问属于证明动直线过定点问题, 其一般方法是运用已知条件将直线方程变换成含有一个参数的点斜式形式, 进而找到直线所过的定点坐标.

考点2 圆锥曲线

圆锥曲线是高考的重点考查内容, 在近年来全国各地的高考试卷中, 该部分内容的题量大都保持一小一大或两小一大的格局, 分值在17分与24分之间.重点考查圆锥曲线的定义、方程和几何性质, 其中大多数试题的背景仍以椭圆居多, 抛物线次之, 双曲线最少.对定义、方程内容的考查注重基础.从知识点看, 在注重考查基本概念和几何性质的基础上, 加大了学科内的知识综合.从数学思想方法看, 在重视解析几何本质的同时, 既强调通性通法, 淡化特殊技巧, 又注重提供灵活运用坐标法解题的空间.文、理科试卷在圆锥曲线试题上的差异也越来越明显, 所采用的方式有:小题相同但大题不同, 曲线相同但难易有别, 题目相同但排序不同, 背景相同但设问不同, 起点相同但终点不同, 且往往以“姊妹题”的方式呈现.

例7设F1, F2是双曲线C: (a>0, b>0) 的左、右焦点, P是C上一点, 若|PF1|+|PF2|=6a, 且△PF1F2的最小内角为30°, 则C的离心率为_____.

评注:题目中的△PF1F2称为焦点三角形, 处理与其相关的问题时, 通常要用到双曲线 (椭圆) 的定义和余弦定理等知识.

例8 如图1, 在正方形OABC中, O为坐标原点, 点A的坐标为 (10, 0) , 点C的坐标为 (0, 10) .分别将线段OA和AB十等分, 分点分别记为A1, A2, …, A9和B1, B2, …, B9, 连结OBi, 过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi (i∈N*, 1≤i≤9) .

(1) 求证:点Pi (i∈N*, 1≤i≤9) 都在同一条抛物线上, 并求该抛物线E的方程;

(2) 过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M , N, 若△OCM与△OCN的面积比为4∶1, 求直线l的方程.

解析: (1) 依题意, 过Ai (i∈N*, 1≤i≤9) 且与x轴垂直的直线方程为x=i.因为Bi (10, i) , 所以直线OBi的方程为.设点Pi的坐标为 (x, y) , 由得, 即x2=10y, 所以Pi (i∈N*, 1≤i≤9) 都在同一条抛物线上, 且抛物线E的方程为x2=10y.

(2) 易知直线l的斜率存在, 设其方程为y=kx+10.由得x2-10kx-100=0, 此时, Δ=100k2+400>0, 直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M, N.设M (x1, y1) , N (x2, y2) , 则因为S△OCM=4S△OCN, 所以|x1|=4|x2|.又因为x1·x2<0, 所以x1=-4x2.代入解得.所以直线l的方程为, 即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.

评注:本题立意于抛物线的一种几何生成方式, 以求抛物线方程和直线方程设问, 需要抓住抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系, 以化归与转化、数形结合以及函数与方程思想为指导, 顺利推理运算求解.

例9 如图2, 椭圆的中心为原点O, 长轴在x轴上, 离心率, 过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A, A′两点, |AA′|=4.

(1) 求该椭圆的标准方程;

(2) 取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P, P′, 过P, P′作圆心为Q的圆, 使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ⊥P′Q, 求圆Q的标准方程.

(2) 设M (x, y) 是椭圆上任意一点, 由椭圆的对称性, 又设Q (x0, 0) , 则. (*)

设P (x1, y1) , 由题意, P是椭圆上到Q的距离最小的点, 因此, (*) 式当x=x1时取最小值.

又因为x∈ [-4, 4], 所以 (*) 式当x=2x0时取最小值, 从而x1=2x0, 且|QP|2=8-x02.

因为PQ⊥P′Q, 且P′ (x1, -y1) , 所以, 即 (x1-x0) 2-y21=0.

评注:本题考查椭圆和圆的方程的求法, 对数学综合能力的要求较高.运用圆锥曲线的知识, 准确迅速地将曲线的几何特征转化为数量关系 (方程、函数等) , 是解答此类问题的关键.

考点3 圆锥曲线的综合应用

高考数学试卷对知识、方法和能力的考查不可能孤立进行, 要充分体现各要素之间的关联和综合性.依托知识之间、思想方法之间或者能力之间的交会命题, 成为体现高考考查全面性、达成考查目标的必然选择.对于解析几何内容的考查当然也概莫能外, 通常的做法是通过坐标思想一线穿珠, 动态变化蕴含其中, 自然地将圆锥曲线、直线与圆的方程、其他模块内容以及平面几何的知识进行内外交会整合, 充分彰显几何、代数与坐标方法三位一体的立体命题特色, 考查对数形结合、化归与转化等数学思想方法的理解和掌握的程度.

例10如图3, F1, F2是椭圆C1:与双曲线C2:的公共焦点, A, B分别是C1, C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形, 则C2的离心率是 () .

解析:设AF1=m, AF2=n, 则m+n=4, , 可得mn=2.在双曲线中, , 因为m-n=2a, 所以 (2a) 2= (m-n) 2=m2+n2-2mn, 解得.所以C2的离心率.故选D.

评注:对于圆锥曲线问题, 利用定义法求解通常是首选之举.

例11已知F1, F2分别是椭圆E:的左、右焦点, F1, F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.

(1) 求圆C的方程;

(2) 设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a, b, 当ab最大时, 求直线l的方程.

解析: (1) 由题意易知, F1 (-2, 0) , F2 (2, 0) , 圆C的半径为2, 圆心C为原点O关于直线x+y-2=0的对称点.设圆心C (x0, y0) , 则有

故所求圆C的方程为 (x-2) 2+ (y-2) 2=4.

(2) 设直线l的方程为x=my+2, 则圆心到直线l的距离为, 所以.

故直线l的方程为.

评注:本题以椭圆为背景, 创设了求圆和直线方程的综合问题.解决第 (1) 问的关键是求对称点的坐标;第 (2) 问考查了圆、椭圆中弦长的求解方法, 由于涉及“最值”, 因此探求参数取值范围时, 应考虑利用基本不等式或函数.另外, 将直线l的方程设为x=my+2, 巧妙地避开了对斜率存在与否的讨论.

例12 如图4, 已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O, 长轴均为MN且在x轴上, 短轴长分别为2m, 2n (m>n) , 过原点且不与x轴重合的直线l与C1, C2的四个交点按纵坐标从大到小依次排列为A, B, C, D.记 λ=m/n, △BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.

(1) 当直线l与y轴重合时, 若S1=λS2, 求λ的值.

(2) 当λ变化时, 是否存在与坐标轴不重合的直线l, 使得S1=λS2?并说明理由.

同理可得, .

又因为△BDM和△ABN的高相等, 所以.如果存在非零实数k使得S1=λS2, 则有 (λ-1) yA= (λ+1) yB, 即, 解得.所以当时, k2>0, 存在这样的直线l;当时, k2≤0, 不存在这样的直线l.

评注:本题以椭圆离心率的几何性质为背景, 将控制椭圆扁平程度的伸缩量融入三角形的面积关系之中进行设问, 主要考查运用方程与不等式等基础知识和坐标法研究直线与椭圆的位置关系问题.尽管伸缩量λ 和直线方程中的参数k都在变化, 但只要抓住两个三角形始终保持等高的特征, 借助图形的对称性, 就能将其面积比S1∶S2转换成对应线段长的比|BD|∶|AB|, 再逐步将k用λ 表示出来, 就可对直线l的存在条件作出准确的分析判断.

例13如图5, 已知曲线C1:, 曲线C2:|y|=|x|+1, P是平面上一点, 若存在过点P的直线与C1, C2都有公共点, 则称P为“C1-C2型点”.

(1) 在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时, 要使用一条过该焦点的直线, 试写出一条这样的直线的方程 (不要求验证) ;

(2) 设直线y=kx与C2有公共点, 求证|k|>1, 进而证明原点不是“C1-C2型点”;

(3) 求证:圆x2+y2=1/2内的点都不是“C1-C2型点”.

解析: (1) C1的左焦点为, 过F的直线与C1交于, 与C2交于, 故C1的左焦点为“C1-C2型点”, 且直线可以为.

(2) 证明:直线y=kx与C2有交点, 则由得 (|k|-1) |x|=1.若方程有解, 则须|k|>1.直线y=kx与C1有交点, 则由得 (1-2k2) x2=2.若方程有解, 则须k2<1/2.故直线y=kx至多与曲线C1和C2中的一条有交点, 即原点不是“C1-C2型点”.

(3) 证明:显然过圆x2+y2=1/2内一点的直线l若与曲线C1有交点, 则斜率必存在;根据对称性, 不妨设直线l的斜率存在且与曲线C2交于点 (t, t+1) (t≥0) , 则l:y- (t+1) =k (x-t) , 即kx-y+ (1+t-kt) =0.若直线l与圆内部有交点, 则, 化简得.①

由① ②, 得, 推得k2< 1, 但此时, 因为t≥ 0, [1+t (1-k) ]2≥1, , 即 ① 式不成立.

当k2=1/2时, ①式显然不成立.

综上, 若直线l与圆x2+y2=1/2内有交点, 则不可能同时与曲线C1和C2有交点, 即圆内的点都不是“C1-C2型点”.

评注:本例利用双曲线和四条射线作背景, 将直观与对称、具体与抽象完美结合, 把射线、直线、圆和双曲线融为一体, 起点的举例说明、中间的衔接过渡、终点的结论证明, 从特殊到一般、从具体到抽象、从尝试到论证, 体现着数学探究的具体过程.该题又属信息迁移型题目, 主要考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力和后续学习的潜能.

配套练习:

1.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A, B两点, 则“k=1”是“△ABC的面积为1/2”的 () .

(A) 充要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分又不必要条件

2.垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是 ( ) .

3.已知F是双曲线C:x2-my2=3m (m>0) 的一个焦点, 则点F到C的一条渐近线的距离为 ( ) .

4.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F, 准线为l, P是l上一点, Q是直线PF与抛物线C的一个交点, 若, 则|QF|= ( ) .

5.已知圆C1: (x-2) 2+ (y-3) 2=1, 圆C2: (x-3) 2+ (y-4) 2=9, M, N分别是圆C1, C2上的动点, P为x轴上的动点, 则|PM|+|PN|的最小值为 ( ) .

6.若圆C经过坐标原点和点 (4, 0) , 且与直线y=1相切, 则圆C的方程是____.

7.一个圆经过椭圆的三个顶点, 且圆心在x轴的正半轴上, 则该圆的标准方程为____.

8.已知椭圆C: (a>b>0) 的左焦点为F, C与过原点的直线相交于A, B两点, 连结AF, BF.若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF=4/5, 则C的离心率e=___.

9.已知F是双曲线C:的右焦点, P是C左支上一点, , 当△APF的周长最小时, 该三角形的面积为____.

10.如图, 抛物线E:y2=4x的焦点为F, 准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上, 以C为圆心, CO为半径作圆, 设圆C与准线l交于不同的两点M , N.

(1) 若点C的纵坐标为2, 求|MN|;

(2) 若|AF|2=|AM|·|AN|, 求圆C的半径.

11.已知点P (2, 2) , 圆C:x2+y2-8y=0, 过点P的动直线l与圆C交于A, B两点, 线段AB的中点为M , O为坐标原点.

(1) 求M的轨迹方程;

(2) 当|OP|=|OM|时, 求l的方程及△POM的面积.

12.已知点A (0, -2) , 椭圆E: (a>b>0) 的离心率为, F是E的右焦点, 直线AF的斜率为, O为坐标原点.

(1) 求E的方程;

(2) 设过点A的动直线l与E相交于P, Q两点, 当△OPQ的面积最大时, 求l的方程.

参考答案:

1.C. 2.A. 3.D. 4.B.

5.A.如图1, 作圆C1关于x轴的对称圆C1′: (x-2) 2+ (y+3) 2=1, 则|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|.由图可知, 当C2, M′, P, N, C1′在同一直线上时, |PM|+|PN|=|PM′|+|PN|取得最小值, 即为.

8.5/7.

9..设双曲线的左焦点为F1, 由双曲线的定义知, |PF|=2a+|PF1|, 所以△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a+|PF1|+|AF|=|PA|+|PF1|+|AF|+2a, 由于|AF|+2a是定值, 要使△APF的周长最小, 需|PA|+|PF1|最小, 即P, A, F1共线.因为, F1 (-3, 0) , 所以直线AF1的方程为, 即, 代入, 整理, 得, 解得 (舍去) , 所以

10. (1) 易知圆心C (1, 2) , 半径为, 圆心到直线MN的距离为2, 所以可得弦长|MN|=2.

(2) 设C (a2/4, a) , M (-1, y1) , N (-1, y2) , 则圆C的半径, 从而圆C的方程为, 与准线方程x=-1联立并消去x, 得, 于是.由|AF|2=|AM|·|AN|, 易得|y1y2|=4, 所以.

11. (1) 圆C的方程可化为x2+ (y-4) 2=16, 所以圆心为C (0, 4) , 半径为4.设M (x, y) , 则, 由题设知, 所以x (2-x) + (y-4) (2-y) =0, 即 (x-1) 2+ (y-3) 2=2, 此即为M的轨迹方程.

(2) 由 (1) 可知M的轨迹是以点N (1, 3) 为圆心, 为半径的圆.由|OP|=|OM|, 得O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上, 从而ON⊥PM, 如图2.因为ON的斜率为3, 所以l的斜率为, 直线l的方程为.又因为, 原点O到l的距离为, 所以.故△POM的面积为.

12. (1) 直线AF的方程为.因为, 所以a=2.又b2=a2-c2=1, 所以椭圆E的方程为.

(2) 当l⊥x轴时不符合题意.设直线l的方程为y=kx-2, P (x1, y1) , Q (x2, y2) .由.由Δ=162k2-4×12× (1+4k2) =16 (4k2-3) >0, 得.

故满足题意的直线l的方程为.

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