图像熵计算范文

第一篇：图像熵计算范文

第5讲 信息熵

第5讲 随机变量的信息熵

在概率论和统计学中，随机变量表示随机试验结果的观测值。随机变量的取值是不确定的，但是服从一定的概率分布。因此，每个取值都有自己的信息量。平均每个取值的信息量称为该随机变量的信息熵。

信息熵这个名称是冯诺依曼向香农推荐的。在物理学中，熵是物理系统的状态函数，用于度量一个物理系统内部状态和运动的无序性。物理学中的熵也称为热熵。信息熵的表达式与热熵的表达式类似，可以视为热熵的推广。香农用信息熵度量一个物理系统内部状态和运动的不确定性。

信息熵是信息论的核心和基础概念，具有多种物理意义。香农所创立的信息论是从定义和研究信息熵开始的。这一讲我们学习信息熵的定义和性质。

1. 信息熵

我们这里考虑离散型随机变量的信息熵，连续型随机变量的信息熵以后有时间再讨论，读者也可以看课本上的定义，先简单地了解一下。 定义1.1 设离散型随机变量X的概率空间为

Xx1Pp1x2p2...xn

...pn我们把X的所有取值的自信息的期望称为X的平均自信息量，通常称为信息熵，简称熵(entropy)，记为H(X)，即

n

H(X)E[I(X)]pilogi11 (比特)pi

信息熵也称为香农熵。

注意，熵H(X)是X的概率分布P的函数，因此也记为H(P)。

定义1.2 信息熵表达式中的对数底可取任何大于等于2的整数r，所得结果称为r-进制熵，记为Hr(X)，其单位为“r-进制单位”。 我们有

1

HXHrX

logr注意，在关于熵的表达式中，我们仍然约定

0log00， 0log信息熵的物理意义：

信息熵可从多种不同角度来理解。

x0 0(1) H(X)是随机变量X的取值所能提供的平均信息量。

(2) 统计学中用H(X)表征随机变量X的不确定性，也就是随机性的大小。

例如，假设有甲乙两只箱子，每个箱子里都存放着100个球。甲里面有红蓝色球各50个，乙里面红、蓝色的球分别为99个和1个。显然，甲里面球的颜色更具有不确定性。从两个箱子各摸出一个球，甲里面摸出的球更不好猜。

(3) 若离散无记忆信源的符号概率分布为P，则H(P)是该信源的所有无损编码的“平均码长”的极限。

令X是离散无记忆信源的符号集，所有长度为n的消息集合为

Xn{1,2,,M}

每个消息i在某个无损编码下的码字为wi，码字长为li比特。假设各消息i出现的概率为pi，则该每条消息的平均码长为

Lnpili

i1M因此，平均每个信源符号的码长为

Ln1Mpili nni1这个平均每个信源符号的码长称为该编码的平均码长，其量纲为(码元/信源)。

我们有

LnLH(X) 且 limnH(X)

nnn这是信源编码定理的推论。

2

例1.3 课本第26页例2.4. 天气预报的平均信息量。

练习：

在电脑主板上，串行接口(Serial Interface)用于向外设输出数据，每次输出1比特符号，若某段时间内输出符号的概率分布为

1X0p1/32/3 求此时段内该串行接口的信息率，即平均每符号所传递的信息(单位为“比特/符号”)。

3

练习解答：输出0所传递的信息为

log

I(0)输出1所传递的信息为

13log比特3 ()

I(1)log因此，输出符号的信息熵为

H(X)2log31 (比特) 3122log3(log31)log30.919(比特)

333于是所求的信息速率为0.919比特每符号。

说明：上述信息熵H(X)反映了串行接口传输信息的速率，称为该接口的信息率。

2. 熵函数H(P)的性质 性质1. 非负性和确定性

H(P)≥0

其中H(P)=0 当且仅当P为退化分布。

一个随机变量的概率分布为退化分布，当且仅当该随机变量是常量，即取值唯一(所以其取值是确定的)。

性质2. 对称性

H(p1,,pi,,pj,,pn)H(p1,,pj,,pi,,pn) 性质3. 连续性

H(p1,,pn)对于其中任何变量pi是连续的。

4

性质4. 扩展性 可扩展性1：

H(p1,,pn,0)H(p1,,pn) 可扩展性2： limH(p1,p2,,pn1,pn,)H(p1,p2,,pn2,pn1,pn)0证明：由连续性和可扩展性1立即可得。

证毕

意义：可扩展性表明，一个小概率事件对于熵的影响很小，可以忽略不计。 在熵的计算中，可以忽略其中一部分小概率事件。

例2.

1《中华字海》中收录了85000多个汉字，而常用汉字仅有3000个左右。(据统计现代汉语中这2400个汉字在一般书刊文章中所占的字数比例是99%)在计算汉字的熵时，大部分汉字都可以忽略不计，仅统计常用汉字出现的频率，以此作为这些汉字出现的概率，从而计算出汉字的熵。

性质5. 可加性

注意：即课本第31页的“递增性”。课本上的“可加性”事实上是联合熵的链法则，涉及到条件熵，放在此处不妥，后面再讨论。我们将赋予“递增性”更贴切的含义。 定理2.2(可加性公式)

qqqH(p1,p2,,pn1,q1,q2,,qm)H(p1,p2,,pn)pnH1,2,,mpnpnpn其中令pnq1q2qm

证明：可用熵函数的定义证明，细节留给读者完成。

证毕

可加性公式让我们不断降低信息熵中概率分布的维度，将高维计算简化为低维计算。有的教材称可加性为递推性。 例2.3 应用熵函数的可加性计算

1111H(,,,) 33665

解：

1111111111H(,,,)H(,,)H(,)33663333221log3

31.918 (bit)注意，可连续应用可加性公式：

111121211111H(,,,)H(,)H(,)H(,)33663332232221H(,)1 33连续应用可加性公式，我们有 定理2.4 (更一般的可加性公式) H(p11,,p1r1,p21,,p2r2,,pn1,,pnrn)piripi1pi2H(p1,p2,,pn)piH,,, (2.1)pii1pipin

其中pipj1riij

解释：我们可以把可加性理解为分步试验结果的熵等于各步试验结果熵的加权组合。。

,n，其概率分布为设一个随机试验分为两个步骤。第1步共有n个可能结果X11,2，(p1,p2,,pn)。这一步试验结果的熵为H(p1,p2,,pn)。

在第1步试验结果的基础上进行第2步试验。假设当第1步试验结果X1i时，第2步试验共有ri个可能结果，并且其概率分布为

piripi1pi2,,, pppiii6

对应的熵为

piripi1pi2H,,, pppiii因此，第2步传递的平均信息量为

piripi1pi2pH,,, ipppi1iiin两步所获得的平均信息量之和就是上述(2.1)中的右式。 左式可解释为第2步试验的所有可能结果的平均信息量。 练习：应用熵函数的可加性计算

H(1/6,1/6,1/6,1/9,1/9,1/12,1/12)

性质6. 递增性

低维分布分解为高维分布时，信息熵严格递增。

定理2.5 将n-维概率分布分解为n+1维分布后，熵增大：

H(p1,p2,,pn)H(p1,p2,,pn1,pn,) (0<pn)证明：由可加性立即可得。

证毕

性质7. 严格上凸性

定理2.6 熵函数H(P)是严格上凸函数。

证明：根据严格上凸性定义，我们设P=(p1, p2, …, pn)与Q=(q1,q2, …, qn)是两个不同的概率分布并且设(1,2)为非退化分布，只需证明下列不等式

1H(P)2H(Q)H(1P2Q) (1)

即

7

1plogpqii2i1i1nnilogqi1(pi2qi)lo1g(pi2 qii1n)合并同类项后，上述不等式等价变换为

n1pi2qipq1pilog2qilog1i2i0 piqii1i1 n注意，1P2Q是一个n-维概率分布，根据预备知识中所证明的“信息不等式”，我们有

npilogi11pi2qipi0 (2)

其中等号成立当且仅当P1P2Q，即P=Q。我们前面已假设P≠Q，所以上述不等式中的等号不成立。同理我们有

nqilogi11pi2qiqi0 (3)

由(2)和(3)可得(1)。

证毕

不等式(1)也可以用基本对数不等式证明。

不等式(1)的第二个证明：取x1pi2qipi，由

ln得

11x xpilnpipi1pi2qi2(piqi) (4) 1pi2qi根据预备知识中证明的基本对数不等式，(4)中等号成立的充要条件是P1P2Q，即P=Q。我们前面已假设P≠Q，所以不等式(4)中的等号不成立。因此，我们有

8

pilni1npi0 (5)

1pi2qi同理我们有

nqilni1qi0 (6)

1pi2qi由(5)和(6)可得(1)。

证毕

性质8. 极值性(最大离散熵原理)

定理2.7(最大离散熵原理)对于任何n维概率分布p，

H(p)logn

其中，等号成立的充要条件是p为均匀分布，即

p(1/n,1/n,,1/n)

证明： 令q为均匀分布(1/n,1/n,…,1/n)，应用信息不等式立刻可得该定理成立。

证毕

记号：我们用H0表示一个随机变量的最大熵。当且仅当某随机变量共有n种取值时，

H0logn (比特)

例2.8 二十问题游戏(the game of twenty problems)。甲心里想到一个事物，让乙猜。乙可以向甲提问，甲只回答是或者不是。若乙在20个问题之内猜出答案，则乙胜，否则甲胜。 猜数：一个比较简单的实例是猜数。要猜出一个100以内的正整数至少需要几个问题?至多需几个问题?

练习：

设一条电线上串联了8个灯泡，如图所示。假设其中有且只有一个灯泡坏了，并且各灯泡

9

的损坏概率相同，用万用电表通过测量断路找出坏灯泡。 (1)平均需要获得多少信息，才能找出其中的坏灯泡。 (2)一次测量所获得的信息的最大期望值是多少?

(3)试设计一个最佳测量方案，即测量次数的期望值最小的测量方案。

作业

1. 试证明信息熵的可加性。

2. 伪币称量问题：今有12枚金币，其中1枚是伪币，其重量不同于真币。 用一台没有砝码的天平通过比较金币重量可以找出这枚伪币。 (1)用这台天平找出伪币并知道其偏重还是偏轻需获得多少信息? (2)求天平的3种称量结果，即等重、左重和右重，的最大平均自信息。 (3)试证明找出这枚伪币至少需要称量3次。 (4)试设计最优的第1次称量方案。

(5)若第1次称量结果为1-4号钱币的总重量大于5-8号钱币的总重量，试设计最优的第2次称量方案。

3. 编程2：输入有限维概率分布，输出该分布的熵。

附录：热熵

1854年克劳修斯定义了物理系统的一种状态函数S，他之称为熵(entropy)，现在也称为热熵。一个物理系统从状态o到状态A的熵增量定义为

10

SSo其中

AodQ T克劳修斯的热力学第二定律：dS0

德国物理学家玻尔兹曼的熵公式：划时代的发现

SklogeW

其中W是物理系统的(宏观)状态所对应的所有可能微观状态数，k称为玻尔兹曼常数。 伟大意义：

(1)将宏观量S与微观状态数W相联系，架设了宏观与微观之间的桥梁。

(2)物理概念第一次用概率形式表达，意义深远。

(3)已成为物理学中最重要公式之一。

棋盘游戏：40X40的棋盘中间10X10位置上放着100颗棋子。这10X10位置构成系统I，其它位置构成系统II。将I中棋子挪动到II中，两个系统的状态都发生改变。求两个系统各自的熵与总熵，有 SIIISISII

11

第二篇：《熵：一种新的世界观》教案设计

教学目的

1. 提高学生对科技论文提要钩玄的能力。 2. 理解本文对“熵”的说明。

3. 体会本文节选部分对人类生存的新的哲学思考。

教学重难点

1. 研讨文章论述的观点，训练提要钩玄能力。 2. 学习用日常事例说明科学道理的写法。

3. 把文章中所举的事例与有关“熵”的概述结合起来理解“熵”的含义。

教学设想 教学方法

1. 点拨引导法。教师在学生自读的基础上，提出具有普遍性的问题作点拨引导。 2. 分组讨论法。让学生结合已有知识分组展开讨论，各抒己见，质疑解难。 3. 联想类比法。让学生把文中所讲的道理与生活结合起来深入理解课文。

教学时数

两课时

教学步骤 方案一

第一课时

一、导语设计

1868年，德国伟大的物理学家鲁道尔夫•克劳修斯提出了一个十分重要而又让人费解的概念——熵。“熵”这个概念谈的是热力学的第二定律。曾有不少人对这个奇怪的概念不以为然，他们想制造出各种形式的永动机来证明“熵”这个概念的错误。然而，100年的时间过去了，没有任何一个永动机能够永动。人们在实践中，越来越深刻地认识到，“熵”这个概念与我们的现实生存乃至我们的未来有如此紧密的联系，以致于1959年，在克劳修斯提出“熵”的理论91年后，英国著名作家斯诺在剑桥大学作题为《两种文化及再谈两种文化》的讲演时说：一个作家对热力学第二定律毫无所知，就等于一个科学家没读过莎士比亚的作品。那么，“熵”究竟与我们人类的生存有怎样密切的关系呢?“熵”又揭示了人类怎样的未来呢?今天，我们来学习美国当代著名社会学家里夫金和霍华德的文章——《熵：一种新的世界观》，让我们一同走近科学领域中的“莎士比亚”。

二、解题

本文是一篇科学论文，作者里夫金和霍华德是美国当代著名社会学家。1972年，西方著名的未来学研究团体罗马俱乐部发表了关于人类困境的研究报告，题为《增长的极限》，提出了“增长的极限”理论，提出人口和经济的增长，必然耗尽世界上不可再生的自然资源， 1 同时污染环境，威胁人类生存。罗马俱乐部的报告，向世人敲响了警钟，对近代西方文化中经济无限增长的观点作了批判。《熵：一种新的世界观》就是在这样的背景下诞生的一部学术著作。这部学术著作指出科技的发展是一个能源消耗不断增加，因而“熵”也不断增加的过程，得出了人类的历史是一个不断倒退、逐渐衰亡的结论。

三、研习课文

1.整体把握，理清思路。

(1)让学生在预习的基础上速读课文，初步提取要点，理清全文的论述思路。 (2)学生讨论发言，教师引导学生理顺全文的论述脉络。

明确：全文共15段。第1段通过民谚引出了热力学定律，第2段用一句话表述了热力学的两个定律，引出了“熵”的概念。第

3、4段是对热力学第一定律的论述，为下文论述热力学第二定律即熵的定律做铺垫。第5段为过渡段，转入对熵的论述。第

6、7段是对熵下定义并做解说。第

8、9段进一步从能量耗散的角度论述熵的涵义：能量平均状态是熵值达到最大的状态。第10至15段从地球上能量来源、工业回收、物质衰变等角度探讨了能源危机，说明地球上的有效能量在不断减少，熵在不断增加。

2.具体研习，突破重难点。

(1)学生梳理文中有关“熵”的概述，并用自己的话对“熵”的本质做出概括。 明确：

第5段——熵就是损失了的能在将来用于做某种功的一定能量。 第6段——熵是不能再被转化做功的能量的总和的测定单位。

第7段——熵和污染是同义词，是某一系统中存在的一定单位的无效能量。 第9段——熵即无效能量的总和。 概括：熵就是无效能量，就是污染。

(2)学生勾画课文中关于“能量”的概述，并用自己的话来谈一谈对“能量”的新认识。

明确：

第6段——能量可以分为“有效的”或“自由的”能量，和“无效的”或“封闭的”能量。

第7段——熵的增加就意味着有效能量的减少。被转化成了无效状态的能量构成了我们所说的污染。

第8段——在一个封闭系统里，能量水准的差异总是趋向于零。没有任何能量级别差异的状态叫做能量平均状态。

第9段——能量平均状态是熵值达到的最大的状态，那时将不再有任何自由能量来进一步做功了。

第10段——地球上有两个有效能量的来源：一个是地球本身所蕴藏的能量，另一个是太阳能。在对人类有意义的时间里，这两个能量都是有限的。

第14段——当有效能量告罄时，我们称之为“热寂”。认识“能量”：能量可以分为“有效的”和“无效的”两类，有效能量是有限的并且总在减少，即熵总在增加。有效能量消耗完时，熵达到最大值，这叫做能量平衡状态或者叫“热寂”。

四、课堂训练

2

本文在阐述科学道理时，有概述，有解说。从课文中找几个例子，分析作者是如何运用具体事例来说明抽象的论述要点的。

明确：课文第

4、

5、

6、

8、

12、13段中都举了日常生活中的例子来作具体说明。学生可以结合自己的物理学知识和生活经验来分析这些例子与概述要点的内在联系。

五、课堂小结

本文着重论述了热力学第二定律即“熵”的定律。熵是与能量密不可分的一个概念。作者对熵和能量作了大量地叙述，同时又从生活中举了大量的例子来作分析解说，使抽象的道理具体化，易于为一般读者所接受。这种写作方法值得我们学习。

六、布置作业

在课文第一段中，作者举了三个民谚来启发人们认识热力学第二定律。请结合本节课所学的知识，从能量耗散的方面，阐释下面几句话的意义：

(1)你不可能不劳而获： (2)覆水难收：

(3)天网恢恢，疏而不漏：

第二课时

一、检查作业，导入新课

1. 让学生就上节课的课后作业相互交流意见，然后发言讨论。 2. 教师对学生发言中的疑难进行点拨。 3. 导入新课。

通过上节课的学习和作业练习，我们对“熵”这个概念有了更多的了解。按照英国作家斯诺所言，可以说我们是学习了科学领域里的莎士比亚的作品。但是《熵：一种新的世界观》毕竟不是一篇文学作品，而是一篇饱含了深刻哲理的科学论文，其中一定还有不少令我们感到困惑的问题。这节课，我们就来做进一步的研讨。

1. 学生自主质疑研讨。

2. 具体研习，突出重点，突破难点。

如果学生不能提出更有研讨价值的问题，教师可以引导学生深入研讨以下问题：

(1)第3段中“宇宙中的能量总和一开始便是固定的，而且永远不会改变”一句如何理解?

明确：可以引导学生利用已有的天文学知识来讨论。也可引导学生结合史蒂芬•霍金的《宇宙的未来》一文中有关大爆炸的理论来思考。

(2)第4段中“世间万物的形态、结构和运动都不过是能量的不同聚集与转化形式的具体表现而已”。你能再举出别的例子来说明吗?

明确：大到一头大象、一座山，小到一只蚂蚁、一块石头，都是能量的具体表现形式。 (3)我们应该如何重新看待工业回收问题? 明确：工业回收对人类的生存有十分重要的意义，但是任何工业回收都在导致能量的消耗，即“熵”的增加。

3

三、课堂训练

课文题目《熵：一种新的世界观》指的究竟是一种怎样的“新的世界观”?结合对本文的学习，请写一段话，谈谈你对此观点的理解。

明确：作者认为人类科学技术的发展史是一个能量不断消耗、熵不断增加的过程，是一个不断衰退的过程，是一个一步步走向毁灭的过程。作者对人类发展史和人类未来的发展持悲观的态度，这相对那种对人类发展史和发展前景持乐观态度的观点来说，是一种新的世界观。

四、课堂小结

通过进一步研习课文，我们对熵的深刻内涵又有了新的理解。同时，我们对人类目前的生存方式及未来的生存环境都有了一种深沉的忧虑。当我们在认真学习本文的时候，当我们在深入思考着这些问题的时候，按照里夫金和霍华德的观点，我们也在消耗着能量，我们也在导致着熵的增加。这就是这篇课文特别要告诉我们的道理。

五、布置作业

《熵：一种新的世界观》向我们揭示了一种人类无力拯救世界的悲观结局，你对此有什么看法?课后搜集、阅读有关资料，写一篇短文，谈一谈自己的看法。

第三篇：信息论中有关信源熵的不等式

论文题目： 信息论中有关各种熵之间关系的证明 学院：数学科学学院 专业：信息与计算科学 姓名：周艳君 学号：20071115158

信息论中有关各种熵之间关系的证明

07信息班 周艳君 20071115158

指导老师 王桂霞

摘 要 根据信息量与熵的定义和重要定理以及主要公式，对各种熵之间的关系进行分析和证明.

关键词 无条件熵 条件熵 联合熵 交互熵.

⒈基本定义

1.1信息就是对事物动态(或它的存在方式)的不确定性的一种描述.不确定 性及随机性，可以用研究随机现象的数学教具—概率论与随机过程来描述信息. 1.2自信息量：一个随机事件发生某一结果后所带来的信息量称为自信息量，简称自信息.用I(ai)来表示. 1.3联合自信息量：自信息量是二维联合集XY上元素aibj的联合概率

p(aibj)数的负值，称为联合自信息量.用I(aibj)来表示. 1.4条件自信息量：为条件概率对数的负值.用I(ai/bj)来表示. 1.5交互信息量：ai后验概率与先验概率比值的对数为bj对ai的互信息量, 也称交互信息量(简称互信息).用I(ai;bj)来表示. 1.6信源熵：信源各个离散消息的自信息量的数学期望(即概率加权的统计 平均值)为信源的平均自信息量，一般称为信源的信息熵，也叫信源熵或香农熵，记为H(X). 1.7条件熵：在联合符号集合XY上的条件自信息量的数学期望.可以用

H(X/Y)表示. 1.8联合熵：也叫共熵，是联和离散符号XY上的每的元素aibj的联合自信息量的数学期望，用H(XY)表示. 2.基本公式

2.1 自信息量：I(ai)log2p(ai) 2.2 联合的自信息量：I(aibj)log2p(aibj) 当X和Y相互独立时，p(aibj)p(ai)p(bj);则有：

I(aibj)log2p(aibj)log2p(ai)p(bj)log2p(ai)log2p(bj)I(ai)I(bj)

2.3条件自信息量：I(ai/bj)log2p(ai/bj) 或 I(bj/ai)log2p(bj/ai)

2.4互信息量：I(ai;bj)log2p(ai/bj)p(ai) (i1,2,,n;j1,2,,m)

n12.5信源熵：H(X)E[I(ai)]E[log2]p(ai)log2p(ai)

p(ai)i12.6条件熵：ⅰ：在已知随机变量Y的条件下，随机变量X的条件熵H(X/Y)为：

H(X/Y)E[I(ai/bj)]p(aibj)I(ai/bj)

j1i1mn

p(aibj)lo2gp(ai/bj).

j1i1mn

ⅱ：在已知随机变量X的条件下，随机变量Y的条件熵H(Y/X)为：

H(Y/X)E[I(bj/ai)]p(aibj)I(bj/ai)

j1i1mmn

p(aibj)lo2gp(bj/ai).

j1i1n2.7联合熵：H(XY)p(aibj)I(aibj)p(aibj)log2p(aibj).

i1j1j1i1nmmn2.8有关概率的基本公式：p(ai)1，p(bj)1，p(ai/bj)1，

i1nmnj1i1p(bj1mj/ai)1，p(ab)1，p(ab)p(b),p(ab)p(a)ijijjnmnmiji，i1j1i1j1p(aibj)p(ai)p(bj/ai)p(bj)p(ai/bj).

3.各种熵之间的关系 3.1无条件熵 3.1.2 H(X)H(X/Y)I(X;Y)H(X/Y). 证明：①H(X)p(ai)log2p(ai)

i1n

p(ab)logp(a/b)p(a/b)

ij2ijj1i1nijmnp(ai)

p(aibj)lo2gj1i1mp(ai/bj)p(ai)p(aibj)lo2gp(ai/bj)

j1i1mn

I(X;Y)H(X/Y).

②H(X/Y)p(bj)p(ai/bj)log2p(ai/bj)

ji

p(bj)[p(ai/bj)log2p(ai/bj)].

ji

由熵的极值性知：

H(X/Y)p(bj)[p(ai/bj)lo2gp(ai)]

ji

[p(bj)p(ai/bj)]lo2gp(ai)

ij

H(X),

其中 p(b)p(a/b)p(ab)p(a).

jijijijj同理： H(Y)H(Y/X)I(X;Y)H(Y/X). 3.1.2. H(X)H(XY)H(Y/X). 证明：H(X)p(ai)log2p(ai)

i

[p(bj)p(ai/bj)]log2ijp(aibj)p(bj/ai)ij

p(aibj)log2p(aibj)[p(aibj)log2p(bj/ai)]

ij

H(XY)H(Y/X), 同理：H(Y)H(XY)H(X/Y).

3.2条件熵 H(X/Y)H(XY)H(Y)H(X)I(X;Y). 3.2.1 H(X/Y)H(XY)H(Y). 证明：H(X/Y)p(ab)logiji1j1mnnm2p(ai/bj)

p(aibj)log2p(aibj)i1j1nm[p(ab)]logijj1i1mmn2p(bj)

p(aibj)log2p(aibj)p(bj)log2p(bj)

i1j1j1H(XY)H(Y),

其中：p(aibj)p(bj).

i1n3.2.2 H(X/Y)H(X)I(X;Y) . 证明：H(X/Y)p(aibj)log2p(ai/bj)

i1j1nm

p(aibj)lo2gp(ai)i1j1nmnmp(aibj)p(ai)n

m

[p(aibj)]lo2gp(ai)i1j1i1mp(aibj)lo2gj1ijip(ai/bj)p(ai)

H(X)I(X;Y), 其中：

p(ab)p(a).

j1同理：H(Y/X)H(XY)H(X)H(Y)I(X;Y). 3.3联合熵 H(XY)H(YX)

H(XY)H(X)H(Y/X)H(Y)H(X/Y)

H(X)H(Y)I(X;Y) H(X/Y)H(Y/X)I(X;Y). 3.3.1H(XY)H(X)H(Y/X)H(Y)H(X/Y) . 证明：H(XY)p(aibj)log2p(aibj)

i1j1nm

p(aibj)lo2gp(ai)p(bj/ai)

i1j1nnm

[p(aibj)]lo2gp(ai)p(aibj)p(bj/ai)

i1j1i1j1mmnm

H(X)H(Y/X),

其中：p(aibj)p(ai).

j1同理：

H(XY)H(Y)H(X/Y). 3.3.2 H(XY)H(X)H(Y)I(X;Y)

. 证明：H(XY)p(aibj)log2p(ai)p(bj/ai)

i1j1nm

p(aibj)lo2gp(ai)p(bj)i1j1nmmnmp(bj/ai)p(bj)n

[p(aibj)]log 2p(ai)[p(aibj)]log2p(bj)i1j1j1i1

p(aibj)log2i1j1nmp(bj/ai)p(bj)

H(X)H(Y)I(X;Y).

3.3.3 H(XY)H(X/Y)H(Y/X)I(X;Y). 证明：H(XY)p(aibj)log2p(ai)p(bj/ai)

i1j1nm

p(aibj)lo2gp(ai/bj)p(bj/ai)i1j1nmnmnmp(ai)

p(ai/bj)

p(aibj)loggp(bj/ai) 2p(ai/bj)p(aibj)lo2i1j1i1j1

p(aibj)lo2gi1j1nmp(ai/bj)p(ai)

H(X/Y)H(Y/X)I(X;Y) 3.4交互熵 I(X;Y)I(Y;X)

I(X;Y)H(X)H(X/Y)H(Y)H(Y/X)

H(XY)H(X/Y)H(Y/X)H(X)H(Y)H(XY) . 3.4.1 I(X;Y)H(X)H(X/Y)H(Y)H(Y/X) 证明：I(X;Y)p(aibj)log2i1j1nmnmp(ai/bj)p(ai)

nm

[p(aibj)]lo2gp(ai)p(aibj)lo2gp(ai/bj)

i1j1i1j1m

H(X)H(X/Y), 其中：p(aibj)p(ai).

j1同理：I(X;Y)H(Y)H(Y/X). 3.4.2证明: I(X;Y)p(aibj)log2i1j1nmp(ai/bj)p(ai)

p(aibj)log2p(ai/bj)p(bj/ai)i1j1nmnmnm1

p(aibj)p(aibj)log2p(aibj)p(aibj)log2p(ai/bj)

i1j1mi1j1p(aibj)log2p(bj/ai)

i1j1nH(XY)H(X/Y)H(Y/X).

3.4.3证明：I(X;Y)p(aibj)log2i1j1nmp(ai/bj)p(ai)

p(aibj)lo2gi1j1nmnmp(aibj)p(ai)p(bj)

mn

[p(aibj)]lo2gp(ai)[p(aibj)]lo2gp(bj)

i1j1mj1i1

p(aibj)lo2gp(aibj)

i1j1n

H(X)H(Y)H(XY). 其中：p(aibj)p(ai)，p(aibj)p(bj). j1i1mn参考文献

[1]傅祖芸，赵建中.信息论与编码.电子工业出版社,2006,4. [2]邓稼先，康耀红.信息论与编码.西安电子科技大学出版社,2007,5. [3]陈运.信息论与编码.电子工业出版社,2007,12.

[4]贾世楼.信息论理论基础. 哈尔滨工业大学出版社,2002,6.

第四篇：数字图像处理图像变换实验报告

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

实 验

实验名称：图像处理姓名：刘强

班级：电信

学号：

报 告

1102

1404110128

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

实验一 图像变换实验——图像点运算、几何变换及正交变换

一、 实验条件

PC机 数字图像处理实验教学软件

大量样图

二、 实验目的

1、 学习使用“数字图像处理实验教学软件系统”，能够进行图像处理方面的简单操作;

2、 熟悉图像点运算、几何变换及正交变换的基本原理，了解编程实现的具体步骤;

3、 观察图像的灰度直方图，明确直方图的作用和意义;

4、 观察图像点运算和几何变换的结果，比较不同参数条件下的变换效果;

5、 观察图像正交变换的结果，明确图像的空间频率分布情况。

三、 实验原理

1、 图像灰度直方图、点运算和几何变换的基本原理及编程实现步骤

图像灰度直方图是数字图像处理中一个最简单、最有用的工具，它描述了一幅图像的灰度分布情况，为图像的相关处理操作提供了基本信息。

图像点运算是一种简单而重要的处理技术，它能让用户改变图像数据占据的灰度范围。点运算可以看作是“从象素到象素”的复制操作，而这种复制操作是通过灰度变换函数实现的。如果输入图像为A(x,y)，输出图像为B(x,y)，则点运算可以表示为：

B(x,y)=f[A(x,y)] 其中f(x)被称为灰度变换(Gray Scale Transformation，GST)函数，它描述了输入灰度值和输出灰度值之间的转换关系。一旦灰度变换函数确定，该点运算就完全确定下来了。另外，点运算处理将改变图像的灰度直方图分布。点运算又被称为对比度增强、对比度拉伸或灰度变换。点运算一般包括灰度的线性变换、阈值变换、窗口变换、灰度拉伸和均衡等。

图像几何变换是图像的一种基本变换，通常包括图像镜像变换、图像转置、图像平移、图像缩放和图像旋转等，其理论基础主要是一些矩阵运算，详细原理可以参考有关书籍。

实验系统提供了图像灰度直方图、点运算和几何变换相关内容的文字说明，用户在操作过程中可以参考。下面以图像点运算中的阈值变换为例给出编程实现的程序流程图，如下：

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

2、 图像正交变换的基本原理及编程实现步骤 数字图像的处理方法主要有空域法和频域法，点运算和几何变换属于空域法。频域法是将图像变换到频域后再进行处理，一般采用的变换方式是线性的正交变换(酉变换)，主要包括傅立叶变换、离散余弦变换、沃尔什变换、霍特林变换和小波变换等。正交变换被广泛应用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像压缩和图像识别等领域。

正交变换实验的重点是快速傅立叶变换(FFT)，其原理过于复杂，可以参考有关书籍，这里不再赘述。至于FFT的编程实现，系统采用的方法是：首先编制一个一维FFT程序模块，然后调用该模块对图像数据的列进行一维FFT，再对行进行一维FFT，最后计算并显示幅度谱。程序流程图如下：

四、 实验内容

图像灰度直方图

点运算：图像反色、灰度线性变换、阈值变换、窗口变换、灰度拉伸和灰度

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

均衡

几何变换：图像镜像变换、图像转置、图像平移、图像缩放和图像旋转 正交变换：傅立叶变换、离散余弦变换、沃尔什变换、霍特林变换和小波正反变换

注意：

1、 所有实验项目均针对8位BMP灰度图像进行处理，其它格式(如JPG)的图像可以利用系统提供的图像格式转换工具进行转换，再进行处理;

2、 本次实验的重点是图像的灰度直方图和点运算，几何变换和正交变换只作一般性了解。

五、 实验步骤

以图像灰度阈值变换为例说明实验的具体步骤，其它实验项目的步骤与此类似。

1、 打开计算机，在系统桌面上双击“数字图像处理实验教学软件系统”的可执行文件“图象处理”的图标，进入实验系统;

2、 执行文件→打开，在OPEN对话框中选择待处理的图像，按【OK】后系统显示出图像;

3、 执行查看→图像基本信息，将显示图像基本信息对话框，如图所示;

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

4、 执行查看→灰度直方图，查看图像的灰度直方图，如图所示;

5、 执行图像变换→正交变换→傅立叶变换，查看图像的频率域分布情况，如图所示;

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

6、 执行图像变换→正交变换→小波变换，查看图像经过小波变换的效果，如图所示;

7、 执行图像变换→点运算→阈值变换，修改阈值变换对话框中的阈值参数，如图所示;

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

8、 设置完阈值参数后按【OK】,系统显示阈值变换后的图像，与原图像进行比较，观察阈值变换的效果，如图所示;

9、 重复步骤4，查看阈值变换后图像的直方图分布情况;

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

10、 重复步骤5，查看阈值变换后图像的频率域分布情况;

11、执行文件→保存或另存为，保存处理后的图像;

12、执行文件→重新加载，重新加载原始图像，但要注意先前对图像的处理将会丢失; 注意：

13、在执行步骤2时可能会出现有些图像文件不能打开的情况，如图所示，此时可以先利用图像格式转换工具将图像文件转换为8位BMP图像，再利用系统进行处理。步骤14和15是使用图像格式转换工具的方法;

14、在桌面上双击图像格式转换工具Jpg2bmp的图标，进入转换工具界面，如图所示;

15、按照界面提示，把JPG格式的图像文件转换成8位BMP图像。

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

步骤13示意图

步骤14示意图

六、 思考题

1、 图像灰度线性变换、阈值变换、窗口变换、灰度拉伸和灰度均衡之间有何区别?

灰度线性变换就是将图像的像素值通过指定的线性函数进行变换，以此增强或者减弱图像的灰度。

灰度的阈值变换可以让一幅图像变成黑白二值图。

灰度的窗口变换也是一种常见的点运算。它的操作和阈值变换类似。从实现方法上可以看作是灰度折线变换的特列。窗口灰度变换处理结合了双固定阈值法，与其不同之处在于窗口内的灰度值保持不变。

灰度拉伸又叫做对比度拉伸，它与线性变换有些类似，不同之处在于灰度拉伸使用的是分段线性变换，所以它最大的优势是变换函数可以由用户任意合成。

灰度均衡是增强图像的有效方法之一。灰度均衡同样属于改进图像的方法，灰度均衡的图像具有较大的信息量。从变换后图像的直方图来看，灰度分布更加均匀。

2、 利用图像镜像和旋转变换可以实现图像转置吗?如果可以，应该怎样实现?

可以。进行一次镜像变换，顺(逆)时针旋转两次，再以与第一次相反的方向镜像变换。

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

实验二 图像增强及复原实验

七、 实验条件

PC机 数字图像处理实验教学软件

大量样图

八、 实验目的

1、 熟练使用“数字图像处理实验教学软件系统”;

2、 熟悉图像增强及复原的基本原理，了解编程实现的具体步骤;

3、 观察图像中值滤波、平滑、锐化和伪彩色编码的结果，比较不同参数条件下的图像增强效果;

4、 观察图像退化和复原的结果，比较不同复原方法的复原效果。

九、 实验原理

1、 图像增强和复原的基本原理

对降质图像的改善处理通常有两类方法：图像增强和图像复原。

图像增强不考虑图像降质的原因，只将图像中感兴趣的特征有选择地进行突出，并衰减图像的次要信息，改善后的图像不一定逼近原始图像，只是增强了图像某些方面的可读性，如突出了目标轮廓，衰减了各种噪声等。图像增强可以用空域法和频域法分别实现，空域法主要是在空间域中对图像象素灰度值直接进行运算处理，一般包括中值滤波、模板平滑和梯度锐化等，空域法可以用下式来描述：

g(x,y)=f(x,y)*h(x,y) 其中f(x,y)是处理前图像，g(x,y)表示处理后图像，h(x,y)为空间运算函数。图像增强的频域法是在图像的频率域中对图像的变换值进行某种运算处理，然后变换回空间域，系统涉及的各种滤波器属于频域法增强，这是一种间接处理方法，可以用下面的过程模型来描述：

其中：F(u,v)=[ f(x,y)]，G(u,v)= F(u,v)H(u,v)，g(x,y)=1[ G(u,v)]，和1分别表示频域正变换和反变换。实验系统提供了图像增强相关内容的文字说明，用户在操作过程中可以参考。

图像复原是针对图像降质的原因，设法去补偿降质因素，使改善后的图像尽可能逼近原始图像，提高了图像质量的逼真度。关于图像复原的详细原理可以参考相关书籍，这里不再赘述。本系统提供了图像的噪声退化、卷积退化和运动模糊退化操作，并提供了相应的逆滤波复原、维纳复原和运动模糊复原操作。本次

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

实验中图像复原只作一般性了解。

2、 编程实现步骤

下面以图像增强中的中值滤波操作为例给出编程实现的程序流程图，如下：

十、 实验内容

图像增强：中值滤波、图像模板平滑、理想低通滤波器平滑、巴特沃斯低通滤波器平滑、梯度锐化、拉普拉斯锐化、理想高通滤波器锐化、巴特沃斯高通滤波器锐化和伪彩色编码

图像复原：图像的噪声退化、卷积退化、卷积加噪声退化、运动模糊退化、逆滤波复原、维纳复原和运动模糊复原

注意：

3、 所有实验项目均针对8位BMP灰度图像进行处理;

4、 本次实验的重点是图像增强中的中值滤波和模板平滑，图像复原只作一般性了解。

十一、 实验步骤

以图像中值滤波操作为例说明实验的具体步骤，其它实验项目的步骤与此类似。

11、 打开计算机，在系统桌面上双击“数字图像处理实验教学软件系统”的可执行文件“图象处理”的图标，进入实验系统;

12、 执行文件→打开，在OPEN对话框中选择待处理的图像，按【OK】后系统显示出图像;

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

13、 执行查看→图像基本信息，将显示图像基本信息对话框，如图所示;

14、 执行查看→灰度直方图，查看图像的灰度直方图，如图所示;

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

15、 执行图像变换→正交变换→傅立叶变换，查看图像的频率域分布情况，如图所示;

16、 执行图像增强→中值滤波，选择或自定义对话框中的滤波器参数，如图所示;

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

17、 设置完滤波器参数后按【OK】,系统显示中值滤波后的图像，与原图像进行比较，观察中值滤波的效果，如图所示;

18、

重复步骤4，查看中值滤波后图像的直方图分布情况;

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

19、 重复步骤5，查看中值滤波后图像的频率域分布情况;

10、执行文件→保存或另存为，保存处理后的图像;

11、执行文件→重新加载，重新加载原始图像，但要注意先前对图像的处理将会丢失。

数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

十二、

思考题

1、 图像中值滤波和模板平滑之间有何区别?

图像平滑处理就是用平滑模板对图像进行处理，以减少图像的噪声。而中值滤波是一种非线性的信号处理方法。

2、 图像增强和图像复原之间有何区别?

图像增强：利用一定的技术手段，不用考虑图像是否失真(即原 始图像在变换后可能会失真)而且不用分析图像降质的原因。针对给定图像的应用场合，有目的地强调图像的整体或局部特性，将原来不清晰的图像变得清晰或强调某些感兴趣的特征，扩大图像中不同物体特征之间的差别，抑制不感兴趣的特征，使之改善图像质量、丰富信息量，加强图像判读和识别效果，满足某些特殊分析的需要。

图像复原：针对质量降低或者失真的图像，恢复图像原始的内容或者质量。图像复原的过程包含对图像退化模型的分析，再对退化的图像进行复原。图像退化是由于成像系统受各种因素的影响，导致了图像质量的降低，称之为图像退化。这些因素包括传感器噪声、摄像机聚焦不佳、物体与摄像机之间的相对移动、随机大气湍流、光学系统的象差、成像光源和射线的散射等。 图像复原大致可以分为两种方法：

一种方法适用于缺乏图像先验知识的情况，此时可对退化过程建立模型进行描述，进而寻找一种去除或消弱其影响的过程，是一种估计方法;

另一种方法是针对原始图像有足够的先验知识的情况，对原始图像建立一个数学模型并根据它对退化图像进行拟合，能够获得更好的复原效果。

3、 图像维纳复原为什么比逆滤波复原效果好?

维纳滤波复原的原理可表示为

对于维纳滤波，由上式可知，当

时，由于存在 项，所以数字图象处理实验指导书

实验一 图象变换实验

不会出现被0除的情形，同时分子中含有项，在处，。当时，，此时维纳滤波就变成 了逆滤波;当时，，表明维纳滤波避免了逆滤波中 出现的对噪声过多的放大作用,也就是说图像维纳复原比逆滤波复原效果好。

第五篇：《手绘线条图像——立体图像的表达》教学设计

一、教材分析

《手绘线条图像——立体图像的表达》是人美版美术教材第14册第二课的学习内容，属于造型·表现领域，手绘线条图像的表达是美术教学的重要基础课程之一。学习手绘线条图像能够促进学生将自己的所见、所闻、所感以简单会意的方式表达出来，达到自我表现、自我展示、交流和抒发情感的目的。初一学生在上学期已经对手绘线条有所了解，上学期的学习主要注重学生观察能力的训练,不强求完全写实。本学期的教学注重的是掌握立体图像的呈现规律和表现手法，能够发挥他们学习的主动性、探索性和创造性，掌握表达立体图像的各种方法。 本内容计划授课一课时。

二、教学目标

1.知识与能力：通过本课学习，使学生掌握丰富的线条表达方法，理解物象的基本特征和基本关系，提高学生的观察能力和形象思维能力，更重要的是提高表达能力和综合实践能力。

2.过程与方法：能用手绘线条准确客观、忠实现实地传达物象信息。

3.情感态度与价值观：培养学生对事物的客观分析能力，表达自己的独到见解，发展个性，培养创新精神，学会从生活中去获取知识和提高能力。

三、教学重点与难点

重点：立体图像的表达方法，围绕生活，调动学习兴趣。 难点：鼓励学生大胆地对三维立体形象进行表达。

四、教学方法：直观感受法 结构分析法

五、教学准备

教师准备：电脑课件、正方体、 学具准备：A4纸、铅笔、橡皮

六、教学过程

(一)游戏引入

1、课堂活动：教师在黑板上画出一个正方形，请同学们通过添画几笔的方式，将二维图形变成三维立体图形，体验平面到立体的过程，激发学生学习的热情。一位同学在黑板上画。

设计意图：正方形变为正方体对于学生来说并非难事，学生在几何课上都已学过，之所以选择一开课就做一个简单的练习，目的是为了让学生树立信心，让学生体会到由平面到立体并非难事，只是多了一个深度。同时也完成了从平面到立体知识上的衔接。

2、教师根据黑板上的正方体引导学生总结出立体图像的含义：在平面中运用绘画等形式表达具有长、宽、高三度空间效果的三维立体形象。

设计意图：从小游戏中引导学生总结立体图像的含义能够加深印象，促进理解。

教师板书：立体图像的表达

(二) 讲授新课

1、教师由生活中的立体形象引出欣赏生活中的立体图像，欣赏几幅手绘立体图像，引导学生分析其画面所传达的内容：

设计意图：由学生来分析，在分析中体会并总结立体图像的功能。 图例一：一个正在高空做清洁工作的机器人 图一

说明：机器人的外观、所处的位置、周围的环境 图例二：工业产品设计的手绘效果图 图二

说明：各个角度展示手机的外型、翻盖功能 图例三：室内设计手绘效果图 图三

说明：房间的布局、家具、装饰品的式样和位置的摆放 图例四：鞋子的外观设计图 图四

说明：鞋子的款式、外部装饰

2、教师提问：“通过刚才几幅图片的欣赏大家想一想为什么我们要用手绘线条来表达立体图像?”——知识点：立体图像的功能

学生回答，教师总结：“当你要把一个物体的形象向别人描述时，立体图像会省掉许多形容的语言。立体图像比平面的图像更能够体现物体的空间感和体积感。” 设计意图：由学生分析后总结能够加深印象，帮助学生更好的理解，并能激发学生动手绘画的热情，为下面做了铺垫。

3、教师提问：“我们体会了立体图像的重要性，那么到底如何来表达立体图像?” ——知识点：立体图像的表达方法

欣赏：请同学们比较随身听的三种表达方法(如图五)，引导其说出不同之处，概括立体图像表达的三种方法：直观感受法、结构分析法、主观理解法。 图五

设计意图：在本部分的讲解中教师一步一步启发学生，在比较中总结立体图像表达的三种方法，接着再分别讲解。 (1)直观感受法

欣赏几幅立体图像(如图六)，总结出：直观感受法是按照物体的视觉现象予以表达，一般要符合透视规律，能较真实地再现对象。

图六

知识点：透视(看图七) 图七

从林荫道图片中总结出透视是一种符合正常视觉感受的科学变形。概括起来就是：近大远小。

比较：教师拿出一个正方体，通过不同角度的摆放让学生比较分析其各个边的透视变化，引出：平行透视与成角透视。(图

八、九) 图八 图九

设计意图：正方体是一切物体的基础，对正方体各角度透视关系的比较有利于学生更好的理解平行与成角透视。 课堂实践：

比较两个音箱，看看是属于哪一种透视规律。 图十

学生做练习一：用直观感受法表现音箱。(两位同学上黑板画，其余同学在纸上画)(如图十一)

练习评价：学生点评，教师总评。 图十一

设计意图：在学生能够对透视有所认识的基础上趁热打铁进行练习，是对知识的巩固。

(2)结构分析法

欣赏几幅立体图像(如图十二)，总结出：结构分析法是把一个物体看成是透明的，将被遮挡的部分画出来，这种方法能清晰的表达立体关系。(如图十三)。 图十二图十三

学生做练习二：用结构分析法表现音箱。(两位同学上黑板画，其余同学在纸上画)(如图十四)

练习评价：学生点评，教师总评。 图十四

试比较椅子的不同表达方法(如图十五)，总结出第三种方法(如图十六)。 图十五 图十六

设计意图：在椅子的不同表现方法的对比中帮助学生理解主观理解法的自由性。 (3)主观理解法

主观理解法是作者主观的认识、理解的表达方法。 欣赏几幅图片，理解这种方法。(如图十七) 图十七

4、应用、自我检测

请同学们总结三种方法在日常生活中的应用，最后做自我检测题检测自己的学习情况。 设计意图：通过自我检测进一步巩固所学知识，体会三种方法在生活中都是必不可少的，都在不同领域有所应用，传达不同的信息。

(三)布置作业：请同学们用自己喜欢的方法表达一个水杯。

(四)本课小结

手绘线条图像的表达是美术教学的重要基础课程之一。学习手绘线条图像能够使我们将自己的所见、所闻、所感以简单会意的方式表达出来。本节课我们主要学了三种表达方式(直观、结构、主观的表达方式)，我们要会用这三种方式去表现。

七、板书设计

立体图像的表达

直观感受法 结构分析法 主观理解法

(学生绘画)

八、教学反思：

初一学生思维活跃，想象力丰富，可塑性很强。对于学生的发言和上黑板展示，我基本上都给予了肯定和鼓励，使学生在学习的过程中始终充满自信，促进学生潜能、个性、创造力的发展。对于本课知识点学生已基本掌握，理解了形态与结构的关系，掌握了立体图像的呈现规律和表现手法，如果再能使课堂气氛活跃一些效果会好一些。