大一高数期末复习重点

第一篇：大一高数期末复习重点

大一政治经济学期末复习重点

政治经济学(资本主义部分)

大一

导论：

生产力：是人类社会生产物质资料的能力。

包括三个最基本要素：(1)劳动者劳动;(2)劳动资料;(3)劳动对象

生产关系：是人们在社会生产和再生产过程中结成的相互关系。

科学抽象法：科学抽象法包括两种互相区别、互相联系的方法，即从具体到抽象的研究方法和从抽象到具体的叙述方法。科学抽象法就是运用人们思维的抽象力，从大量的社会经济现象中，抽去外在的、偶然的、非本质的联系，找出内在的、必然的、本质的联系，形成科学理论体系的方法。科学抽象法是马克思主义政治经济学的基本研究方法，是唯物辩证法的具体运用。运用科学抽象法能够深刻地反映社会经济现象的本质，阐明经济范畴和经济规律。政治经济学离开科学抽象法将陷于现象形态的肤浅研究，无法揭示支配经济现象和发展过程的内在的、本质的规律。

第一章：商品

商品：商品是用来交换的劳动产品，商品具有使用价值和价值两个因素或两种属性。

商品价值量：是生产商品所耗费的劳动量。商品的价值是由劳动创造的，所以商品的价值量是由体现在商品中的劳动量决定的。劳动量是由劳动时间来衡量的，所以价值量的大小是由劳动时间的多少决定的。商品价值量由社会必要劳动时间决定，是由形成价值的实体抽象劳动的性质所决定的。

社会必要劳动时间：是在现有的社会正常生产条件下，在社会平均的劳动熟练程度和劳动强度下制造某种使用价值所需要的劳动时间。

个别劳动时间：各个商品生产者生产商品实际消耗的劳动时间。形成商品的个别价值。 相对价值形式：是在商品交换中使自己的价值得到相对表现的形式。

等价形式：是某种商品充当价值的代表与另一种商品直接交换的形式。

第二章：货币 货币职能：(1)价值尺度;(2)流通手段;(3)贮藏手段;(4)支付手段;(5)世界货币

货币的五种职能之间存在着有机的联系，他们共同的体现着货币作为一般等价物的本质。其中，价值尺度和流通手段是货币的基本职能。所谓“一般等价物”，就是价值尺度和流通手段的统一，前者是表现商品价值，后者是实现商品价值。由于货币可以表现其他一切商品的价值，可以买到一切商品，它就成了社会财富的代表，由此形成贮藏手段、支付手段和世界货币的职能。货币的五种职能是随商品经济的发展逐步出现的，它们反映着商品经济发展的不同阶段。 价格：用货币表现的商品价值叫做价格，它代表着商品与货币的交换比例。

纸币：纸币是代表金属货币执行流通手段的工具。

货币流通规律：

货币量的决定因素及其相互关系就是货币流通规律。

如果用P表示商品的一般价格水平，用Q表示商品的数量，P*Q就是待实现的商品价格总额，用V表示单位货币在一定时间内的平均流通速度，则流通中所需要的货币量G可表示：G=(P*Q)/V. 假定延期支付的商品价格总额为C，本期到期支付的债务总额为D，互相抵消的交易总额为E。则流通中实际需要货币量的公式就调整为：G=(P*Q-C+D-E/V. 用M代表所发行的货币数量，SQ表示金融资产的数量，用SP表示证券的一般价格水平，每年金融资产交易总价值量就是SP*SQ.用V1表示商品和劳务的货币流通速度，用V2表示金融资产的货币流通速度，则包括金融资产交易的货币数量公式可以写为：M=(P*Q)/V1+(SP*SQ)/V2

第三章:价值规律

主要内容和基本要求是：商品的价值量由生产商品的社会必要劳动时间决定，商品按价值量进行等价交换。

表现形式：价格始终以商品的价值为基础上下波动。

价值规律的表现形式：

1、主要内容和基本要求

2、在资本主义不同时期价值规律的表现形式不同，在简单商品经济和资本主义发展初期，通过以价值为中心，市场价格围绕价值上下波动的形式发挥着作用。

3、资本主义自由竞争阶段，商品价值转化为生产价格，价值规律转化为生产价格规律，市场价格围绕生产价格上下波动的形式发挥着作用。

4、资本主义垄断阶段。商品价值分别采取生产价格和垄断生产价格的形式发挥着作用。市场价格围绕垄断生产价格上下波动，在竞争和供求规律的共同作用下起着调节生产、配置资源、推动技术进步和提高生产力的作用。

基本作用：(1)能自发地调节社会劳动在各个生产部门的配置;

(2)刺激商品生产者不断改进生产技术，改善经营管理，提高劳动生产率;

(3)促使商品生产者两极分化。 作用机制：价格机制;供求机制;竞争机制。 是商品经济的基本经济规律：体现了商品经济的支配商品经济的其他规律。

第四章：资本与剩余价值 本质联系;存在于商品经济发展的各个阶段;

资本就是能够带来剩余价值的价值。 一切资本的投入都总是以货币的形式出现的。 作为货币的货币，其流通形式为：W-G-W(商品-货币-商品)

作为资本的货币，其流通形式为：G-W-G’(货币-商品-货币)

资本流通的公式：G-W-G’(货币-商品-货币’)其中，G’大于G，G’=G+ΔG,ΔG是G的增值额。马克思把这个超过原来货币价值的余额，叫做剩余价值。当货币能够带来剩余价值时，货币也就变成了资本。

资本的总公式：G-W-G’这个公式，反映了所有资本的最一般的运动形式，综合的反映了商业资本、产业资本和生息资本的最一般的运动形式。该公式表明，资本在运动中、流通中发生了价值的激增。

不变资本：以生产资料的形式存在的资本，在剩余价值的生产过程中，只是变换它的物质存在形式，其价值只是转移到新产品中去，不发生价值量的变化。

可变资本：用于购买劳动力的这部分资本价值，第一，不像生产资料的价值再现在新产品中，而是由劳动者的劳动再生产出来;第二，由于产生了价值增值，也即在生产过程中发生了价值量的变化，是一个可变的量，会增值自己的价值。 用m’表示剩余价值率，m表示剩余价值，用v表示可变资本，则：m’=m/v. 以M表示剩余价值量，以m表示一个工人所创造的剩余价值量，以v表示用于一个劳动力的可变资本，以V表示可变资本总量，则剩余价值总量的计算公式为：M=(m/v)*V=m’nv，其中，n代表可变资本总量所雇佣的劳动力或工人数。

绝对剩余价值：是指在必要劳动时间为一定的条件下，通过延长工作日以增加剩余劳动时间来增加剩余价值量的方法。

相对剩余价值：是指在工作日长度一定的情况下，用缩短必要劳动时间从而相对延长剩余劳动时间的办法来增加剩余价值。

相对剩余价值的产生，是社会劳动生产率普遍提高的结果。

超额剩余价值，就是个别资本家采用先进技术和设备，提高劳动生产率，使其产品的个别价值低于社会价值，而产品又按社会价值出售所获得的剩余价值。个别资本家获得超额剩余价值只是一种暂时现象。超额剩余价值是一种变相的相对剩余价值。

第五章：资本积累

资本积累实际上就是资本家利用无偿占有的剩余价值进行资本积累，扩大生产规模，从而进一步无偿的占有更多的剩余价值。资本积累的源泉是剩余价值。

资本积累量的决定因素：资本积累的数量首先取决于剩余价值分为个人消费基金和积累基金的比例。取决于剩余价值的绝对量。

就生产过程本身而言，资本积累的数量是由以下几个因素决定的：(1)对劳动力的剥削程度;(2)社会劳动生产率水平;(3)所用资本与所费资本的差额;(4)预付资本的大小。

所用资本是指在生产过程中全部投入使用并发挥作用的资本;所费资本是指在生产过程中实际消耗掉的资本。

资本有机构成：(1)从物质形态来看，资本是由一定数量的生产资料和劳动力构成的，他们之间应保持一定的比例关系。这种由生产技术水平所决定的生产资料和劳动力之间的比例，叫资本的技术构成。(2)从价值形态来看，资本是由一定数量的不变资本(生产资料的价值)和可变资本(劳动力的价值)构成的，他们之间也保持一定的比例关系。这种不变资本和可变资本的比例，叫资本的价值构成。马克思把这种由资本的技术构成决定，并反映着技术构成变化的资本价值构成，叫做资本有机构成。通常用C:V来表示，C:V的比例大，则资本有机构成高;C:V的比例小，则资本有机构成低。

资本积聚：是指个别资本依靠自身的积累，即通过剩余价值的资本化来增大自己的资本总额。也就是资本家把剩余价值的一部分作为追加资本投入到生产过程，使个别资本的总额不断增大。受到两方面的限制：(1)在其他条件不变的情况下，资本积聚的增加受社会财富增长程度的限制;(2)受社会资本分散程度的限制。

资本集中：是指把若干已经存在的规模较小的资本合并成为少数规模较大的资本。资本集中是借助于竞争和信用两个强有力的杠杆来实现的。

资本主义相对过剩人口：在资本有机构成不断提高的条件下，不断进行的资本积累，造成了资本主义的相对过剩人口，也即失业人口。相对过剩人口既是资本积累的必然产物，又是资本主义生产方式存在的条件之一。所谓相对过剩人口，是指劳动力的供给超过了资本对它的需求，表现为过剩的人口。

第六章：资本的循环与周转

产业资本：是指投在工业、农业、运输业、建筑业等物质资料生产部门的资本。它的最本质的特征是生产剩余价值。

产业资本的循环是指资本的价值从货币出发，依次经过购买、生产和销售三个阶段，相应的依此采取货币资本、生产资本、商品资本三种职能形态，实现增值后又回到原来出发形态的运动过程。

第一阶段是购买，产业资本家以商品购买者的身份购买劳动力和生产资料，为生产剩余价值做准备。用公式表示为：

{ A

G-W{

{Pm G代表货币，-代表流通过程，W代表商品，A代表劳动力，Pm代表生产资料。

第二阶段是生产，资本家把购买到的劳动力和生产资料结合起来进入生产领域，生产出新的商品，其价值包含着预付的资本价值及其增殖的价值即剩余价值。生产资本转化为包含剩余价值的商品资本(W’)。用公式表示为： { A

W{

„P„W’

{Pm

„P„代表生产过程，表示流通过程的中断;W’代表生产出来的商品，其价值=W+w’，其中W等于预付资本，w’为剩余价值。

第三阶段是售卖，即资本家把生产出来的商品出卖换回货币。这时资本又回到了最初的货币形式。但这个货币与开始支付的货币已经不同，在数量上发生了变化，除了预付的货币以外，有带来了一个新的增值额即剩余价值。用公式表示为：W’-G’.其中，G’=G+g,G是预付资本价值，g是实现了的剩余价值。

把以上三个阶段连接起来，即成为产业资本循环运动的全过程，用公式表示为：

{ A G-W{

„P„W’-G’.

{Pm

产业资本的三种循环形式：

1、货币资本循环：G-W„P„W’-G’

2、生产资本循环：P„W’-G’·G-W„P

3、商品资本循环：W’-G’-W„P„W’

产业资本连续循环的条件：

1、产业资本的三种职能形态在空间上的并存性：是指全部资本价值不能同时处在一个阶段和一种职能形态上，必须按照一定的比例同时分配为货币资本、生产资本和商品资本三种职能形态，并相应的分布在循环的三个阶段上。

2、产业资本循环的三个阶段在时间上的继起性。

资本周转：在资本反复不断的循环运动中，形成了一种周而复始的周期运动。这种连续不断、周而复始的资本循环运动，叫资本周转。 用n代表资本的周转次数，U代表资本周转时间的计量单位(年)，u代表一定量资本周转一次的时间，资本周转次数的计算公式是：n=U/u. 生产资本的两种划分：这两种划分是生产资本内部的划分。首先，划分的目的不同。划分不变资本和可变资本的目的，在与解释剩余价值来源于可变资本，来源于对雇佣工人的剥削。划分固定资本和流动资本的目的，是为了分析资本周转速度对剩余价值生产的影响。其次，划分的标准不同。不变资本和可变资本的划分标准是资本价值的不同组成部分在价值增值过程中的不同作用;而划分固定资本和流动资本的标准是资本价值不同组成部分的不同周转方式。

固定资本的有形磨损是固定资本的物质要素由于使用或自然力的作用所造成的磨损。因为有形磨损是物质形态的磨损，也被称为物质磨损。无形磨损是固定资本物质形态不变，由于生擦和你技术进步引起的资本价值的贬值。因为是非物质因素引起的，也被称为精神磨损。

固定资本的不断磨损，使得固定资本在使用一定年限后，由于丧失生产作用而退出生产过程，这时需要对固定资本在物质形式上进行替换，在价值形式上进行补偿，这就是固定资本的更新。折旧是实现固定资本更新的基本途径，是固定资本价值周转所采用的特殊形式。

年剩余价值率是一年内生产的剩余价值总量与一年内预付可变资本的比率，他表示这预付可变资本在一年内的增殖程度。用M表示年剩余价值量，m’表示剩余价值率，v表示年预付可变资本，n表示一年内可变资本周转次数，年剩余价值量的计算公式为：M=m’vn.年剩余价值率可表示为：M’=m’vn/v=m’n.

第七章：社会总资本的再生产及其周期性

个别资本：在资本主义社会，每个企业的资本，都是独立的发挥资本职能，在独立循环和周转过程中实现价值增值的。这种独立发挥职能的资本，就是个别资本。

所有个别资本的有机总和构成社会总资本。

社会总资本在生产的两个前提：(1)把社会总产品按照实物形态分为两大部类：第一部类：生产资料;第二部类：生产消费资料。一种产品究竟属于生产资料还是消费资料主要看它在再生产过程中的最终用途。(2)按照价值形式分为不变资本价值(c)、可变资本价值(v)和剩余价值(m)。

社会总资本的运动，实际就是社会总商品的运动。它的运动公式为：

{W-G}-W W(W+w){

}G’

{w-g }-w

这个公式中，作为起点的总商品资本W，包括补偿资本家垫付的不变资本和可变资本部分(W)，以及资本家无偿占有的剩余价值(w)。如果商品销售成功，全部资本都转化为货币资本(G)。其中，资本家可用收回的等于预付资本价值的货币资本(G)，去购买劳动力(A)和生产资料(Pm)，进行生产消费，经过生产过程，又变为生产资本(W)，完成商品资本循环，同时，资本家可将另一部分货币(g)，购买消费资料(w)，进行个人消费。

社会总资本简单再生产的实现条件：

1、第一部类的可变资本与剩余价值之和，应该等于第二部类的不变资本。Ⅰ(v+m)=Ⅱc

2、第一部类全部产品价值应该等于两大部类不变资本价值之和。Ⅰ(c+v+m)=Ⅰc+Ⅱc

3、第二部类全部产品的价值应该等于两大部类可变资本与剩余价值之和。

Ⅱ(c+v+m)=Ⅰ(v+m)+Ⅱ(v+m)

社会总资本扩大再生产前提条件：

1、第一部类生产的生产资料必须大于第二部类不变资本的价值：Ⅰ(v+m)>Ⅱc

2、第二部类的不变资本和供积累用的剩余价值之和必须大于第一部类的可变资本和供资本家个人消费用的剩余价值之和：Ⅱ(c+m-m/x)>Ⅰ(v+m/x).其中，m-m/x代表供积累用的剩余价值部分。

实现条件：

1、第一部类原有可变资本加上追加的可变资本，再加上本部类资本家用于个人消费的剩余价值之和，必须等于第二部类的不变资本加上追加的不变资本。Ⅰ(v+Δv+m/x)=Ⅱ(c+Δc)

2、第一部类全部产品的价值必须等于两大部类原有的不变资本加上追加的不变资本之和。

Ⅰ(c+v+m)=Ⅰ(c+Δc)+Ⅱ(c+Δc)。

3、第二部类全部产品的价值必须等于两大部类原有可变资本加上追加可变资本，再加上资本家个人消费的剩余价值之和。Ⅱ(c+v+m)=Ⅰ(v+Δv+m/x)+Ⅱ(v+Δv+m/x)

第八章：平均利润和生产价格

在资本家的观念中商品生产的资本耗费就构成商品的生产成本或生产费用，称为成本价格。

利润率是剩余价值和全部预付资本的比率：P’=m/C=m/(c+v),C为预付总资本。如果以年为期计算利润率，以n代表资本的年周转次数，则年利润率

P’=m/(c+v)=m’vn/(c+v)=m’n·v/(c+v)=m’n1/(c/v+1) 平均利润是指预付资本按平均利润率所获得的利润。

部门之间的竞争：

1、促使平均利润率的形成以及相应的价值转化为生产价格

2、资本价值增值的本性导致了不同生产部门之间争夺有利投资的竞争。这种竞争一般是通过资本的转移来实现的。

3、是指在私有制条件下商品生产者之间争夺经济利益的斗争。

第九章：商业资本和商业利润

商业利润：

1、表面上看来源于商品的购买价格和销售价格的差额。真正来源和本质是产业工人在生产过程中创造的剩余价值的一部分。

2、含义：商业资本家从事商业经营获得的利润。

3、不过是商业资本参与平均利润的形成所瓜分到的那部分剩余价值的转化形式。体现了商业资本家和产业资本家共同瓜分剩余价值和共同剥削雇佣工人的关系。

商业流通费用：指在商品流通中商业资本家支付的与商品流通有关的费用。包括生产性流通费用(与商品使用价值运动有关的费用，主要指用于运输、仓储、保管、包装等方面的费用)和纯粹流通费用(与商品价值运动直接相关的费用)。

第十章：银行资本与银行利润

借贷资本：是借贷资本家或银行为取得利息而暂时贷给职能资本家(产业资本家和商业资本家)使用的货币资本，是从职能资本运动中独立出来的特殊资本形式。

本质：是一种生息资本。是从产业资本和商业资本的循环周转中游离出来的闲置货币资本转化而来的。

特征：是一种资本商品;是一种所有权资本;是最具有拜物教性质的资本。

借贷资本具有特殊的运动形式：G-G’(G+ΔG). 利息只是平均利润的一部分，在根源上来自剩余价值，是剩余价值的一种特殊转化形式。利息率是一定时期内利息量与贷出的借贷资本量之间的比例，用ⅰ表示，如果用G表示借贷资本量，G’表示到期后借贷资本家收回的借款再加上利息的总和，即G’=G+ΔG，则利息率计算公式为：ⅰ=(G’-G)/G=ΔG/G.

银行资本：是指银行资本家为经营银行获取利润所投入的自有资本和通过各种途径集中到银行的货币资本，是银行资本家从事货币资本实际贷出活动的基础。

银行利润：来源于：它们借入时利息率低于贷出时的利息率，即贷款利息和存款利息间的差额，扣除经营银行业务的费用之后，便形成银行利润。银行由于贷款给职能资本家收取的利息是剩余价值的一种转化形式，因此银行的利润也是雇佣工人创造的剩余价值的一部分。

资本主义信用：是在商业信用的基础上逐渐发展起来的，商业信用、银行信用和现代的国家信用是资本主义信用的基本形式。此外，也可按信用的方式分为直接、间接两种，以银行为代表的间接信用和以证券市场为代表的直接信用形式则是当代融资的基本方式。

股票是股份有限公司在筹集资本时向出资人发行的所有权凭证。以股东的权力为标准，可把股票分为普通股票和优先股票。股票价格=股息/利息率。

公司债券是股份公司为了筹集资金而按一定程序向社会公众发行的借款凭证即发行公司向债权人作出的承诺，保证在约定期限还本付息的书面凭证。可分为无记名债券和记名债券两种。债券价格=债券利息/银行利息率。

第十一章：资本主义地租

级差地租:是指投入到等面积的不同地块的等量资本，由于不同地块的极差所产生的超额利润转化成的地租。土地优劣的不同等级是形成级差地租的条件或自然基础，其产生原因是土地优先和土地的资本主义经营垄断。

级差地租按其形成条件的不同，可区分为两种：级差地租第一形态(级差地租Ⅰ)和级差地租第二形态(级差地租Ⅱ)。

级差地租Ⅰ是指投入到等面积的不同地块的等量资本，由于土地肥沃程度和位置的不同所产生的超额利润而转化成的地租。级差地租Ⅱ是等量资本先后连续的投在同一块地上，不同的投资产生不同的生产率，按照生产率最低但其产品又是为社会所需要的投资所决定社会生产价格，生产率较高的投资也会产生一个超额利润，它也就转化为级差地租。

绝对地租：有土地私人垄断权所决定的，租用任何土地都必须缴纳的地租。

若以Po表示土地价格，R表示年地租，ⅰ表示年利率，则土地价格：Po=R/ⅰ. 将公式改变，最简单的贴现公式：P=(R/ⅰ)[1-1/(1+ⅰ)^n]

第十五章：

虚拟资本是指以有价证券形式存在并能为持有者带来收入的资本形式。主要有两种形式：一种是以信用工具形式存在的有价证券，被持有者投入流通用来交易便形成虚拟资本，主要有商业期票、汇票和各种证券抵押贷款票据等等，它是信用形式上的虚拟资本;另一种是以资本所有权证书形式存在的有价证券，在流通中同一张所有权证书或债权凭证反复交易就形成了纯粹的虚拟资本，其主要有股票和债券构成，它是收入资本化形式上产生的虚拟资本。

虚拟经济是以虚拟资本为经营对象，以谋取利润或报酬为目的的经济活动。虚拟经济活动包括对虚拟资本的买卖、中介、咨询等，彩票业，赌博业等。

所谓泡沫经济就是虚拟资本价格普遍被高估的经济。

用Y表示货币收入流量，用用A表示资本存量：A=Y/r.

r表示利息率，

第二篇：大一高数(下)期末考试总结,期末考试必备

河北科技大学2003级

高等数学(下)期末考试试题1

一、填空题(共15分)

1. (5分) 微分方程y3y2y0的通解为2. (5分) 设D是平面区域|x|2,|y|1,则x(xy)d.

D

3. (5分) 设zf(exy),其中f可微,则dz

二、选择题(共15分)

1. (5分) 若anxn在x2处收敛，则此级数在x1处().

n1

(A)条件收敛;(B)绝对收敛;

(C)发散;(D)收敛性不确定.



2. (5分) limun0是级数un收敛的(). nn1

(A)充分条件;(B)必要条件;

(C)充分必要条件;(D)既不充分也不必要的条件.

3. (5分) 已知(x2sinxay)dx(ey2x)dy在xoy坐标面上是某个二元

函数的全微分,则a = ().

(A)0;(B)2;(C)1 ;(D) 2;

三、解答题(共56分)

1.(7分)已知曲线xt,yt2,zt3上P点处的切线平行于 平面x2yz4,求P点的坐标.

2.(7分)设zf(xy , ) , f具有二阶连续的偏导数,求xy2zxy2.

3.(7分)计算曲线积分IL(esinyy)dx(ecosy1)dy其中L为 xx

由点A(a , 0)至点O(0 , 0)的上半圆周yaxx2(a0).

4.(7分)将f(x)arctanx展开成关于x的幂级数. 5.(7分)判别级数(1)n

n1

lnnn

n

的敛散性.



6.(7分)求幂级数

n1

(x3)n3

n

的收敛域.

7.(7分)计算曲面积分

I



(x1)dydz(y2)dzdx(z3)dxdy

333

其中为球面x2y2z2a2(a0)的内侧.

8.(7分)试写出微分方程2y5yxcos2x的特解形式.

四、应用题(8分)

在xoy坐标面上求一条过点(a,a)(a0)的曲线,使该曲线的切线、两个坐标轴及过切点且垂直于y轴的直线所围成图形的面积为a2.

五、证明题(6分)

证明：曲面3zxg(y2z)的所有切平面恒与一定直线平行，

其中函数g可导.评分标准(A卷)

一、(每小题4分)

1.yC1e

x

C2e

2x

;2.

323

;3.f(exy)exy(ydxxdy).

二、(每小题4分)1.(B);

二、解答题

2.(B);3.(D).

2

1.(7分) 解曲线在任一点的切向量为T1,2t,3t,┄┄┄┄2分



已知平面的法向量为n1,2,1,┄┄┄┄3分

1

令Tn0,得t1,t,┄┄┄┄5分

于是

111

P1(1,1,1),p2(,,).┄┄┄┄7分

3927

解

2.(7分)

zxy

zx

23

3xfxyf1xyf2, ┄┄┄┄3分

34

yf22┄┄┄┄7分 4xf12xf2xyf11

3.(7分) 解添加直线段OA,与L构成闭曲线C,应用格林公式┄┄1分

C(esinyy)dx(ecos1)dydxdy

D

xx

a212

()a.┄┄┄4分 228

而

OA(esinyy)dx(ecosy1)dy0,┄┄┄┄6分 1

a0a.┄┄┄┄7分

88

11x

xx

I

4.(7分) 解 f(x)

(1)x

n0



n2n

(x1),┄┄┄┄3分

f(x)(1)

n0



n

12n1

x

2n1

┄┄┄┄6分

x[1,1].┄┄┄┄7分

n

(1)

5.(7分) 解lim

n

lnnn

limlnn,

n

1n

(或当n3时,



(1)lnn

n



n



lnnn



1n

)┄┄┄┄2分

而

n1

1n

发散, 

n1

(1)

n

lnnn

发散.┄┄┄┄4分

令un

lnnn

,则当n3时un1un,且limun0,┄┄┄┄6分

n

由莱布尼兹判别法可知原级数条件收敛.┄┄┄┄7分 6.(7分) 解lim

an1an

n

lim

n3

nn1

n

(n1)3



,R3, ┄┄┄┄3分

3又当x33,即x0时,级数

n1

(1)n

n

收敛; ┄┄┄┄5分

当x33,即x6时,级数

n1

1n

发散┄┄┄┄6分

故原级数的收敛域为[0,6).┄┄┄┄7分 7. (7分)解利用高斯公式及球坐标有

I(3x3y3z)dv┄┄┄┄3分



30sind0d0rrdr┄┄┄┄5分

2a2

2

12a

5.┄┄┄┄7分

8. (7分) 解特征方程为2r5r0,┄┄┄┄1分 特征根为r10,r2.┄┄┄┄2分

f(x)x

12



12

cos2x,┄┄┄┄3分

12

0 是特征根,2y5yxy1x(axb),┄┄┄┄4分

*

的一个特解形式为

又02i不是特征根, 2y5y

*

12

cos2x的一个特解形式为

y2ccos2xdsin2x,┄┄┄┄5分故 原方程的一个特解形式为

yy1y2x(axb)ccos2xdsin2x.┄┄┄┄6分

四、 解由题意画出图形.设所求曲线方程为yf(x)，┄┄┄┄1分 点(x,y)处的切线方程为Yyy(Xx),┄┄┄┄2分 令Y0,得切线在x轴的截距Xx

***

yy

,┄┄┄┄3分 y

梯形的面积为S

12

(xX)y

12

(2x

y

)ya,

即2(xya)yy,┄┄┄┄4分

化为一阶线性方程

dxdy



2y

x

2ay

,┄┄┄┄5分 2a

代入公式或用常数变易法求得通解：x

3y

Cy.┄┄┄┄7分

将初始条件y

xa

a代入通解得C

2a

13a

,

故所求曲线方程为x

3y



y3a

.┄┄┄┄8分



五、证明曲面上任一点切平面的法向量为n1,g,2g3,┄┄┄2分 

取a3,2,1,则na0,即na,┄┄┄┄5分

故原结论成立. ┄┄┄┄6分

第三篇：南通大学2012大一高数第一学年期末考试考点简括

三角函数基本公式(如积化和差，和差化积，二倍角公式等等)

反三角函数的值域与其对应三角函数的关系

数列的极限——注意数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件

函数极限的部分性质(唯一性，局部保号性，局部有界性)

无穷小与无穷大(后者是重点)

极限运算法则(不会直接考察，但题目中一定会用到，所以说是重点)

夹逼准则，几个重要不等式，两个重要极限(都是重点)

理解高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等阶无穷小的联系及区别

函数的间断点(第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，其他的统称为第二类间断点)

导数的求导法则(重中之重!)

反函数，复合函数的导数的求法，及隐函数的求法(必考，重点)

微分与积分的联系与区别(微分=积分dx)

罗尔定理，拉格朗日中值定理的应用(必考)

洛必达法则的使用条件及如何使用

函数的极值与最值，驻点与拐点的区别

不定积分，定积分之间的联系(重点是其中的公式，要熟记)

第四篇：期末高数复习(2)

期末高数复习重点：

一. 求极限

1. 等价无穷小的代换;

2. 洛必达法则;

3. 两个重要极限;lim(1-1/x)^x=1/e

二.求导，求微分

1.复合函数;

2.隐函数;

3.参数函数;

4.求切线，法线方程;

5.反三角函数：sin y=xy=arcsin x

三.函数连续性质

1.连续的定义;左(右)连续

2.分段函数，分段点处的连续性：求函数的间断点及类型

3.闭区间连续函数的性质：零点定理，介值定理

四.求函数的单调性，凹凸区间和拐点

五.中值定理(闭区间开区间连续可导)

课本重点复习章节：

第一章 函数与极限

第五节 极限运算法则

无穷小因子分出法 P47例5-例7; 消去零因子法P46例3;通分化简

第六节 极限存在法则;两个重要极限

P58：例7可用洛必达法则求; 求幂指函数的极限：如例8

第七节 无穷小的比较

几个重要等价无穷小的代换

第八节 函数的连续性

证明函数的连续性;求函数的间断点及类型，特别是可去间断点

第九节 闭区间上连续函数的性质

中值定理和介值定理

第二章 导数与微分

第三节 复合函数的求导法则

第五节 隐函数的导数以及参数方程所确定的函数的导数

对数求导法 P116 例5，例6; 参数求导

第三章 中值定理与导数的应用

第一节 中值定理

第二节 洛必达法则

各种未定式类型求极限

第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性

单调性和驻点;凹凸性和拐点;不可导点

第五篇：2017-2018-1高数(上)期末总复习

2017-2018-1 高等数学(上)期末复习知识点

一、函数、极限与连续

1. 会求初等函数及复合函数的定义域、函数值; 练习：P10，习题1.1(A)：1(1,3,4);4， P42，复习题1：4;5

2. 会分解复合函数

练习：P10，习题1.1(A)：6

3. 会用极限的四则远算法则求极限

练习：P22，习题1.3(A)：2(7,8); P42，复习题1：11

4. 会用极限存在法则(即左右极限)求极限

练习：P22，习题1.3(A)：1;2(1,2,3)

5. 会利用第二个重要极限求极限; 练习：P27，习题1.4(A)：2(1,3,5)，4; P42，复习题1：7;12(2,4,5，8)

6. 会利用等价无穷小代换及无穷小的性质求极限; 练习：P32，习题1.5(A)：1(2,6,7);

P42，复习题1：12(7)

7. 会比较无穷小的阶; 练习：P32，习题1.5(A)：2，3;

P42，复习题1：6

8. 会判断函数在一点的连续性，求函数的连续区间; 练习：P40，习题1.6(A)：1，3，4;

P42，复习题1：2, 8, 13

9. 会确定函数的间断点并判断类型; 练习：P40，习题1.6(A)：2(4,6)，3，4;

P42，复习题1：9，14(1,3)

10. 会利用零点定理证明方程的根

练习：P40，习题1.6(A)：5，6

二、导数与微分

1. 利用导数的定义求相关的极限

练习：P49，习题2.1(A)：1;

P69，复习题2：1(1)，2(2)

2. 利用导数的定义求分段点处的导数或判断分段点处的可导性

练习：P49，习题2.1(A)：7;

P69，复习题2：1(2，6)，3，4

3. 利用导数的几何意义求曲线的切线方程及法线方程

练习：P49，习题2.1(A)：5，6;

4. 利用导数的四则运算法则及复合函数求导法则求导

练习：P56，习题2.2(A)：1(1,3,5,7)，2，3(1,3,5,7,8)，6;

P69，复习题2：1(3，4)，5(1,3,6)

5. 求隐函数的导数

练习：P61，习题2.3(A)：1(1,2,4); P69，复习题2：9

6. 求参数式函数的导数

练习：P61，习题2.3(A)：3, 4; P69，复习题2：10, 11

7. 了解对数求导法求导

复习题2：5(2, 4)

8. 会求函数的微分

练习：P68，习题2.4(A)：2(1, 3, 5); P69，复习题2：1(5)，2(4)

三、微分中值定理与导数的应用

1. 了解罗尔定理和拉格朗日定理条件的判断并会求相应的

练习：P77，习题3.1(A)：4; P110，复习题3：1(1).

2. 利用洛必达法则求函数的极限

练习：P81，习题3.2(A)：1(2,4,6,8,10,12). 3. 利用函数的一阶导数求函数的单调区间、极值和最值

练习：P94，习题3.4(A)：1(2, 4)，2(2, 4); P101，习题3.5(A)：1(1, 2)

P110，复习题3：1(3, 5),2(1, 2).

4. 利用函数的二阶导数求函数曲线的凹凸区间、拐点

练习：P94，习题3.4(A)：3，4; P110，复习题3：1(4, 6).

5. 利用函数的单调性证明函数的不等式

练习：P94，习题3.4(A)：5，2(2, 4);

四、不定积分

1. 利用导数与不定积分的互逆关系解题

练习：P119，习题4.1(A)：1; P141，复习题4：1(1,3,7,8).

2. 利用积分运算法则求积分

2 练习：P119，习题4.1(A)：2(2, 6, 9, 14, 16). 3. 利用第一换元法求积分

练习：P129，习题4.2(A)：2(1，4，8，12，); P141，复习题4：3(1, 2)

4. 利用第二换元法求积分

练习：P129，习题4.2(A)：2(33，34); P141，复习题4：3(4, 5)

5. 利用分部积分法求积分

练习：P129，习题4.3(A)：1(2，4，6，8); P141，复习题4：3(8, 16)

五、定积分的概念与性质

1. 利用定积分的几何意义求解定积分

练习：P150，习题5.1(A)：1(1, 4, 5); .

2. 求定积分

练习：P155，习题5.2(A)：3(3, 8, 9, 10).

P160，习题5.3(A)：1(3, 4, 5, 8);2(1, 3, 5, 7) 3. 求积分上限函数的导数

练习：P155，习题5.2(A)：1(2，4);2(1，3)

4. 利用奇偶函数在对称区间上定积分的性质求定积分

练习：P160，习题5.3(A)：3(2，4, 6);

5. 求反常积分的值或判断反常积分的敛散性

练习：P165，习题5.4(A)：1(1，3，5); P166，复习题5：2(4, 5)